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2014自主招生物理讲座


第三部分 重要知识点专题解析
1连接体的速度关联问题 2牛顿运动定律综合应用 3动能定理和功能关系 4动量综合问题 5静电场问题综述 6带电粒子在电磁场中的运动 7电磁感应的综合问题 8例解电路问题 9光学概要

10热学与原子物理学概要

专题五、静电场问题综述
?静电场的基本概念 —电场与电势(电场力做功特 点)

,电势能等 ?叠加原理在静电场中的应用
?带电粒子在电场中的运动—加速(牛顿运动定律 和动能定理) 偏转(运动的合成与分解)

1.一根均匀带电的绝缘细杆AB,C为杆上一点, D为杆外一点,如图所示,已知 AB=l, AC=BD=l/4,关于C、D两点的场强,下面论述 正确的是( ) A.EC>ED,方向相同 B.EC>ED,方向相反 C.EC<ED,方向相同 D.EC< ED,方向相反
A C B D

2.有两块无限大的均匀带电平面,一块带正电,一块 带负电,单位面积所带电荷量的数值相等。现把两带电 平面正交放置如图所示。图中直线A1B1和A2B2分别为带 正电的平面和带负电的平面与纸面正交的交线,O为两 交线的交点。 (1)试根据每块无限大均匀带电平面产生的电场(场强 和电势)具有对称性的特点,并取O点作为电势的零点, 在所给的整个图上画出电场(正、负电荷产生的总电场) 中电势分别为0、1V、2V、3V、?1V、?2V和?3V的等 势面与纸面的交线的示意图,并标出每个等势面的电势。
B2 ? + A1 A2 ? + B1

B2

?

+ A1

+ B1

A2

?

(2)若每个带电平面单独产生的电场的场强 是E0=1.0V/m,则可求出(1)中相邻两等 势面间的距离d等于多少?

E ? 2 E0

U d? E

2 d? m 2

2.如图所示为一块很大的接地导体板,在与导体 板相距为d的A处放置一带电量为?q的点电荷。 (1)试求导体板上感应电 荷在导体内P点产生的电场 强度,已知P点与A点的距 离为R;

E?
P M d ?q A

q E? ? k 2 R

(2)试求导体板上感应电荷在导体外M 点产生的电场强度,已知M点与P点对导 体板右表面是对称的;
q E ?? ? k 2 R
E?
P M

E??
A

d ?q

(3)就本题情形,根据场强分析证明导 体表面附近的电场强度的方向与导体表 面垂直。 M
P

?q
d A

(4)试求导体板上的感应电荷对点电荷?q 的作用力; 2 q F ?k 4d 2

4.两个点电荷位于x轴上,在它们形成的电场中, 若取无限远处的电势为零,则在正x轴上各点的 电势如图中曲线所示,当x?0时,电势 ??+ ?; 当x?+?时,电势??0 ;电势为零的点的坐标 为x0,电势为极小值??0的点的坐标为?x0 (?>2)。试根据图线提供的信息,确定这两个 点电荷所带电荷的符号、电量的大小以及它们在 x轴上的位置。 ?
? x0
x

??0

O x 0

分析:由图象可知,两个电荷是异种电荷,正电荷 Q1位于x=0,负电荷?Q2位于x轴负半轴上,设横坐 标为?d,于是有

Q1 Q2 k ?k ?0 x0 x0 ? d

Q1 Q2 k ?k ? ?? 0 ?x0 ?x0 ? d
? ?x0

Q1 Q2 k ?k ?0 2 2 (?x0 ) (?x0 ? d )

??0

O x 0

x

5.4块相同的正方形金属薄平板从左至右依次平 行放置,任意两个相邻平板之间的距离都相等, 且平板的边长远大于平板之间的间距。平板从 左至右依次编号为1、2、3、4,如图。其中第 1块带净电荷q1(<0),第n块上的净电荷 qn=nq1,n=1,2,3,4。现将第1块和第4块板 接地,如图所示,忽略边缘效应。问:
1 2 3 4

(1)从第1块板和第4块板流入大地的电荷量 Δq1和 Δq4分别是q1的多少倍?
1 2 3 4 设第一块板右侧电荷为q,则 导体板2、3、4电荷依次为?q, 2q 1+q,? 2q 1?q, 5q 1+q, ? 5q 1?q,由1、4电势为零, 得

q 2q1 ? q 5q1 ? q ? ? ?0 C C C

7 q ? ? q1 3

10 20 ?q1 ? q ? q1 ? ? q1 ?q4 ? ?5q1 ? q ? 4q1 ? ? q1 3 3

(2)上述两板接地后,哪块板上的电势最低? 求该电势的值,将其表示为两相邻极板之间的 电容C和q1的函数。
1 2 3 4

?1=0 ?2=7q1/3C ?3=8q1/3C

?4=0
3板电势最低

6.总电量为+Q的电荷均匀分布在半径为R的固 定绝缘环上,今将电量为?q、质量很小的质点 A以v0=10m/s的初速度由圆环中心O点沿轴线 射出,如图所示。若质点A可沿轴线运动到最 远处P点,已知 OP=?3R,试求: (1)若使质点A能够从O点沿轴线到达无穷远 处,其初速度至少为多少?
1 Qq Qq 2 mv0 ? k ?? 2 R 2R
1 Qq 2 mv ? k ?0 2 R
A v0 O P x

v ? 2v0 ? 10 2m / s

(2)若将质点A换成质量相同、q?=+q的质点B, 初速度仍为v0=10m/s,那么质点B到达P点的速度 为多少?
A v0 O

P

x

1 Qq 1 Qq 2 2 mv0 ? k ? mv ? ? 2 R 2 2R

v? ? 2v0 ? 10 2m / s

7.如图所示,在水平光滑的绝缘桌面上,有三个 带正电的质点1、2、3 ,位于边长为L的等边三 角形的三个顶点处。三个质点的质量皆为m , 带电量皆为q。质点1、3之间和2、3之间用绝缘 的轻而细的刚性杆相连,在3的连接处为无摩擦 的铰链,1、2之间用细线相连。已知开始时三 个质点的速度为零,现将细线剪断,试求在此 后运动过程中,质点3的最大速度。
1 L L 3

L
2

mv1 ? mv2 ? mv3
q ?? ? k 2L
1 1 2 2 ?? ? mv1 ? 2 ? mv3 2 2
2

1
L L 2 1 L L 3

v1

v3 ?

2kq 3mL

2

v3 L

3

2

v2

8.带正电q的小球A从静止开始在匀强电场E中运 动,与前方相距l的不带电的绝缘小球B发生弹性 碰撞,已知两小球质量相等。求从开始到发生k 次碰撞电场对小球A所做的功。不计小球的重力。
m, q>0 m

A

B

m, q>0
A

m
B

第一次碰撞前A球速度为v,B球速度为零;第二次碰撞 前A球速度为2v,B球速度为v;第三次碰撞前A球速度 3v,B球速度为2v;依次类推,第k次碰撞前A球速度为 kv,B球速度为(k?1)v。

1 1 2 2 W ? m( kv) ? m[(k ? 1)v ] 2 2 ? ( 2k 2 ? 2k ? 1)qEl

9.在示波器的YY'偏转电极上,加电压 u1=U0sin2πft,式中f为频率。同时在示波器的 XX'偏转电极上加如图1所示的锯齿波电压u2, 试在图2和图3中分别画出f=50Hz和f=100Hz荧 光屏上显示出的图线。 u2/V
0
0.04 0.08 t/s

0.12

图1

图2

10.在足够大的空间中存在水平向右的匀强电场, 已知电场力的大小是其重力的3/4.现将该小球从 电场中的某点竖直向上抛出,抛出时的初速度为 v0,求:(1)小球 在电场内运动过程中的最小 速率。(2)在小球从抛出到最小速率的过程中, 电场力和重力各对小球做了多少功?
v// v

两种方法
v?
qE F
v0 E

m

mg

专题六、带电粒子在电磁场中的运动
?带电粒子在磁场中的运动—有界磁场中的运 动(平面几何 解析几何) 等距螺旋运动 ?洛伦兹力的应用—回旋加速器 Hall效应 磁聚焦(等距螺旋运动)质谱仪等 ?带电粒子在电磁场中的运动(力的矢量表示 叠加原理的应用)

1.如图,在0≤x≤a的区域有垂直于纸面向里的匀 强磁场,磁感应强度的大小为B;在x>a的区域 有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度的 大小也为B。质量为m、电荷量为q(q>0)的 粒子沿x轴从原点射入磁场。 (l)若粒子在磁场中的轨道半径为 ?2a,求其轨 迹与x轴交点的横坐标; (2)为使粒子返回原点,粒子的入射速度应为多 大?

2.已知一个质量为m、电荷量为q的带电粒子,由原点 O开始进入一个垂直于xy平面的匀强磁场中,初速为v, 方向沿x正方向。后来,粒子经过y轴上的P点,此时 速度方向与y轴的夹角为30°,P到O的距离为L,如图 所示。不计重力的影响。请你设计一个圆形区域分布 的磁场,除了满足上述的条件外,还要求这个磁场区 域最小,写出该磁场的磁感强度B的大小、圆心磁场 区的圆心位置和半径。
30°

y
P

O v

x

由几何关系可以求得带电粒子作匀速圆周运动的半 径为R=L/3,于是磁场的磁感应强度
3mv B? qL
30°

y P A

圆心磁场的圆心位置为
C
? 3 1 ? ? ? L , L ? 12 8 ? ? ?

O

v

x

3 r? L 6

3.近代的材料生长和微加工技术,可制造出一 种使电子的运动限制在半导体的一个平面内 (二维)的微结构器件,且可做到电子在器件 中像子弹一样飞行,不受杂质原子射散的影响。 这种特点可望有新的应用价值。图1所示为四端 十字形二维电子气半导体,当电流从1端进入时, 通过控制磁场的作用,可使电流从2,3,或4端 流出。 对下面摸拟结构的研究,有助于理解电流在上 述四端十字形导体中的流动。

在图2中,a、b、c、d为四根半径都为R的圆柱体的横截 面,彼此靠得很近,形成四个宽度极窄的狭缝 1、2、3、 4,在这此狭缝和四个圆柱所包围的空间(设为真空) 存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面指向纸里。以B表 示磁感应强度的大小。一个质量为m、电荷量为q的带 正电的粒子,在纸面内以速度v0沿与a、b都相切的方向 由缝1射入磁场内,设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞, 碰撞是弹性的,碰撞时间极短,且碰撞不改变粒子的电 荷量,也不受摩擦力作用。试求B为何值时,该粒子能 从缝2处且沿与b、c都相切的方向射出。
4

1
2

3

v0

a

b

1 3 2

4

d c

解析几何方法
x2+(y-r)2=r2
v0 a

x=2R-Rsin450
y=R-R cos450 r=3R

b

1 3 2

4

d c

v qv0 B ? m r
mv0 B? 3qR

2 0

4.如图所示,M、N为两块带等量异种电荷的平行金属 板,S1、S2为板上正对的小孔,N板右侧有两个宽度均 为d的匀强磁场区域,磁感应强度大小均为B,方向分 别垂直于纸面向外和向里,磁场区域右侧有一个荧光 屏,取屏上与S1、S2共线的O点为原点,向上为正方向 建立x轴.M板左侧电子枪发射出的热电子经小孔S1进 入两板间,电子的质量为m,电荷量为e,初速度可以 忽略. (1)当两板间电势差为U0时,求从小孔S2射出的电子的 速度v0;

1 2 mv0 ? eU0 2 2eU0 v0 ? m

(2)求两金属板间电势差U在什么范围内,电子不能穿 过磁场区域而打到荧光屏上.

mv r? ?d eB eBd v? m 2 2 1 2 eB d mv ? eU U ? 2 2m

(3)若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上,求电子 打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数 关系. 若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为 r,穿过磁 场区域打到荧光屏上的位置坐标为x ,则由图中的轨 迹图可得

x ? 2r ? 2 r 2 ? d 2

所以,电子打到荧光屏上的 位置坐标x和金属板间电势差 U的函数关系为
2 x? ( 2emU ? 2emU ? d 2e 2 B 2 ) eB

5.在PET设备中,需要使用回旋加速器加速质子,如 图所示,加速器的两个金属D形盒的半径为R,两盒间 距为d,在左侧D形盒圆心处放有粒子源S,匀强磁场 的磁感应强度为B,方向如图所示。质子质量为m,电 荷量为e。设质子从粒子源S进入加速电场时的初速度 不计,质子在加速器中运动的总时间为t(其中已略去 了质子在加速电场中的运动时间),质子在电场中的 加速次数于回旋半周的次数相同,加速质子时的电压 导向板 大小可视为不变。
B
S

d

高频电源

(1)求此加速器所需的高频电源频率f和加速电 压 U。 qB 2?m f ? 质子的回旋周期T为 T ? 2?m qB 1 2 质子加速后的最大动能为 E k ? mv 2
设质子在电场中加速的次数 为n,则

Ek ? nqU

T t?n 2
U ? ?BR 2 / 2t

(2)试推证当R>>d时,质子在电场中加速的总 时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计 (质子在电场中运动时,不考虑磁场的影响)。
在电场中加速的总时间t1为

nd 2nd t1 ? ? v/2 v
在D形盒中回旋的总时间t2为

t2 ? n

?R
v

2d t1 / t 2 ? ?R
若d<<R,加速时间可忽略不计。

6.在通电螺绕环的平均半径R处有点源P,由P 点沿磁感线方向注入孔径角为2?0很小(?0<<1) 的一束电子,束中的电子都是经过电压U0加速 后从P点发出的。假设螺绕环中磁感应强度B1的 大小为常数,并假设束中电子的库仑力可以忽 略不计。 (1)为了使电子束沿环形磁场 运动,需要另加一个使电子偏 转的均匀磁场B2,对于在环内 沿半径为R的圆形轨道运动的 一个电子,试计算所需B2的大 小;
2?0 R P

(1)为了使电子束沿环形磁场 运动,需要另加一个使电子偏 转的均匀磁场B2,对于在环内 沿半径为R的圆形轨道运动的一 个电子,试计算所需B2的大小;

2?0 R

P

对于沿半径为R的圆轨道(即沿磁感线)运动的电子, 不受环形磁场B1的作用力,因此,电子做圆周运动所 需的向心力只能由磁场B2提供,所以,B2的方向应垂 直环面向外,大小满足
2 v0 ev0 B2 ? m R

1 2 eU0 ? mv0 2

B2 ?

2mU0 eR2

(2)当电子束沿环形磁场运动时,为了使电 子束每绕一圈有四个聚焦点,即每绕过的1/4周 长聚焦一次,磁感应强度B1应多大?(注:考 虑电子轨道时,可忽略磁场B1的弯曲)
由于电子的注入速度v0并非与B1相切, 所以,可将速度v0分解为平行于B1的 分量 v//和垂直于B1的分量 v?,电子以 v// 做匀速直线运动,同时以 v?做匀速 圆周运动,即电子的运动轨迹是螺旋 线。设电子速度v0与B1的夹角为 ,则
2?0 R P

v// ? v0 cos?

v? ? v0 sin?

设电子 在 B1中做匀速圆周运动的周期为
T? 2?m eB1
R

螺距为

2?0
P

2?mv0 cos? l ? v //T ? eB1

因电子束要聚焦四次,有

l?

?R
2

4 2mU0 4 2mU0 B1 ? cos? ? R e R e

7、如图所示,一根边长为a、b、c(a>>b>>c)的矩 形截面长棒,由半导体锑化铟制成,棒中有平行于a 边的电流I通过,该棒放置在垂直于c边向外的磁场B 中,电流I所产生的磁场忽略不计,该电流的载流子 为电子,在只有电场E存在时,电子在半导体中的平 均速度v=?E,其中?为迁移率。 (1)确定棒中所产生上述电流 的总电场的大小和方向;
I E// ? nebc?
2 2 E ? E // ? E?

a B

I b c

E? ? vB

(2)计算夹c边的两表面上相 对两点之间的电势差;

a B

I
b c

U ? E? ? c
(3)如果电流和磁场都是交变的,且分别为 I=I0sin?t, B=B0sin(?t+?).求(2)中电势差的直流分量的表达 式。
IB I 0 B0 U ? E? ? c ? ? sin?t sin( ?t ? ? ) neb neb

I 0 B0 ?cos? ? cos(2?t ? ? )? ? 2neb

I 0 B0 UD ? cos? 2neb

8、设空间存在三个相互垂直的已知场:电场强 度为E的匀强电场,磁感应强度为B的匀强磁场 和重力加速度为g的重力场。一质量为m、电荷 量为q的带正电的质点在此空间运动,已知在运 动过程中,质点速度的大小恒定不变。
(1)试通过论证,说明此质 点作何种运动,并论述题目中 所给的速率是否是唯一的。 匀速直线运动,但速率不 是唯一的
E x

z

O

B

y

8、设空间存在三个相互垂直的已知场:电场强 度为E的匀强电场,磁感应强度为B的匀强磁场 和重力加速度为g的重力场。一质量为m、电荷 量为q的带正电的质点在此空间运动,已知在运 动过程中,质点速度的大小恒定不变。
(2)若在某一时刻,电场和磁场 突然全部消失,已知此后该质点 在运动过程中的最小动能为其初 始动能(即电场和磁场刚要消失 时的动能)的一半,试求在电场、E x 磁场刚要消失时刻该质点的速度 在三个场方向的分量。
z

O

B

y

解:设存在电场、磁场时质点速度的大小为v0, 它在坐标系中的三个分量分别为v0x、v0y和v0z, 由平衡条件得

Fx=qE?qv0zB=0 Fz=?mg+qv0xB=0
Ek min

E v0 z ? B mg v0 x ? qB

1 1 1 2 2 2 2 2 ? m(v0 x ? v0 y ) ? ? m(v0 x ? v0 y ? v0 z ) 2 2 2
v0 y 1 ? (qE)2 ? ( mg)2 qB

专题七、电磁感应的综合问题
与动生电动势相关的问题
?含电容器问题
?含源问题 ?定轴转动的导体杆切割磁感线问题的灵活应用, 法拉第圆盘发电机(或电动机) ? 功、功率和能量问题,电路产生的电能等于克服 安培力做功 ?数学方法的应用 函数图象的物理意义

与感生电动势相关的问题
?感生电动势和涡旋电场的计算

?复杂电路的计算

1.如图,平行长直金属导轨水平放置,导轨间 距为l,一端接有阻值为R的电阻,整个导轨处 于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为 B。一根质量为m的金属杆置于导轨上,与导轨 垂直并接触良好。己知金属杆在导轨上开始运 动的初速度大小为v0,方向平行于导轨。忽略 金属杆与导轨的电阻,不计摩擦。当金属杆运 动到总路程的λ(0≤λ≤1)倍时,求安培力的瞬 时功率。

对于微元过程应用动量定理

Blv?t ? ? m?v
两边求和得总路程S

mv0 S? Bl

设路程为?S时,速度为v,同理可得

m(v0 ? v ) ?S ? Bl 于是,可得到瞬时速度 v ? (1 ? ? )v0
2 2 2 2 ( 1 ? ? ) B l v0 故安培力的瞬时功率 P ? I 2 R ? R

2.在倾角为θ的足够长的两光滑平行金属导轨 上,放一质量为m,电阻不计的金属棒ab,所 在空间有磁感应强度为B的匀强磁场,方向垂 直轨道平面向上,导轨宽度为d,如图所示, 电源电动势为E,电源内阻为r,导轨电阻不计, 电容器的电容为C。求(1)当开关S接1时, 棒ab的稳定速度是多大?(2)当开关S接2时, 达到稳定状态时,棒ab将做何运动?
B a E C 2 1 S

b


(1)当开关S接1时,棒ab的稳定速度是多大?
当ab棒稳定时,安培力的大小等于重力沿导轨的分力, 此时,电源电动势E成为反电动势,于是有
Blv ? E BIl ? mg sin? I? r EBl ? mgr sin? v? B 2l 2
B a
E C b )θ 2

1 S

(2)当开关S接2时,达到稳定状态时,棒ab 将做何运动?
设ab棒任一时刻t的速度为v,加速度为a,此时电流 为i=ΔQ/Δt,由牛顿运动定律,得
?Q mg sin ? ? Bl ? ma ?t

ab两端的电势差与电容器两端电势差相等,有

Q Blv ? C

?v ?Q Bl ? ? t C? t

B a

E C 2 1 S

mg sin ? a? 2 2 m ? CB l

b


3、如图所示,已知电源的电动势为E,内阻为r, 与电阻R连接后再与足够长的间距为L的平行金属 导轨相连接,ab为可在导轨上自由滑动的金属杆。 金属杆和导轨电阻忽略不计,彼此间有滑动摩擦 力f(可视为恒力),垂直于导轨平面有匀强磁场 B. (1)求电键S闭合后金属杆的极限速度vl;
a

E ? BLv BL ? f ? ma R?r
E f (R ? r) vl ? ? BL B 2 L2

E R
S

B

b

(2)如果这一极限速度vl是磁场B的函数,问B取 何值时,极限速度vl有最大值?此时对应的电流是 多大? a
E f (R ? r) vl ? ? BL B 2 L2
E R S b B

vl L B ? LEB ? f ( R ? r ) ? 0
2 2

E vl ? 4 f (R ? r)

2

E ? BLE ? I? 1? ? R ? r ? 4 f (R ? r)? ?

(3)如果r>R,当ab杆的速度为vp时,电源有 最大输出功率Pmax,求Pmax与vp的关系式。
P ? EI ? I 2 r
E ? BLv I? R?r
B 2 L2 r P? ( R ? r )2
E R
2

a
B

? E 2 ( R ? r )2 ? E ( r ? R) ? ??v ? ? ? 2 2 2 2 BLr ? ? ? ? 4B L r

? ? ? ?

S

b

E ( r ? R) vP ? 2 BLr

Pmax

E ? 4r

2

Pmax

B 2 L2 r 2 ? v 2 P ( r ? R)

4.如图所示,两个金属轮A1、A2,可绕通过各自中心 并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴O1和O2转动,O1 和O2相互平行,水平放置,每个金属轮由四根金属辐 条和金属环组成,A1轮的辐条长为a1、电阻为R1,A2轮 的辐条长为a2、电阻为R2,连接辐条的金属环的宽度与 电阻都可以忽略。半径为a0的绝缘圆盘D与A1同轴且固 连在一起,一条细绳的一端固定在D边缘上的某点,绳 在D上绕足够匝数后,悬挂一质量为m的重物P,当P下 落时,通过细绳带动D和A1绕O1轴转动,转动过程中, A1、A2保持接触,无相对滑动;两轮与各自细轴之间保 持良好的电接触;两细轴通过导线与一阻值为R的电阻 相连,除R和A1、A2两轮中辐条的电阻外,所有金属的 电阻都不计,整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场 中,磁场方向与转轴平行,现将P释放,试求P匀速下 落时的速度。

解:当P匀速下落,设其速度为v, 则A1的角速度为?1,A2的角速度 为?2,则

R B D A1 P O1 a1 O2 A2

v ?1 ? a0 a1 v ?2 ? a 2 a0

?1a1 ? ?2a2

a2

?1 ? ? 2 1 1 2 2 I? ? 1 ? Ba1 ?1 ? 2 ? Ba 2 ? 2 R ? RA1 ? RA2 2 2 R1 R2 R1 R2 ? 2? RA1 ? mgv ? I ? R ? ? RA 2 ? ? 4 4 4 ? 4 ?
2 mg(4 R ? R1 ? R2 )a0 v? 2 B 2a1 (a1 ? a2 )2

5.电子感应加速器的基本原理如下:一个圆环真空室处 于分布在圆柱形体积内的磁场中,磁场方向沿圆柱的 轴线,圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。圆中 两个同心的实线圆代表圆环的边界,与实线圆同心的 虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁场的 磁感应强度B随时间t的变化规律为B(t)=B0 sin(2?t/T) , 其中T为磁场变化的周期。B0为大于0的常量。当B为正 时,磁场的方向垂直于纸面指向纸里。若持续地将初 速度为v0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内(如图 所示),则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加 速的时间是从t= 到 t= 。

v0

B(t)=B0 sin(2?t/T)

v0 B

O

t

6.一半径为R的光滑绝缘大圆环上套有一质量为 m带电为+q的轻环。大圆环水平放置,与一强 度为B0的均匀恒定磁场垂直。从时间t=0开始该 磁场变为 B(t)=B0+?t,且? >0。求任意时刻小 环对大圆环的作用力的表达式。
B
E?

?R
2
?qR
2m t

qE ?qR a? ? ? m 2m
f ? qvB( t ) ?

m

v ? a? t ?

?q 2 R
2m

t ( B0 ? ?t )

v2 N? f ?m R

N ??

? 2q 2 R
4m

t2 ?

?q 2 RB0
2m

t

7.如图所示,两根平行金属导轨固定在水平面上,每 根导轨每米的电阻为r,导轨的端点P、Q用电阻可以 忽略的导线相连接,两导轨间的距离l,有随时间变化 的匀强磁场垂直于水平面,已知磁感强度B与时间的 关系B=kt,其中k为大于零的恒量。一电阻不计的金属 杆可在导轨上无摩擦的滑动,在滑动过程中保持与金 属导轨垂直,在t=0时刻,金属杆紧靠在P、Q端,在 外力作用下,杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的 另一端滑动,求金属杆所受的安培力F与时间t的关系 式。

解:设金属杆的加速度为a,任意时刻t,磁通量
1 ? ( t ) ? B( t ) S ( t ) ? alkt3 2 3 ? ( t ) ? d? ( t ) / dt ? alkt2 2

电动势为 电阻为 电流为 安培力为

R(t ) ? 2 xr ? art 2
3lk I ( t ) ? ? ( t ) / R( t ) ? 2r

3l 2 k 2 F ( t ) ? lB( t ) I ? t 2r

专题八、例解电路问题
??基本方法—基尔霍夫定律 ?利用等势点、对称性等方法简化电路 ?电路实验 实验电路的控制部分和测量 部分 半偏法测电表的内阻 测电源电动 势和内阻实验

1、由12个阻值均为R的电阻组成如图所示的电 路,计算A、B两点间的等效电阻RAB。

A

B

等势点的拆并

RAB=2R

2、(1)由单位长度 电阻为r的导线组成如 图所示的正方形网络 系列电路。当n=1时, 正方形网络边长为L; 求A,B两点间的等效电 阻
RAB=Lr
A

B

(2)n=2时,小正方形的网络边长为L/3;求A、 B两点间的等效电阻是多少?

B

RAB=5Lr/6

A

(3)n=3时,最小正方形网络边长为L/9。 当n=1、2、3时,求A、B两点间的等效电 阻是多少? 自相似性
RAB=7Lr/9
B

A

3.7根电阻均为R的电阻丝,连成如图所示的电 阻网格,试求A、B两点之间的等效电阻。
R R A R

R R
R

B R I1 A

I1 I3 I2

I2

B I1

I1

RAB=7R/5

4.三只相同的金属圆圈,两两正交地连接成如 图所示的形状,若每一只金属圈的电阻均为R, 试求A、B两点间的等效电阻RAB。
R/8

A

R/8 R/8 B

R/8

A B

RAB=5R/48

5.一电流表,其内阻Rg=10.0Ω,如果将它与一 阻值R0=49990Ω的定值电阻串联,便可成为一 量程U0=50V的电压表。现把此电流表改装成一 块双量程的电压表,两个量程分别为U01=5V和 U02=10V。当用此电压表的5V挡去测量一直流 电源两端的电压时,电压表的示数为4.50V;当 用此电压表的10V挡去测量该电源两端的电压 时,电压表的示数为4.80V。问此电源的电动势 为多少?

设电流表的量程为Ig,当电流表与定值电阻R0串联改装 成电压表时,此电压表的内阻R?0=Rg+R0,由于此电压 表的量程U0=50V,故有IgR'0=U0
U0 50 Ig ? ? A ? 1.0 ? 10? 3 A Rg ? R0 10 ? 49990

电流表改装成的双量程电压表的电路如图所示,图中 R1和R2是为把电流表改装成双量程电压表必须串联的 电阻,其值待求。用R'1表示电压表量程U01=5V档的 内阻,则有R'1=Rg+R1
A
+ Rg

R1

R2 5V 10V

U 01 5 R'1 ? ? ? 3 Ω ? 5 ? 103 Ω I g 10
R'2 ? Rg ? R1 ? R2 ?

A
+

Rg

R1

R2 5V 10V

U 02 10 ? ? 3 Ω ? 1.0 ? 104 Ω I g 10

设电源的电动势为E,内阻为r,当用电压表的5V档测 电源两端的电压时,电压表的示数为U1,已知 U1=4.50V,设此时通过电压表的电流为I1,有 U1+I1r=E,U1=I1R'1 当用电压表的10V档测量该电源两端的电压时,电压 表的示数为U2,已知U2=4.80V,设此时通过电压表的 电流为I2,有U2+I2r=E,U2=I2R'2

E=5.14V

6.滑动变阻器常用来限流和分压,其原理电路 分别如图1和图2所示。已知电源两端电压为U (内阻不计),负载电阻为R0,滑动变阻器的 总电阻为R,总匝数为N,A、C段的电阻为RAC。 (1)在图1中,当滑动端C移动时,电流I的最 小改变量ΔI为多少(设变阻器每匝阻值<<R0)?
U I? RAC ? R0 U U R ?I ? ? ?RAC ? ? 2 ( RAC ? R0 ) ( RAC ? R0 )2 N
A C B U I R0

(2)在图1中,为使在整个调节范围内电流I的 最小改变量ΔI不大于I的0.1%,滑动变阻器的匝 数N不得小于多少匝?
U R ?I ? ? ( RAC ? R0 )2 N ?I R ? I ( RAC ? R0 ) N
A U

I C R0

B

当R AC?0,ΔI/I最大
1000R N? R0

(3)在图2中,滑线变阻器的额定电流Ie不得小 于多少? U
I? RAC U // R0 ? R ? RAC
I A R0 C B

R总 ? R ? RAC

当R AC?R,I最大

R0 RAC RAC ? ? R? R0 R0 ? RAC ?1 RAC

( R0 ? R)U I? R0 R

( R0 ? R)U Ie ? R0 R

(4)在图2中,设R<<R0,证明:负载端电压 U?与RAC有简单的正比关系。
U

I? U? ?

RAC

U // R0 ? R ? RAC

I
A R0 C B

RAC

RAC R0 U // R0 ? R ? RAC RAC ? R0
U U ? ? RAC R

当R0>>RAC,

专题九、光学概要
?光的反射与折射定律

n1 sin i1 ? n2 sin i2
?光的全反射及其应用

ic ? arcsin( n2 / n1 )
?透镜折射成像以及简单光路作图
?光的双缝干涉

1.如图所示,一细长的圆柱形均匀玻璃棒,其一 个端面是平面(垂直于轴线),另一个端面是 球面,球心位于轴线上。现有一很细的光束沿 平行于轴线方向且很靠近轴线入射。当光从平 端面射入棒内时,光线从另一端面射出后与轴 线的交点到球面的距离为a;当光线从球形端面 平行轴线射入棒内时,光线在棒内与轴线的交 点到球面的距离为b。试近似地求出玻璃的折射 率n。

近轴光线的近似条件:α=sinα=tanα

由折射定律

nsinα1=sin? 1

sinα2=nsin?2
α2=?2+?2

由几何关系有?1=α1+? 1

由小角度近似, Rα1=a?1 ,Rα2=b?2, sinα=α,… 答案:n=b/a

2.如图所示,一细光束由空气射到一透明 平行平板的上表面,经折射后由平板下表 面射出。此细光束由两种不同频率的单色 光1和2组成,用i表示入射角,用n1和n2分 别表示平板对1和2的折射率,且已知 n1>n2。 (1)试分析讨论,哪种单色光在穿过平 板过程中所用时间较短?
i

读题时要全面,要认真体 会题目的涵义

d / cos r1 n1d t1 ? ? v1 c cos r1 d / cosr2 n2d t2 ? ? v2 c cosr2

i
r1 r2

sini ? n1 sinr1

sini ? n2 sinr2
2

t1 n1 1 ? (sini / n2 ) ? t 2 n2 1 ? (sini / n1 )2 n1 1 ? (sini / n2 ) n2 1 ? (sini / n1 )
2 2

? 1 ? t1 ? t 2

n1 1 ? (sini / n2 )2 n2 1 ? (sini / n1 ) n1 1 ? (sini / n2 )
2

? 1 ? t1 ? t 2

2

n2 1 ? (sini / n1 )2

? 1 ? t1 ? t 2

sini ? sini ?

n1n2 n ?n n1n2
2 1 2 1 2 2

sini ? 2 2 n ? n 1 2 ? t1 ? t 2 ? t1 ? t 2

n1n2

n ?n

2 2

(2)若n1=1.55,n2=1.52可做出什么结论?若 n1=1.40,n2=1.38,又可得出什么结论? n1n2 ? 1.085 ? 1 2 2 n1 ? n2 n1n2 ? 0.983 ? 1 2 2 无论入射角多大, n1 ? n2 单色光2用时较短 三种情形都有可能

4.如图所示,L为薄凸透镜,点光源S位于L的主 光轴上,它到L的距离为36cm;M为一与主光轴 垂直的挡光圆板,其圆心在主光轴上,它到L的 距离为12cm;P为光屏,到L的距离为30cm。现 看到P上有一与挡光板同样大小的圆形暗区ab。 求透镜的焦距。
L
M S O 12cm 36cm 30cm b

a

P

5、在杨氏双缝干涉实验中,若单狭缝向上移 动?b,则屏上的零级干涉条纹如何移动,移动 的位移?x与?b的关系如何?已知单缝屏与双缝 屏的距离为L,双缝屏与光屏的距离为D,双 缝间距为d。
?b
S

S1

P x

O
L

S2

D

D ?x ? ? ?b L

6.在杨氏双缝干涉实验中,射向双缝的光源是点 光源或缝光源,但实际的光源总是有一定的宽度, 光源的宽度对干涉条纹的观察效果有明显的影响。 如图所示的实验装置中,若单缝S到双缝(认为 双缝很窄)的距离为L,双缝间距为d,双缝到 屏的距离为D,光的波长为?,为使屏上能看到 干涉条纹,单缝S的宽度b有何要求?(实验装置 满足下列条件: L>>d、L>>b、D>>d、D>>x )
S1 b S
L

P

x
O

S2

D

解析
A

r1? r2?
L

S1

r1

P x O D

b

S
B

r2

S2

(1)光源边界A在屏上P点的光程差为

?rA ? (r2 ? r1 ) ? (r2? ? r1?)
d r2 ? r1 ? x D
于是(1)变为

(1)

bd r2? ? r1? ? 2L

A

r1? r2?
L

S1

r1

P x O D

b

S
B

r2

S2

d bd (2) ?rA ? x? D 2L d bd bD if : ?rA ? x? ? 0? x ? ? D 2L 2L

(3)

即从光源边界A发出的光线产生的零级干涉亮条纹 向下移动的距离为bD/2L.

(2)光源边界B发出的光线产生的零级干涉条纹向 上移动bD/2L. (3)故由于单缝S的宽度b使条纹移动的线度为bD/L, 而双缝干涉条纹的宽度为D?/d,因此要看清条纹必 须满足 bD D L ? ? ?b? ? (4) L d d
r1? r2?
L

A

S1

r1

P x
O

b

S
B

r2

S2

D

专题十热学与原子物理学概要
?分子动理论
Ep
F斥 o F F引

o

r0

r

?气体的宏观状态参量的微观含义
气体的压强p——运动(平动)的气体分子与容器器 壁碰撞时动量的改变所产生的。
气体的温度T——分子平均平动动能的标志

?理想气体状态方程

p1V1 p2V2 ? T1 T2

m pV ? RT M

?热力学第一定律及其应用

?Q ? ?W ? ?U
理想气体内能的含义 在不同过程—等温、 等压、等容和绝热过程中的内能、做功和热传 递

?光子说和Einstein的光电效应方程
?氢原子的Bohr模型 ?核反应方程和反应能的计算

1.如图所示,食盐(NaCl)的晶体是由钠离子 (图中的白色圆点表示)和氯离子(图中的黑 色圆点表示)组成的,离子键两两垂直且键长 相等。已知食盐的摩尔质量为 kg/mol,密度为 2.2×103kg/m3,阿伏加德罗常数为6.0×1023/mol, 求食盐晶体中两个距离最近的钠离子中心之间 的距离。

由于1mol的氯化钠含有NA个氯化钠分子,即1mol氯 化钠中有2NA个离子,所以每个钠离子占据空间为
Vmol V? 2N A

最后,邻近钠离子之间的距离
M mol d ? 2 V ? 23 ? 4.0 ? 10?10 m 2N A?
3

2.设一氢气球可以自由膨胀以保持内外压强相等, 随着气球不断升高,因大气压强随高度升高而 减小,气球将不断膨胀。如果氢气和大气皆可 视为理想气体,大气的温度、平均摩尔质量以 及重力加速度随高度的变化皆可忽略不计,则 气球上升过程中所受的浮力将如何变化?并证 明你的结论。
matm FB ? ? atmVg pV ? M RT atm
mH pV ? RT MH mH V? RT pM H

matm pM atm ? atm ? ? V RT

M atm FB ? mH g MH

4.如图所示,一定质量的理想气体,从状态A出发, 经图中AB、BC、CA状态变化后回到A,其中AB为等温 过程,BC为等压过程,CA为等容过程,求 (1)三个过程中哪个过程气体对外做功的绝对值最大? (2)哪个过程气体内能增加,哪个过程内能减少? (3)哪个过程气体热量变化的绝对值最大,哪个过程 最小? (1)AB对外做功的绝对值最大 P
(2)CA内能增加,BC内能减小 (3)AB热量变化最大,CA热量变化 C 最小 0
A

B V

5.(1)已知基态He+的电离能为E=54.4eV,为 使处于基态的静止的He+跃迁到激发态,入射光 子所需的最小能量为多少?(离子He+的能级En 与n的关系和氢原子能级公式类似。电子电荷的 大小取为1.60×10-19C,质子和中子质量均取为 1.67×10-27kg)。
1 E n ? 2 E1 n Emin 1 ? E 2 ? E1 ? E1 ? E1 ? 40.8eV 4

(2)静止的He+从第一激发态跃迁到基态时, 如果考虑到离子的反冲,与不考虑反冲相比, 发射出的光子波长相差的百分比为多少?(离 子He+的能级En与n的关系和氢原子能级公式类 似。电子电荷的大小取为1.60×10-19C,质子和 中子质量均取为1.67×10-27kg)。
E2 ? E1 ? h? 0 ?
p2 hc E 2 ? E1 ? ? 2m ?

hc

?0
p? h

?


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