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2018版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时跟踪检测61理


课时跟踪检测(六十一)
[高考基础题型得分练] 1.[2017·四川成都质检]某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目,且在同一 个城市投资的项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有( A.16 种 C.42 种 答案:D 解析:解法一(直接法):若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 3 个,每个城市一项, 共 A 种方法;若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 2 个,一个城市一项、一个城市两项共 C3A4种方法.由分类加法计数原理知,共 A4+C3A4=60(种)方法. 解法二(间接法):先任意安排 3 个项目,每个项目各有 4 种安排方法,共 4 =64(种)排 法, 其中 3 个项目落入同一城市的排法不符合要求, 共 4 种, 所以总投资方案共 64-4=60(种). 2.[2017·河北石家庄质检]在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其 中程序 A 只能出现在第一步或最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,问实验顺序的编排 方法共有( A.34 种 C.96 种 答案:C 解析: 程序 A 有 A2=2(种)结果, 将程序 B 和 C 看作元素集团与除 A 外的元素排列有 A2A4= 48(种), ∴由分步乘法计数原理,实验编排共有 2×48=96(种)方法. 3.将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学这三所大学就 读,则每所大学至少保送一人的不同保送方法为( A.240 种 C.150 种 答案:C 1 2 2 3 解析:5 名学生分成 2,2,1 或 3,1,1 两种形式,当 5 名学生分成 2,2,1 时,共有 C5C3A3 2 =90(种)方法;当 5 名学生分成 3,1,1 时,共有 C5A3=60(种)方法.根据分类加法计数原理 知,共有 90+60=150(种). 4.[2017·山东青岛模拟]将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口 至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有( A.18 种 C.36 种 ) B.24 种 D.72 种
1
3 3 1 2 4 3 2 2 3 2 2 3 4

)

B.36 种 D.60 种

) B.48 种 D.144 种

) B.180 种 D.540 种

答案:C 解析:一个路口有 3 人的分配方法有 C3C2A3种;两个路口各有 2 人的分配方法有 C3C2A3种. ∴由分类加法计数原理,甲、乙在同一路口的分配方案为 C3C2A3+C3C2A3=36(种). 5.[2017·山东师大附中一模]某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名进行发言, 要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲、乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻.那么不 同的发言顺序的种数为( A.360 C.600 答案:C 解析:当甲或乙只有一人参加时,不同的发言顺序的种数为 2C5A4=480;当甲、乙同时参 加时,不同的发言顺序的种数为 A5A3=120.则不同的发言顺序的种数为 480+120=600. 6.[2017·贵州贵阳摸底]现有 2 门不同的考试要安排在 5 天之内进行,每天最多进行一 门考试,且不能连续两天有考试,那么不同的考试安排方案种数是( A.12 C.8 答案:A 解析:若第一门安排在开头或结尾,则第二门有 3 种安排方法,这时,共有 C2×3=6(种) 方法;若第一门安排在中间的 3 天中,则第二门有 2 种安排方法,这时,共有 3×2=6(种) 方法.综上可得,不同的考试安排方案共有 6+6=12(种). 7.[2017·山西太原模拟]有 5 本不同的教科书,其中语文书 2 本、数学书 2 本、物理书 1 本.若将其并排摆放在书架的同一层上,则同一科目书都不相邻的放法种数是( A.24 C.72 答案:B 解析:据题意可先摆放 2 本语文书,当 1 本物理书在 2 本语文书之间时,只需将 2 本数 学书插在前 3 本书形成的 4 个空中即可, 此时共有 A2A4种摆放方法; 当 1 本物理书放在 2 本语 文书一侧时, 共有 A2A2C2C3种不同的摆放方法, 由分类加法计数原理可得, 共有 A2A4+A2A2C2C3= 48(种)摆放方法. 8.如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有________种.
2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 3 4 1 2 3 2 2 3 1 2 3 2 2 3

) B.520 D.720

)

B.6 D.16

)

B.48 D.96

2

答案:21 解析:当第一组开关有一个接通时,电路接通有 C2·(C3+C3+C3)=14(种)方式;当第一 组有两个接通时,电路接通有 C2(C3+C3+C3)=7(种)方式,所以共有 14+7=21(种)方式. 9.[2017·江苏淮海中学期中]若 A,B,C,D,E,F 六个不同元素排成一列,要求 A 不 排在两端,且 B,C 相邻,则不同的排法有________种.(用数字作答) 答案:144 解析: 由于 B, C 相邻, 把 B, C 看作一个整体, 有 2 种排法. 这样, 6 个元素变成了 5 个. 先 排 A,由于 A 不排在两端,则 A 在中间的 3 个位子中,有 A3=3(种)方法,其余的 4 个元素 任意排,有 A4种不同方法,故不同的排法有 2×3×A4=144(种). 10.[2017·浙江重点中学协作体摸底]把座位编号为 1,2,3,4,5 的五张电影票全部分给 甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同 的分法种数为________.(用数字作答) 答案:96 解析: 先将票分为符合条件的 4 份, 由题意, 4 人分 5 张票,且每人至少一张, 至多两张, 则三人每人一张,一人 2 张,且分得的票必须是连号,相当于将 1,2,3,4,5 这五个数用 3 个 板子隔开,分为四部分且不存在三连号.在 4 个空位插 3 个板子,共有 C4=4(种)情况,再对 应到 4 个人,有 A4=24(种)情况,则共有 4×24=96(种)情况. [冲刺名校能力提升练] 1. 有红、 蓝、 黄、 绿四种颜色的球各 6 个, 每种颜色的 6 个球分别标有数字 1,2,3,4,5,6, 从中任取 3 个标号不同的球,这 3 个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为( A.80 C.96 答案:C 解析:所标数字互不相邻的方法有 135,136,146,246,共 4 种方法.3 个颜色互不相同有 A =4×3×2=24(种), ∴这 3 个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法有 24×4=96(种). 2.[2017·广东广州调研]某高校从 5 名男大学生志愿者和 4 名女大学生志愿者中选出 3 名派到 3 所学校支教(每所学校一名志愿者),要求这 3 名志愿者中男、女大学生都有,则不 同的选派方案共有( A.210 种 C.630 种 答案:B 解析:从这 9 名大学生志愿者中任选 3 名派到 3 所学校支教,则有 A9种选派方案,3 名志 愿者全是男生或全是女生的选派方案有 A5+A4种,故符合条件的选派方案有 A9-(A5+A4)= 420(种).
3
3 3 3 3 3 3 3 4 4 3 4 4 1 2 1 2 3 1 1 2 3

)

B.84 D.104

) B.420 种 D.840 种

3.从 1,3,5,7 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字,组成没有重复数字的四 位数,其中能被 5 整除的四位数共有( A.252 个 C.324 个 答案:B 解析:①若仅仅含有数字 0,则选法是 C3C4,可以组成四位数 C3C4A3=12×6=72(个); ②若仅仅含有数字 5,则选法是 C3C4,可以组成四位数 C3C4A3=18×6=108(个); ③若既含数字 0,又含数字 5,选法是 C3C4,排法是:若 0 在个位,有 A3=6(种);若 5 在个位,有 2×A2=4(种),故可以组成四位数 C3C4(6+4)=120(个). 综上,共有 72+108+120=300(个). 4.[2017·山东潍坊五校联考]数字 1,2,3,4,5,6 按如图形式随机排列,设第一行的数为
2 1 1 1 1 3 1 2 1 2 3 2 1 2 1 3

) B.300 个 D.228 个

N1, 其中 N2, N3 分别表示第二、 三行中的最大数, 则满足 N1<N2<N3 的所有排列的个数是________.

答案:240 解析:由题意知,6 必在第三行,安排 6 有 C3种方法,第三行中剩下的两个空位安排数字 有 A5种方法,在留下的三个数字中,必有一个最大数,把这个最大数安排在第二行,有 C2种 方法, 剩下的两个数字有 A2种排法, 根据分步乘法计数原理, 所有排列的个数是 C3A5C2A2=240. 5. [2017·江西八校联考]将并排的有不同编号的 5 个房间安排给 5 个工作人员临时休息, 假定每个人可以选择任一房间, 且选择各个房间是等可能的, 则恰有 2 个房间无人选择且这 2 个房间不相邻的安排方式的种数为________. 答案:900 解析:先将 5 人分成三组(1,1,3 或 2,2,1 两种形式),再将这三组人安排到 3 个房间,然 后将 2 个房间插入前面住了人的 3 个房间形成的空档中即可,故安排方式共有? A3C4=900(种). 6.按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (3)平均分成三份,每份 2 本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本;
3 2 2 1 2 1 2 2 1 1

C5C3C1 4C3 ?C5C2 + 2 ? ? A2 ? ? A2

1 1 3

2 2 1

4

(5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; (7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本. 解:(1)无序不均匀分组问题. 先选 1 本,有 C6种选法;再从余下的 5 本中选 2 本,有 C5种选法;最后余下 3 本全选, 有 C3种选法. 故共有 C6C5C3=60(种). (2)有序不均匀分组问题. 由于甲、 乙、 丙是不同的三人, 在(1)题基础上, 还应考虑再分配, 共有 C6C5C3A3=360(种). (3)无序均匀分组问题. 先分三步,则应是 C6C4C2种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为 A,B,C,D,E,
2 2 F,若第一步取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则 C2 6C4C2 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2

种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD), 共有 A3种情况,而这 A3种情况仅是 AB,CD,EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配 C6C4C2 方式有 3 =15(种). A3 (4)有序均匀分组问题. 在(3)的基础上再分配给 3 个人, C6C4C2 3 2 2 2 共有分配方式 3 ·A3=C6C4C2=90(种). A3 C6C2C1 (5)无序部分均匀分组问题.共有 2 =15(种). A2 (6)有序部分均匀分组问题. C6C2C1 3 在(5)的基础上再分配给 3 个人,共有分配方式 2 ·A3=90(种). A2 (7)直接分配问题. 甲选 1 本,有 C6种方法;乙从余下的 5 本中选 1 本,有 C5种方法,余下 4 本留给丙,有 C4种方法,故共有分配方式 C6C5C4=30(种).
4 1 1 4 1 1 2 1 1 4 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3

5


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