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物理竞赛分类汇编 光学(教师版)


竞赛题汇编 3
相关知识点 1、 球面镜反射成像的公式及放大率(要求会推导)

光学

2、 球面镜反射成像作图有哪些特殊光线

3、 球面镜折射成像的公式及放大率(要求推导公式)

4、 薄透镜成像的公式及放大率

5、 薄透镜成像的作图

6、解决

组合镜成像的方法

一、 (28 届)如图所示,L 是一焦距为 2R 的薄凸透镜,MN 为其主光轴。在 L 的右侧与它共 轴地放置两个半径皆为 R 的很薄的球面镜 A 和 B。每个球面镜的凹面和凸面都是能反光的镜 面。A、B 顶点间的距离为

3 R 。在 B 的顶点 C 处开有一个透光的小圆孔(圆心为 C) ,圆孔 2

的直径为 h。现于凸透镜 L 左方距 L 为 6R 处放一与主轴垂直的高度也为 h(h<<R)的细短杆 PQ(P 点在主轴上) 。PQ 发出的光经 L 后,其中一部分穿过 B 上的小圆孔正好成像在球面镜 A 的顶点 D 处,形成物 PQ 的像 I。则

1、 像 I 与透镜 L 的距离等于___________。 2、 形成像 I 的光线经 A 反射,直接通过小孔后经 L 所成的像 I1 与透镜 L 的距离等于 _____________________。 3、 形成像 I 的光线经 A 反射,再经 B 反射,再经 A 反射,最后通过 L 成像 I2,将 I2 的有 关信息填在下表中: I2 与 L 的距离 I2 在 L 左方还是右方 I2 的大小 I2 是正立还是倒立 I2 是实像还是虚像

4、 物 PQ 发出的光经 L 后未进入 B 上的小圆孔 C 的那一部分最后通过 L 成像 I3, 将 I3 的有 关信息填在下表中: I3 与 L 的距离 I3 在 L 左方还是右方 I3 的大小 I3 是正立还是倒立 I3 是实像还是虚像

答案与评分标准: 本题 20 分. 1. 3R (3 分) 2. 6R (3 分) 3.

I 2 与 L 的距离
6R

I 2 在 L 左方还是右
方 右方

I 2 的大小
2h

I2 是 正 立 还 是 倒
立 倒立

I 2 是实像还是虚
像 虚像

第 1 第 3 空格各 2 分;其余 3 个空格全对 3 分,有一个错则不给这 3 分. 4.

I 3 与 L 的距离

I 3 在 L 左方还是右方

I 3 的大小

I 3 是正立还是倒立

I 3 是实像还是虚像

18R

左方

2h

倒立

实像

第 1 第 3 空格各 2 分;其余 3 个空格全对 3 分,有一个错则不给这 3 分.

二、(29 届)图中 L1 为一薄凸透镜, Q 为高等于 2.00cm 与光轴垂直放置的线状物,已知 Q 经 L1 成一实像,像距为 40.0cm。现于 L1 的右方依次放置薄凹透镜 L2 、 L3 和薄凸透镜 L4 以 及屏 P ,它们之间的距离如图所示,所有的透镜都共轴,屏与光轴垂直, L2 、 L3 焦距的 大小均为 15.0cm。已知物 Q 经上述四个透镜最后在屏上成倒立的实像,像高为 0.500cm。

1、 L1 焦距的大小为____________cm, L4 焦距的大小为______________cm。 2、现保持 Q 、 L1 、 L4 和 P 位置不变,而沿光轴平移 L2 、 L3 ,最后在屏上成倒立的实像, 像高为 1.82cm,此时 L2 和 L1 的距离为_________cm, L3 和 L4 的距离为______________cm。 最后保留结果至小数点后一位。 答案与评分标准: 1. 19.2 (4 分 , 填 19.0 至 19.4 的 , 都 给 4 分 ) 10.2 ( 4 分 , 填 10.0 至 10.4 的 , 都 给 4 分 ) 2. 20.3 4.2 (4 分 , 填 20.1 至 20.5 的 , 都 给 4 分 ) (4 分 , 填 4.0 至 4.4 的 , 都 给 4 分 )

三、 (19 届)薄凸透镜放在空气中时,两侧焦点与透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧 的介质不同, 其折射率分别为 n1 和 n2 , 则透镜两侧各有一个焦点 (设为 F1 和 F2 ) , 但 F1 、F2 和透镜中心的距离不相等,其值分别为 f1 和 f 2 。现有一个薄凸透镜 L ,已知此凸透镜对平 行光束起会聚作用,在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图复 19-5 所示。 1.试求出此时物距 u ,像距 v ,焦距 f1 、 f 2 四者之间的关系式。 2.若有一傍轴光线射向透镜中心,已知它与透镜主轴的夹角为 ? 1 ,则与之相应的出射

线与主轴的夹角 ?2 多大? 3. f1 , f 2 , n1 , n2 四者之间有何关系?

五、参考解答 利用焦点的性质,用作图法可求得小物 PQ 的像 P?Q? ,如下图所示。

Q
y

n1 f1 u

n2

F2
f2 v

P

F1

y?

P? Q?

图复解 19-5-1

(1)用 y 和 y? 分别表示物和像的大小,则由图中的几何关系可得

f2 y u ? f1 ? ? ? y f1 v ? f2

(1)

(u ? f1 )(v ? f2 ) ? f1 f 2
简化后即得物像距公式,即 u , v , f1 , f 2 之间的关系式

f1 f 2 ? ?1 u v

(2)

(2)薄透镜中心附近可视为筹薄平行板,入射光线经过两次折射后射出,放大后的光 路如图复解19-5-2所示。图中 ? 1 为入射角, ?2 为与之相应的出射角, ? 为平行板中的光线 与法线的夹角。设透镜的折射率为 n ,则由折射定律得

n1 sin?1 ? n sin ? ? n2 sin? 2
对傍轴光线, ? 1 、 ?2 ≤1,得 sin ?1 ? ?1 , sin? 2 ? ? 2 ,因而得

(3)

?2 ?

n1 ?1 n2

(4)

?1

n1 n
? ?

n2
?2

图复解 19-5-2

(3)由物点 Q 射向中心 O 的入射线,经 L 折射后,出射线应射向 Q? ,如图复解19-5-3 所示,

Q
y

n1

L

?1

n2

F2
?2
图复解 19-5-3

P

F1 u

y?

P? Q?

v u

在傍轴的条件下,有

y y? ? tan?1 ? ?1, ? tan?2 ? ?2 u v
二式相除并利用(4)式,得

(5)

y ?u n1 ? yv n2
用(1)式的 y? / y ? f1 /(u ? f1 ) 代入(6)式,得

(6)

f1u n ? 1 (u ? f1 )v n2


f1 ?

n1uv n2u ? n1v

(7)

用(1)式的 y? / y ? (v ? f 2 ) / f 2 代入(6)式,得

(v ? f 2 )u n1 ? f 2v n2


f2 ?

n2uv n2u ? n1v

(8)

从而得 f1 , f 2 , n1 , n2 之间关系式

f 2 n2 ? f1 n1

(9)

四、(24 届)图 1 所示为杨氏双缝干涉实验的示意图,取纸面为 yz 平面。y、z 轴的方向如图 所示。线光源 S 通过 z 轴,双缝 S1、S2 对称分布在 z 轴两侧,它们以及屏 P 都垂直于纸面。 双缝间的距离为 d,光源 S 到双缝的距离为 l,双缝到屏的距离为 D, d ?? D , d ?? l 。 1.从 z 轴上的线光源 S 出发经 S1、S2 不同路径到 P0 点的光程差为零,相干的结果产生 一亮纹,称为零级亮纹。为了研究有一定宽度的扩展光源对于干涉条纹清晰度的影响,我们

先研究位于轴外的线光源 S′形成的另一套干涉条纹,S′位于垂直于 z 轴的方向上且与 S 平行,两者相距 ? s ,则由线光源 S′出发分别经 S1、S2 产生的零级亮纹 P0 , P0 与 P0 的距 离 ? y ? __________ __________ __________ _____ 2.当光源宽度为 ? 的扩展光源时,可将扩展光源看作由一系列连续的、彼此独立的、 非相干的线光源组成。这样,各线光源对应的干涉条纹将彼此错开,在屏上看到的将是这些 干涉条纹的光强相加的结果,干涉条纹图像将趋于模糊,条纹的清晰度下降。假设扩展光源 各处发出的光强相同、波长皆为 ? 。当 ? 增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨,则此 时光源的宽度 ? ? __________ __________ __________

?

?

六、参考解答:

D ?s l l 2. ? d
1. 附 1、2 两问的参考解法: 1.求 S ? 经双缝产生的干涉图像的零级亮纹 P0? 的位置

?, 设 P0? 点的坐标为 y0 它也就是光源 S ? 与 S 分别对应的干涉条纹的零级亮纹之间的距离,


? ? 0 ? y0 ? P0?P0 ? ? y ? y0 ? ? ? ? 由双缝到 P0? 点的光程差 ?1 ? S2 P 0 ? S1 P 0 ,从 S 1 作 S 2 P 0P 0 0 的垂线交于 H 点,三角形 OP
与三角形 S1HS2 相似,因 D ?? d , 则

?1 ?

d d ? ? ?y y0 D D
y

(附 1)

P0?

?2

G S ?s S? l d

S1 O S2 H ?1 D

? y0
z

P0

图1

从 S2 作 S? S1 的垂线交于 G, S ? 到双缝的光程差

?2 ? S?S2 ? S?S1
? d ,则 三角形 S OS? 与三角形 S1GS 2 相似,因 l ?

(附 2)

d ? 2 ? S?S2 ? S?G ? GS1 ? ?GS1 ? ? ? s l
对满足零光程差条件的 P0? 而言,

?

?

(附 3)

d d? s ?S?S2 ? S2 P ?? ? ? ?? ?y? ?0 0 ? ? ?S S1 ? S1 P 0 ? ? ?1 ? ?2 ? ? D l


?y?

D ?? s l D ? d

(附 4)

2.在线光源情况下,可以导出双缝干涉的相邻两亮纹的间距为

?y ?

(附 5)

? s 值不同对应着扩展光源中不同位置的线光源. 不难证明, 它们经双缝产生干涉条纹
的间距 ?y 均如(5)式所示.宽度为 w 的扩展光源是由一系列 ? s 值不同的、连续分布的、 相互独立的线光源构成. 因此扩展光源在观察屏上产生的干涉图像的强度是由每个线光源产 生干涉条纹的强度相加而成.当扩展光源宽度为 w 时,对于光源最边缘点有

?s ? w
代入(4)式

(附 6)

?y?


D l

w

(附 7)

?y ? ? y
则相当于扩展光源最边缘的线光源产生的干涉条纹错开了一个条纹间距. 由于扩展光源各部 分产生的干涉条纹的光强分布都相同,各套干涉条纹强度相加的结果使屏上各处光强相等, 变得一片模糊而无法分辨.由(5)式和(7)式,求得为使条纹能被分辨,扩展光源允许的 最大宽度

(附 8)

w?

l ? d

(附 9)

五、 (23 届)有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长圆筒内。 筒内有:三个焦距分别为 f1 、 f 2 和 f 3 的透镜 L1 , L2 , L3 , f1 ? f 2 ? f 3 ;观察屏 P,它是 一 块 带 有 刻 度 的 玻 璃 片 ; 由 三 块 形 状 相 同 的 等 腰 棱 镜 构 成 的 图 1 分光元件(如图 1 所示) ,棱镜分别用折射率不同的玻璃制成,两侧棱镜的质料相同, 中间棱镜则与它们不同,棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝,它 与圆筒轴的交点为 S,缝平行于棱镜的底面.当有狭缝的一端对准筒外的光源时,位于圆筒 另一端的人眼可观察到屏上的光谱。 已知: 当光源是钠光源时, 它 的黄色谱线(波长为 589.3 nm, 称为 D 线) 位于圆筒轴与观察屏相 交处。 制作棱镜所用的玻璃, 一种 为冕牌玻璃, 它对钠 D 线的折射率

n D =1.5170;另一种为火石玻璃,
它对钠 D 线的折射率 n? D =1.7200。 1.试在图 2 中绘出圆筒内诸光学元件 n 相对位置的示意图并说出各元件的作用。 2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角 ? 的数值。

六、参考解答:
1. 圆筒内光学元件的相对位置如图 1 所示.各元件的作用如下:

圆筒轴

S

狭缝

L1
图1

L2

P

L3

狭缝 S:光源的光由此进入分光镜,观察到的谱线就是狭缝的像. 透镜 L1: 与狭缝的距离为 f1, 使由狭缝射来的光束经 L1 后成为与圆筒轴平行的平行光束. 分光棱镜:使由 L1 射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成为沿不同方向出射的

平行光束. 透镜 L2:使各种单色平行光束经 L2 成像在它的焦平面上,形成狭缝的像(即光谱线) . 观察屏 P:位于 L2 焦平面上,光源的谱线即在此屏上. 透镜 L3:与 P 的距离 ? f3,是人眼观察光谱线所用的放大镜(目镜) . 2.已知钠黄光的谱线位于 P 的中央,S 的像位于 L2 的焦点上,由此可知,对分光棱 镜系统来说,钠黄光的入射光束和出射光束都与轴平行,由于棱镜系统是左右对称,因此钠 黄光在棱镜内的光路应该是左右对称的, 在中间棱镜中的光路应该与轴平行, 分光元件中的 光路图如图 2 所示,左半部的光路如图 3.用 i1、r1、i2、r2 分别表示两次折射时的入射角和 折射角,用 n1、n2 分别表示两块棱镜对 D 线的折射率,由图 3 可以看出,在两棱镜界面上 发生折射时, i2 ? r2 ,表明 n2 ? n1 ,即中间的棱镜应用折射率较大的火石玻璃制成,两侧棱 镜用冕牌玻璃制成,故有 n1 ? n D =1.5170, n 2 ? n ? D =1.7200. i1

?
r1 i2

n2 r2

n1
图2 图3

? 2

由几何关系可得

i1 ? r2 ?

?
2

(1) (2) (3) (4)

r1 ? i2 ? ?
由折射定律可得

sin i1 ? n1 sin r1
n1 sin i2 ? n2 sin r2
从以上各式中消去 i1 、 i2 、 r1 和 r2 得

1 ?? ?? ? ?? ? ? 2n1 1 ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? ? ?1 ? 2sin 2 ? ? n2 2 n 2 2? ? ? ? ? ? 1
解(5)式得
2 ? ? ? 4n ? ?n ? 1? sin 2 ? ? ? 1 2 2 4 n1 ? n2 ?2? 2

(5)

?

?

(6)

以 n1 ? 1.5170 , n2 ? 1.7200 代入,得

? ? 123.6?

(7)

评分标准: 本题 23 分.
图2


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