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高中数学:希望杯竞赛试题详解(11-20题)


题 11 使不等式 2 ? a ? arccosx 的解是 ? x 1 ? x ? 1 的实数 a 的取值范围是( 2 C、 ) A、 1 ? ? 2 B、 2 2? ? 2 3 2 5? ? 2 6 D、 1 ?? 2 (第十一届高二第一试第 6 题) 解法 1 由已知可知 2 ? arccos x ? a 的解集是 ? ? , 1? .在此区间上函数 f ?x? ? 2 x ? arccosx 是单 x ? 1 ? ? 2 ? 调增的.因此 a 的值应当满足关系 f ? ? 1 2 ? 1? ? ? a, ? 2? ?a ? 2 ? 2 2? ? 1? ? . 选 B. ? arccos ?? ? ? 3 ? 2? 2 原不等式同解于 a ? 2 ? arccos x ,因为 ? x 解法 2 1 2 ? x ? 1 ,所以 ? 2 x ? 2, 2 2 ? 2? 2 2? 2 2? .故选 B. ? ? 2 x ? arccosx ? 2,? a ? ? ? ? arccosx ? 0 ,从而 3 2 3 2 3 评析 上述两种解法的实质是一回事. 关于此题,刊物上有数篇文章的观点值得商榷,现摘其部分加以分析. 一篇文章认为: “由已知不等式得 a ? 2 ? arccos x , 欲使其解为 ? x 1 ? 1 ? ? x ?1, 实际上是对 x ? ? ? , 1 2 ? 2 ? ? 1 时, 2 x 的任何 x , a ? 2 ? arccos x 恒成立,而 y ? 2 ? arccosx 在 ? ? , 1? 上是增函数,所以当 x ? ? x ? 1 ? ? 2 ? y min ? 2 ? 1 2 2 2? ? 1? .故选 B.” ? ? arccos ?? ? ? 2 3 ? 2? 另一篇文章在介绍了“设 m ? f ?x ? ? n, 则 a ? f ?x? ? a ? f ?x?max ? n; a ? f ?x? ? a ? f ?x ?min ? m ”后分析道:“令 f ?x? ? 2 x ? arccosx ,当 ? ? 2 ,又 a ? f ?x ? ,故 a ? 1 2 2? ? x ? 1 时, ? ? f ?x ? 2 2 3 2 2? ? ,选 B. ” 2 3 1 ? x ? 1 的实数 a 的取值范围是( 2 B、 ? ? ?, 还有一篇文章干脆将题目改为: 使不等式 2 ? a ? arccosx 的解是 ? x ) A、 ? ? ?, 1? ? ? ?? ? 2? ? ? ? 2 2? ? ? ? 2 3 ? ? C、 ? ? ?, 并作了如下解答: ? ? ? 2 5? ? ? ? 2 6 ? ? D、 ? ? ?, ? ? ? ? ? 1 2 ? ? “由已知得 a ? 2 ? arccos x ,记 f ?x? ? 2 x ? arccosx ,因为 x 在 ? ? , 1? 时, f ?x ? 单调增,所以 x ? 1 ? ? 2 ? y min ? 2 ? 1 2 2 2? 2 2? ? 1? .因此, a ? .选 B.” ? ? ? arccos ?? ? ? 2 3 2 3 ? 2? 首先应当指出, 第一、 第三篇文章中说增函数 f ?x? ? 2 x ? arccosx 在 ? ? , 1? 上的最小值是 是明显错误的. 这三篇文章 共同的观点是“不等式 2 ? a ? a

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