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1.1.2集合之间的基本关系讲义


第二讲 集合之间的基本关系 【知识点】 1.子集.对于集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就 说这两个集 合是包含关系,集合A为集合B的子集。记作

A ? B(或B ? A) 读作A含于B
2.维恩图. 用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图叫做韦恩图

B A 3.集合相等.

A

集合A与集合B中的元素完全相同,只是表示方法不同,我们就说集合A与集合B 相等,即A=B 4.真子集. 如果集合 B 是集合 A 的子集,并且集合 A 中至少有一个元素不属于集合 B,那么把集合 B 叫 做集合 A 的真子集. 表示记作 B 5.空集. 我们把不含任何元素的集合叫作空集.空集是任何集合的子集, 且是任何非空集合的真子集. 【知识点透析】 1.集合的关系问题,有同学容易忽视空集这个特殊的集合,导致错解。空集是任何集合的子 集,是任何非空集合的真子集。 2.集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴,这实际上是数形结合的思想的具体运用。 【例题精讲】 1.用符号“ ? ”“ ? ”“ ? ”或“ ? ”填空: 、 、 (1) A (或 A B), 读作“A 真包含 B” (或“B 真包含于 A”. )

?a, b, c, d ?
Q;

?a, b? ;(2)
(6)

?

?1, 2,3? ;
R;

(3) N (5) d

(4) 0

?a, b, c? ;

?x | 3 ? x ? 5?

?x | 0 ?

x ? 6? .

2. 写出集合{a,b}的所有子集,

3. 说出下列每对集合之间的关系.

(1)A={1,2,3,4,,B={3,4} } . (2)P={x|x =1} ,Q={-1,1} . (3)N,N*. 4.求下列集合之间的关系,并用 Venn 图表示. A={x|x 是平行四边形} , B={x|x 是菱形} , C={x|x 是矩形} , D={x|x 是正方形} . 判断集合 A ? x x ? 2 与集合 B ? x x 2 ? 4 ? 0 的关系. 5.判断集合 A 与 B 是否相等? (1) A={0},B= ?; (2) A={?,-5,-3,-1,1,3,5,?},B={x| x=2m+1 ,m ? Z} ; (3) A={x| x=2m-1 ,m ? Z},B={x| x=2m+1 ,m ? Z}. 4.下列各式中,正确的是( A . 2 3 ? {x | x ? 4} D. {2 3} ? {x | x ? 4} 5. 已 知 集 合 A = { x | x - 1 = 0 } B = { - 1 , 1 } 则 A 、 B 之 间 的 关 系 为 , , ___________________. 6.已知三元集合A={ x, xy, x ? y } ,B={ 0, | x |, y } ,且A=B,求 x与y 的值. 7.选用适当的符号“ (1){1,3,5}_ (2){2}_
_ _ 2 2

?

?

?

?

) B . 2 3 ? {x | x ? 4} C . {2 3} ? {x | x ? 3} ?

”或“

”填空:

{1,2,3,4,5}; (3){1}
_

{x| |x|=2};

?.

8.设集合 M ? ?0,1, 2? ,试写出 M 的所有子集,和真子集 9.已知集合A={x|x -2x-3=0} ,B={x| a x-1=0} ,若B ? A,求 a 的 ?
2

值所组成 的集合M.

10.已知三元集合A={ x, xy, x ? y } ,B={ 0, | x |, y } ,且A=B,求 x与y 的值. 11.下列四个集合中,表示空集的是( A.{0} C. {x || x |? 5, x ? Z , x ? N} 12. 已知集合 (A) 13.设 (A) 【课堂练习】 (一)集合与集合关系的理解 1.已知集合 X 满足 ? ,2? ? X ? ? ,2,3,4,5?, 求所有满足条件的集合X . 1 1 (B) , (B)
2


2

B. {( x, y) | y ? ? x , x ? R, y ? R} D. {x | 2 x ? 3x ? 2 ? 0, x ? N }
2

, (C) ,若 (C) (D)

, 那么 (



,则实数 的取值范围是( (D)



2.已知集合 M ? ? x x ? m ?

? ?

? ? ? 1 n 1 p 1 , m ? z ?, Z ? ? x x ? ? , n ? Z ?, P ? {x x ? ? , 6 2 3 2 6 ? ? ?

p ? Z} ,则 M,N,P 满足的关系是:
1 3.已知集合 A ? ? ,2,3?, B ? x x ? A , 求集合 B.

?

?

(二)空集的理解

? 4.下列集合中:(1){0};(2 x x ? n ? 1, x ? 0, n ? R ; (3)? ?; (4)? ; (5)??0,0?? ,是空集的为:
2

?

?

( ) (三)由集合之间的基本关系球参数 5.若 x 2 x ? a ? 0

?

? ?x ? 1 ? x ? 3?,则 a 的取值范围是(



6.已知集合 A ? x ax ? 1 ? 0 , 集合 B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , 若 A B,求 a 的值.
2

?

?

?

?

(四)证明两集合相等.

7.集合 X ? x x ? 2n ? 1, n ? Z , Y ? y y ? 4k ? 1, k ? Z , 试证明:X=Y.

?

?

?

?

(五)集合与函数的综合

8.设 集 合 A ? x x ? 4 x ? 0, x ? R , B ? x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0, a ? R, x ? R , 若
2 2 2

?

?

?

?

B ? A, 求实数 a 的取值范围.

9.若集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x mx ? 1 ? 0 ,且 B
2

?

?

?

?

A,求 m 的值.

(六)提升拓展 10.若不等式 x ? 1 成立时,不等式 ?x ? (a ? 1)??x ? (a ? 4)? ? 0 也成立,求 a 的取值范围.

【教学反思】


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