当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

对一道物理竞赛练习题的深究


第3 7卷第7期 2 0 1 6年

物 理 教 师 P HY S I C S T E A C H E R  

V o l . 3 7N o . 7 ( ) 2 0 1 6

· 竞赛 园地 ·

对 一道 物理 竞赛 练 习 题的 深 究
朱 泽斌1  孙 阿 明1*   沈 隽毅2 

戴 苾芬3
( 江 苏 泰 州  2 江 苏 镇 江  2 1.南 京 师范大学 泰 州学院信 息 工程学院 , 2 5 3 0 0; 2.江 苏 大学电 气 信 息 工程学院 , 1 2 0 1 3; ) 江 苏 南 京  2 3.江 苏省 中 小 学教学 研究 室 , 1 0 0 1 3

摘   要 :对 于 一 道 高 中物理 竞 赛 练 习 题 , 在解 题 时 无 法 通 过 常 规 方 法 求 解. 本 文 分 析 了 原 书 中 给 出 的 答 案, 并 运用理论 力 学的 思 想 和一 些 数学 技 巧 , 对 题 设 的模型 做 了 深 入 探 究 , 求 出 了 对 象 运 动 的 轨 迹 方 程. 最后指出常 规 方法 无 法 解 出 轨迹 方程的 原 因 . 关键词 :物理 竞 赛 ; 理论 力 学 ; 数学 技 巧 ; 轨迹 方程

中有这样一 1]    文献 [ [ 1] 道题目: 两个 小 孩 站 在 一 个 开 阔、 倾 斜 的 山 坡 上, 山 坡可 以 看 成 一 个 平 坦 的 斜面. 地面 上 结 了 足 够 的 , 冰 只要小 孩 受 到 一 点 点 的作 用 力 就 会 以 恒 定 的 速度滑向山下, 如 图1. 一
图1

编著 的 《 2 0 0道物理学难 题( 2 0 0p u z z l i n h s i c s g p y   ) 》 , 书中给出了 r o b l e m s p [ 2] 这 道 题 目 的 做 法如 下 : 如 图 2, 由于只要小 孩 受 到 一 点点 的 作 用力 就 会以 恒 定 的 速 度 滑 向 山 下, 所以重力沿斜面的分 力f 1 和摩擦力f 2 必定相 , 等 即f f 1= 2.
图2

个 小 孩 与 另外 一 个 小 孩 玩 , 他背靠在一棵大树上 / 以v 的 速 度 水 平 推 了 对 方 一 下 .后 者 滑 =1m s 0 下了山坡, 此间其速度的大小和方向均发生了变 化. 假 定 摩 擦 力与 速 度 无 关 , 被推的小孩最终的速 度为多大? 1  难点 分析 当学生 拿 到 这 道 题 目 时 , 常常很自然地假设 小孩下滑到 任 意 一 点 的 速 度, 并考虑重力沿斜面 的分力 和 摩 擦 力 , 将它们分解到沿斜面向下和与 之 垂 直 的 x 和y 两 个 方 向 , 试图求出小孩运动的 , 轨迹 方程 . 在 求 解 的 过 程 中 必 然 会 引 入 时 间t 将 位置、 速 度和 受 力分 别 表 示 成 时 间 的 函 数 . 然而在 计算时会发现, 用这 种 方 法 不 论 怎 样 变 换 关 系 式, 总会遇到一 个 方 程 无 法 求 出 精 确 解, 这也是这个 模 型 的 难 点 所在 . 在 文 末 将 说 明, 小孩下滑的轨迹 方程 确 实 无 法 用 y 关 于 x 的 方 程 来 描 述 , 同时也 无 法 表示 成 x 和y 关 于时 间t 的 参 数 方程 . 2  原 解题过程与 点 评 事实 上, 这道题目源自于 P e t e r G n a d i   g等人

速度方向与x 轴方向 的 夹 角 是θ, 则在 速 度 方 向 和 y 方 向 上, 根据冲量 定理有 , mΔ v= ( -f s i n t θ) Δ f 2+ 1 mΔ v s i n t . θ) Δ f f 1- 2 y=( 由于f 可得 f 1= 2, ( v+Δ v v+ v =0, Δ y =Δ y) 即  v+ v y=常数. 末 速 度 vma 这时便有 x的 方 向 将 会 沿 着 斜 面 向 下, 所以 v= v vma x, y=

v 0 / =0 . 5m vma s . x= 2 这种 做 法 十 分 巧 妙 , 也 很 简 洁, 通过计算速度 大小和沿 斜 面 向 下 的 分 速 度 随 时 间 的 变 化 关 系, 发现两者之 和 是 一 个 定 值, 从而很方便地导出了
末 速 度 的大 小 . 3  深 入 探究 下面 分步 骤 对 这 个 模 型 作 深 入 的 探 究 , 并求

/ / / ; 江苏省教育科学“ 十 二 五” 规划立项课题( 南京师范大学泰州学院校级科研项目 D 2 0 1 5 0 1 1 4 7)    基 金 项 目 : ( ) 资助 . Q 2 0 1 2 3 7 : E m a i l s a b 2 0 0 8@s i n a . c o m * 通 讯 作 者 :南 京 师范大学 泰 州学院信 息 工程学院 , y g

— 9 5 —

V o l . 3 7N o . 7 ( ) 2 0 1 6

物 理 教 师 P HY S I C S T E A C H E R  

第3 7卷第7期 2 0 1 6年

出 小 孩 下 滑 的 轨迹 方程 . ( )分析 . 1 设 在 轨迹 上 任 意 一 点 处 的 速 度 为 , 由于只要 小 孩 受 到 一 点点 的 作 用力 就 会 以 恒 定的 速 度 滑 向 山下, 所以在小孩匀 速 下 滑 时, 受到的摩擦力与重 力 沿 冰 面 的分力 抵消 , 即f 记 f 1= 2, ( ) s i n 1 α. g f=f f 1= 2 =m : 可以列出f 和 的 合 力 与 速 度 的 矢 量式 F f 1 2 ( ) F=-f c o s i+f( 1-s i n 2 θ θ) j, = v c o s i+ v s i n θ θ j, 式 中v 是 的 模 . ( )运 用 牛顿 第 二 定 律 进一步 推 导 . 2 ) 对( 式 中的 v 求 导 : 3 d v d v s i n o s = - c o s ω θ+ c θi+ v ω θ+ d t d t ( ) 3

) 、 ( ) ( 两 式相 等 可 得 5 9

v d t m 1 0 = . d 1+s i n c o s θ f ( θ) θ 此 时 可 以 把 v 的x 和y 分 量 表示 为

( ) 1 0

d x ( ) v = v c o s 1 1 θ, x= d t d y ( ) v = v s i n 1 2 θ. y= d t )由速 度 与θ 的 关 系 对 时 间 积 分 得 到 位 置 ( 4 与θ 的 关 系 . ( ) 式可以化为 1 1 c o s c o s t θ θ d d t = v d θ. 0 1+s i n 1+s i n d θ θ θ ) ) 把( 式 代 入( 式 1 0 1 3 d x= v 0
2 m v 1 0 d x= d θ. 2 ( 1+s i n f θ) ) ( ) 根 据( 式, 所以 1 1 1 2 d x t a n θ, y=d

( ) 1 3



) (

( ) 1 4

d v s i n θ j, d t



( ) 4

θ 注意到在 方向上可以列牛顿第二 式 中 ω=d . v d t 定律
s i n θ=-m f f 2- 1 即 d v f ( ) =- ( 1-s i n . 5 θ) d t m ) 把( 式代入( 式 可 得, 并在等号两边同时乘以 5 4) 得 m, d =[ -m v s i n 1-s i n c o s i+ ω θ-f ( θ) θ] d t [ ( ) m v c o s 1-s i n s i n 6 ω θ-f( θ) θ] j. ( 由牛顿 第 二 定 律 , 式与( 式 的 x, 2) 6) y 分量 分别相等, 则可以得到 d v . d t

2 m v t a n 0 θ ( ) d d 1 5 θ. y= 2 1+s i n f ( θ) ) 、 ( 将( 两 式 积 分, 考 虑 初 始 条 件 θ=0 时 , 1 4 1 5) x ) 和y 均 为 0, 并 将( 式代入, 可得 1



3 θ θ 燄 c o s -3 s i n 2 熿 v 2 2 ,( ) 0 1- x( = 1 6 θ) 3 3 s i n α θ θ g i n c o s +s 2 2 燅 燀 2 v 1 + s i n s i n 0 θ θ ) ( ) l n -( = 1 7 θ y( 2 . ) c o s 4 s i n 1 + s i n θ α θ g 这就是小 孩 在 冰 面 上 下 滑 的 轨 迹 方 程, 它是 [ , / , 一 个 关 于θ 的 参 数 方程 , 的取 值 范 围 为 0 π 2) θ









其图像如图3所示.

m v c o s ω=f θ. ( )导 出 速 度 v 与 角度θ 的 关 系 . 3 ) 将( 式写成 7
d d d v θ θ m v =m v =f c o s θ. d t d vd t ) 把( 式代入可得 5

( ) 7

1-s i n d v θ - d θ= . c o s v θ 将 上式 积 分 , 并 考 虑 初 始 条件θ=0 时 v= 得 v 0,

v 0 v( = . θ) 1+s i n θ 这 就 得 到 了 速 率 v 关 于θ 的 关 系 式 . ) 将( 式对 时 间t 求 导 8 v c o s θ d d v 0 θ =- ( . 2 d t t 1+s i n θ)d
— 9 6 —

( ) 8

( ) 9

图3

( 上接第 9 4 页) 让 学生 去 体 验 船 的 两 个 分 运 动 . 当学生以分析受 力的方法 对 速 度 进 行 正 交 分 解 时 , 就会出现船要 “ 飞天” 的现象, 这 个 时 候 学生 思 维 出 现 矛盾 , 陷入 混 沌 状态 , 需 要 教 师 给 一 步 台 阶. 师 生 继 续 探 究: 那 么 船 的 速 度到 底 是 怎 样 分 解 呢 ? 对 绳 子 缩 短 的 效 果 学生是容 易 接 受 的 , 再 对 比 两 种 状 态, 若绳子 不再收缩, 就只能靠 转 动 达 到 最 终 状 态, 即实际上 绳 子 实现 的 运 动 是 : 缩 短 与 转 动, 两个分运动互不 干扰. 在 模 拟 实 验 中 学 生 积 极 参 与, 教学效果非 常好. 案 例 6. 如 图1 两 竖 直 杆 MN 与 P 3所示, Q相 距 2m, 一 根长 2 . 4m 的 绳 子 两 端 拴 在 这 两 杆 上 , 第一 次 令 两 拴 点 等 高 , 第 二 次 令 两 拴 点 不 等 高, 用 一 光 滑 的 铁 钩 把 一 重 G =5 0N 的物体挂在绳子 上, 问绳中拉力多大?

形 式 开 展教学 , 取得不错的效果. 、 实 验 准备 : 铁架台( 每 组 两 个) 细 线 一 根、 钩 码、 刻 度 尺 和量角 器 . 实验方式: 分 组 探 究, 每 4 人 一 组. 把细线两 端拴 在 铁 架 台 上, 挂 好 钩 码. 先 让 两 个 端 点 M、 P 等高, 改变 P 点 的 高 低, 观察随着 P 点的缓慢升 高, 钩码 所在 位 置 的 变 化 情 况 和 测 量 随 着 P 点 高 度 变 化 夹 角 的 变 化情 况 . 通过实验探究学生发现, 钩码两侧绳子与水 平方向的夹 角 始 终 相 等, 且 保 持 不 变, 容易得到 两侧绳子的 张 力 也 相 等. 之 后, 教师可以引导学 生根据实验观察中得到的结论进行思考: 为什么 绳子与水平方向的 夹 角 始 终 相 等, 如何证明?由 于有实验探 究 的 设 置, 加 上 教 师 的 引 导, 学生更 明确了问题解决的方向, 从而可以达到事半功倍 的效果. 笔者发现, 当实验 研 究 不 仅 仅 局 限 于 兴 趣, 而 与志趣结缘时, 我们 发 现 学 生 的 潜 力 是 无 限 的 , 他 们 的 热 情 也是 巨 大 的 . 学 生 在 不 断 探 索 的 过 程 中, 我们 在 不 知 不 觉 中 培 养 了 他 们 的 质 疑 能 力 、 观察 能力 、 思 考 能 力, 以 及 严 谨 求 实 的 科 学 精 神, 是一 个社会人 在 以 后 的 发 展 中 最 需 要 的 能 力 和 精 神. 当学生 离 开 学 校 离 开 物 理 , 在他们身上留下的这

图1 3

  

图1 4

些 品 质 是最 可 贵 的 . 物理学是一 门 实 验 科 学 , 也 是 一 门 生 活 科 学, 养 成 科 学的生 活 方 式 、 生 活 思 维、 生活态度应是物 因 此, 重视中学物理的实验教 理教学的重要 任务 . 学, 也就是让教育回归生活世界. ( ) 收稿日期 : 2 0 1 6-0 3-1 3

本 题的 难 点 在于 绳 子 两 端 不 等 高 的 时 候 铁 钩 两侧绳子与 水 平 方 向 的 夹 角 始 终 相 等, 且保持不 变. 通过 理论 探 究 的 形 式 也 可 以 得 到 答 案 , 如图1 4 受 力分析 可 得 . 但是 理 论 毕 竟 是 理 论 , 学生还是将 信 将疑 的 , 因此笔者在课上采用自制实验探究的 可以得到轨迹在x 方向 i mx(    通过 求 极 限l θ) / 2 v 上将收敛于 式代入( 式, 并求 极 限 .将 ( 8) 3) 3 s i n α g v 可 以 得 到 小 孩 最 终 的 速 度 是 0j, 因此小 l i m v( θ) / 2 2 θ →π / 孩 最 终 以v 2的速度匀速下滑. 0 4  结 论 以上 的 做 法 运 用 了 大 学 阶 段 理 论 力 学 的 思 想, 使用了 较 多 的 数 学 技 巧 , 但对于初步了解一些 微 积 分知识的学生 来 说 , 理 解 这 种 做 法 并 不 困 难. 在这 种 做 法 中, 在 x 和y 方 向 上 分 别 根 据 牛 顿 第 二 定 律列 出 了 等 式 . 其中在速度方向上的牛顿第
θ →π 2 2 0

二 定 律表 达 式 , 即( 式, 是一 个 关 键 的等 式 , 这个 5) 等式得到了 速 度 大 小 对 时 间 的 导 数, 即加速度大 小的表达式. 而在计算过程中设法消去了时间而 保 留 夹 角θ, 从 最 后 的分析中 看 到这 个 思 路 是 正 确 的, 若 消 去θ 而 保 留 时 间 将 解不 出 轨迹 方程 . 参考文献 :
高中物理 竞赛考前辅导[ 上 海: 华东师范 1  张 大 同 . M] . 大学 出版 社 , 2 0 1 0: 3 7 7. , 2 P h s i c s G n a d i G  H o n e k, K F R i l e . 2 0 0p u z z l i n       p y g y y g   :C r o b l e m s [M ] .C a m b r i d e a m b r i d e n i v e r s i t  U p g g y 1 4 4-1 4 5. P r e s s . 2 0 1 1:

( ) 收稿日期 : 2 0 1 6-0 3-1 4


相关文章:
1简单求值法:对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷——...
1简单求值法:对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷——弹簧振动振子机械能守恒问题新解_学科竞赛_高中教育_教育专区。对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷 ——弹簧...
湘潭凤凰中学高一物理竞赛练习题二、三
湘潭凤凰中学高一物理竞赛练习题二、三_学科竞赛_高中教育_教育专区。湘潭凤凰中学...如图甲所示,A、B 两物体静止叠放在光滑水平面上,对 A 物体施加一水平力 F,...
1极其简单法:对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷——...
1极其简单法:对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷——弹簧振动振子机械能守恒问题新解_学科竞赛_高中教育_教育专区。对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷——弹簧振动...
科学的思维方法
对一道竞赛题的探究与拓展 全国中学生物理竞赛试题考查学生能力的初步调查研究 中(国)芬(兰)高中物理课程的对比管见 高中物理教学中培养学生直觉思维和逻辑思维的...
高一物理竞赛试题(有答案)
高一物理竞赛试题一.不定项选择题: (每题 4 分,共 60 分) (g=10m/s2) 1 .站在磅秤上的人,由直立开始下蹲到最低处的过程中,磅秤的读数变化情况是( )...
高中物理竞赛模拟试题及答案1(1)
142页 免费 高中物理竞赛书目-1 2页 免费 高中物理竞赛模拟试题1 7页 免费喜欢...为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹,P、Q 是这条轨迹...
高中物理竞赛(力学)练习题解
高中物理竞赛(力学)练习题解_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。高中物理...一条长度为l的绳(质量不计),一端的位置固定在圆锥体的顶点O处,另一端拴着...
必修一物理竞赛检测试题
必修一物理竞赛检测试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中物理必修一物理竞赛检测...20. 图示正方形轻质刚性水平桌面由四完全相同的轻质细桌腿 1、2、3、4 ...
八年级物理竞赛练习题(1、2)
八年级物理竞赛练习题(1、2)_初二理化生_理化生_初中教育_教育专区。八年级上册...路程不等,位置的变化相同 1、甲、乙、丙三辆汽车同时在一条东西方向的大街上...
全国或全国各地初中物理竞赛(初赛)试题分类14章探究电路
初中物理竞赛 试题分类汇... 5页 免费 初中物理动态电路分类练... 5页 2下载...B.鸟儿对电流的承受能力比较强。 C.鸟儿双脚落在同一条导线上,没有电流流过...
更多相关标签: