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重庆第七中学2010届高三数学复习检测题(含答案)


重庆第七中学 2010 届高三数学复习检测题

一. 选择题: (本题共 10 道小题,每小题 5 分,共 50 分。每题只有一个正确的答案) 1.设 M, 是两个非空集合, P 定义 M 与 P 的差集为 M-P={x|x ? M 且 x ? p},则 M- M-P) ( ( 等于 A. P B. M ? P C. M ? P D. M )

2.已知命题 p :不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m 的解集为 R;命题 q : f ( x) ? log (5? 2 m ) x 为减函数. 则 p 是 q 成立的( ) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 3.如果数列{an}满足 a1 , A.2
100

a a2 a3 , ,..., n ,... 是首项为 1, 公比为 2 的等比数列, a100 等于 则 ( a1 a2 an ?1
99

B.2

C.2

5050

D.2

4950

4.若函数 f(x)=asinx-bcosx 在 x= A.a=-1,b= 3
? ?

? 处有最小值-2,则常数 a、b 的值是( 3
C.a= 3,b=-1
? ? ? ?



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B.a=1,b=- 3

D.a=- 3,b=1

m 5.已知向量 a ? ( 2,3) , b ? (?1,2) ,若 m a ? n b 与 a ? 2 b 共线,则 等于( ) n 1 1 A. ? ; B. ; C. ? 2 ; D. 2 ; 2 2
6.定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在[-1,0]上单调递增,设 a ? f (3) ,

b ? f ( 2 ) , c ? f (2) ,则 a, b, c 大小关系是(
A. a ? b ? c B. a ? c ? b

) D. c ? b ? a

C. b ? c ? a

7. 函 数 y ? log a ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的 图 象 恒 过 点 A , 若 点 A 在 直 线

mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 m 、n ? 0, 则
8.已知倾斜角 ? ? 0 的直线 l 过椭圆

1 2 ? 的最小值为( m n

)A.7

B.8 C.9 D.10

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点F交椭圆于A、B两 a2 b2

点,P为右准线上任意一点,则 ?APB 为( )A.钝角B.直角C.锐角D.都有可能 D 9. 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 4, BC ? 3, E 是 CD 的 中点,沿 AE 将 ?ADE 折起,使二面角 D ? AE ? B 为 60? , 则四棱锥 D ? ABCE 的体积是( ).
D E C E C

9 39 27 39 9 13 27 13 A. B. C. D. 13 13 13 13 A B A B 10. 已知函数 f ( x)的定义域为 ?2,??) ,且 f (4) ? f (?2) ? 1 , f ?( x)为f ( x) 的导函数,函数 [

-1-

y ? f ?(x) 的图象如图所示.

x?0 ? ? y?0 则平面区域 ? 所围成的面积是( ? f (2 x ? y ) ? 1 ?
A.2 B.4

)

C.5

D.8

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)把答案填在答题卷的相应位置上.) 11. 函数 f ( x) ? 3 (0 ? x ≤ 2) 的反函数的定义域为
x

.

12.已知直线 l1: ? y 13. 已 知

1 l ( 1)且 则 x ? 2 , 2 过点 P – 3, , l 1 到 l 2 的角为 45 ? , l2 的方程为_______. 2

A, B, C, 在 同 一 个 球 面 上 , AB ? 平面BCD, BC ? CD, 若 D

AB ? 6, AC ? 2 13, AD ? 8 ,则 B, C 两点间的球面距离是
14. 在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图 为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个 大正方形(如图). 如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25, 直角三角形中较小的锐角为 ? ,那么 sin2 ? 的值等于
2

.

15. 设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正向的夹角为 60°,则 | OA | 为 .

16. 若 f ( x) 是以 2 为周期的偶函数,当 x ? ? 0,1? 时, f ( x) ? x ,在区间 ? ?1,3? 内关于 x 的 方程 f ( x) ? kx ? k ? 1 ( k ? R 且 k ? ?1 )有 4 个不同的根,则 k 的取值范围是 三.解答题: (本题共 6 个小题,共 76 分。要求写出详细的解答过程) 17.(本小题满分 13 分)设向量 a ? (1, cos 2? ), b ? (2,1), c ? (4 sin? ,1), d ? ( sin? ,1) ,其 中 ? ? (0, .

?
4

1 2

) .(1)求 a ? b ? c ? d 的取值范围;

(2)若函数 f ( x) ?| x ? 1 |, 比较f (a ? b)与f (c ? d ) 的大小.

18.(本小题满分 13 分)随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二

-2-

等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万 元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ? . (1)求 ? 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提高为 70% .如果 此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?

19.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x2 ? 2 . 3
2

(1)设{an}是正数组成的数列,前 n 项和为 Sn,其中 a1=3.若点 (an , an ?1 ? 2an ?1 ) (n∈N*)在函 数 y=f′(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在 y=f′(x)的图象上; (2)求函数 f(x)在区间(a-1,a)内的极值.

20. (本小题满分 13 分) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P-ABCD , 底 面 ABCD 为 菱 形 , PA ⊥ 平 面 ABCD , ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (1)证明:AE⊥PD; (2)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 求二面角 E—AF—C 的余弦值.

6 , 2

-3-

21.本小题满分 12 分)设椭圆中心在坐标原点, A(2,,B(0, 是它的两个顶点,直线 0) 1)

y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点.
(1)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (2)求四边形 AEBF 面积的最大值.

??? ?

????

22.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的首项 a1 ? (1)求 {an } 的通项公式; (2)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥

3an 3 , an ?1 ? , n ? 1 2, . ,? 2an ? 1 5

1 1 ?2 ? ? ? x ? , n ? 1 2, ; ,? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

(3)证明: a1 ? a2 ? ? ? an ?

n2 . n ?1

-4-

参考答案
1、B 2、B 3、D 4、D 5、A 11、 ?1,9? 12、 3x ? y ? 10 ? 0 13、 6、D 7、B 8、C 9、A 10、B

21 4? 24 1 p 16、 ? - ,0 14 、15、 2 3 25 3
? ? ?
2

?

17. 解: (1)∵ a ? b ? 2 ? cos 2?,c ? d ? 2sin ∴ a ? b ? c ? d ? 2cos 2? ,

? ?

? ? 1 ? 2 ? cos 2? ,

? ? ? ? ?

,∴ 0 ? 2cos 2? ? 2 , 4 2 ? ? ? ? ? ∴ a ? b ? c ? d的取值范围是(0, 2) 。………………………………….6 分 ∵0 ?? ? ,∴ 0 ? 2? ? (2)∵ f (a ? b) ?| 2 ? cos 2? ? 1|?|1 ? cos 2? |? 2 cos 2 ? ,

?

?

? ?

? ? ? f (c ? d ) ?| 2 ? cos 2? ? 1|?|1 ? cos 2? |? 2sin 2 ? ,
∴ f (a ? b) ? f (c ? d ) ? 2(cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? 2cos 2? , ∵0 ?? ?

? ?

? ? ?

?
4

,∴ 0 ? 2? ?

?
2

,∴ 2cos 2? ? 0 ,∴ f (a ? b) ? f (c ? d ) …….12 分

? ?

? ? ?

18、 ? 的所有可能取值有 6,2,1,-2; P(? ? 6) ?

126 50 ? 0.63 , P(? ? 2) ? ? 0.25 200 200

P(? ? 1) ?

20 4 ? 0.1, P(? ? ?2) ? ? 0.02 200 200

故 ? 的分布列为:

?
P

6 0.63

2 0.25

1 0.1

-2 0.02

(2) E? ? 6 ? 0.63 ? 2 ? 0.25 ? 1? 0.1 ? (?2) ? 0.02 ? 4.34 (3)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为

E( x) ? 6 ? 0.7 ? 2 ? (1 ? 0.7 ? 0.01 ? x) ? (?2) ? 0.01 ? 4.76 ? x(0 ? x ? 0.29)
依题意, E ( x) ? 4.73 ,即 4.76 ? x ? 4.73 ,解得 x ? 0.03 所以三等品率最多为 3% 19、(Ⅰ)证明:因为 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 2, 所以 f ′(x)=x2+2x, 3

-5-

x f′(x) f(x)

(-∞,-2) + ↗
?

-2 0 极大值

(-2,0) ↘

0 0 极小值

(0,+∞) + ↗

由点 (an , an ?1 ? 2an ?1 )(n ? N ) 在函数 y=f′(x)的图象上,
2

又 an ? 0(n ? N ), 所以 (an ?1 ? an )(an ?1 ? an ? 2) ? 0, 所以 Sn ? 3n ?

?

n(n ? 1) ? 2=n 2 ? 2 n ,又因为 f ′(n)=n2+2n,所以 Sn ? f ?(n) , 2

故点 (n, Sn ) 也在函数 y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解: f ?( x) ? x ? 2 x ? x( x ? 2) ,
2

由 f ?( x) ? 0, 得 x ? 0或x ? ?2 . 当 x 变化时, f ?( x) ﹑ f ( x) 的变化情况如下表: 注意到 (a ? 1) ? a ? 1 ? 2 ,从而 ① 当 a ? 1 ? ?2 ? a ,即 ? 2 ?a ? ? , (x的极大值为 f (? 2) ? ? , 此 时 f ( x) 无 极 小 时 f ) 1 值; ②当 a ? 1 ? 0 ? a,即0 ? a ? 1时,f ( x) 的极小值为 f (0) ? ?2 ,此时 f ( x) 无极大值; ③当 a ? ?2或 ? 1 ? a ? 0或a ? 1时,f ( x) 既无极大值又无极小值.

2 3

20、 (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD,又 PD ? 平面 PAD. 所以 AE⊥PD. (Ⅱ)解:设 AB=2,H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH. 由(Ⅰ)知 AE⊥平面 PAD, 则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中,AE= 3 ,

-6-

所以 当 AH 最短时,∠EHA 最大, 即 当 AH⊥PD 时,∠EHA 最大. 此时 tan∠EHA=

AE 3 6 ? ? , AH AH 2

因此

AH= 2 .又 AD=2,所以∠ADH=45°,

所以 PA=2. 解法一:因为 PA⊥平面 ABCD,PA ? 平面 PAC, 所以 平面 PAC⊥平面 ABCD. 过 E 作 EO⊥AC 于 O,则 EO⊥平面 PAC, 过 O 作 OS⊥AF 于 S,连接 ES,则∠ESO 为二面角 E-AF-C 的平面角, 在 Rt△AOE 中,EO=AE·sin30°=

3 3 ,AO=AE·cos30°= , 2 2 3 2 , 4

又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中,SO=AO·sin45°=



SE ? EO 2 ? SO 2 ?

3 8 30 ? ? , 4 9 4

3 2 SO 15 在 Rt△ESO 中,cos∠ESO= ? 4 ? , SE 5 30 4
即所求二面角的余弦值为

15 . 5

x2 ? y 2 ? 1, 21、 (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为 4
直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . ·························2 分 ························ 如图,设 D( x0,kx0 ),E ( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k ) x ? 4 ,
2 2

y B O E D

F A x

故 x2 ? ? x1 ?

2 1 ? 4k
2

.①

由 ED ? 6 DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ?

??? ?

????

1 5 10 (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? ; 7 7 7 1 ? 4k 2

-7-

由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ? 所以

2 . 1 ? 2k

2 10 , ? 1 ? 2k 7 1 ? 4 k 2
2

化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,

2 3 或 k ? . ·························································6 分 ························································ 3 8 ( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E,F 到 AB 的 距 离 分 别 为
解得 k ?

h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5 x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



h2 ?

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

. ···································· 9 分 ····································

又 AB ?

22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 AB (h1 ? h2 ) 2

1 4(1 ? 2k ) ? ? 5? 2 5(1 ? 4k 2 )

?

2(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2
1 ? 4k 2 ? 4k 1 ? 4k 2

?2

≤2 2 ,
当 2k ? 1 ,即当 k ?

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .·················12 分 ················ 2

解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 . 设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为

S ? S△BEF ? S△ AEF ? x2 ? 2 y2 ·································································· 9 分 ··································································
? ( x2 ? 2 y2 ) 2

-8-

2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 2 2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 )

?2 2,
当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 22、解法一: (Ⅰ)? an ?1 ? 12 分

? 1 1? 1 3an 1 2 1 ? 1 ? ? ? 1? , ,? ,? ? ? an ?1 3 ? an 2an ? 1 an ?1 3 3a n ?



? 1 ? 1 2 2 1 ? 1 ? ,? ? ? 1? 是以 为首项, 为公比的等比数列. an 3 3 3 ? an ?

3n 1 2 1 2 . ? ? 1 ? ? n ?1 ? n ,? an ? n an 3 3 3 3 ?2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ?

3n ? 0, 3n ? 2

1 1 ? 2 ? ? ? x? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?
? 1 1 ?2 ? ? ?1?1? x ? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?
1 1 ? 1 ? x (1 ? x) 2 ?1 ? ? ? (1 ? x) ? ? an ?

?

??

1 1 2 ? ? 2 an (1 ? x) 1 ? x
? 1 ? ? an ? ? an ≤ an ,?原不等式成立. ? ? 1? x ?
2

1 ?? an

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 x ? 0 ,有

a1 ? a2 ? ? ? an ≥

1 1 ?2 ? 1 1 ?2 1 1 ?2 ? ? ? ? x? ? ? ? x ? ?? ? ? ? x? 2 ? 2 ? 2 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? ?

?

n 1 ?2 2 2 ? ? ? 2 ? ? ? n ? nx ? . 2 ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 3 3 ?

-9-

2? 1? ?1 ? n ? 1 1?2 2 2? 3 1? 3 ? ? ? ?1 ? n ? , ?取 x ? ? ? 2 ? ? ? n ? ? ? n?3 3 3 ? ? 1? n? 3 ? n ?1 ? ? ? 3?
n 则 a1 ? a2 ? ? ? an ≥ 1? 1 1 ? ?1 ? n n? 3 n2 . ? ? ? n ?1? 1 n ?1 ? 3n ? n2

?原不等式成立.
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 f ( x) ?

1 1 ?2 ? ? ? x? , 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

? 2 ? ? 2 ? ?(1 ? x) 2 ? ? n ? x ??2(1 ? x) 2 ? n ? x ? 1 3 ?3 ? ? 则 f ?( x) ? ? ? ? ? 2 2 2 (1 ? x) (1 ? x) (1 ? x)

?x ? 0 , 2 2 ?当 x ? n 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? n 时, f ?( x) ? 0 , 3 3

?当 x ?

2 时, f ( x) 取得最大值 3n

1 ? 2? f ? n ?? ? an . ? 3 ? 1? 2 3n

?原不等式成立.

- 10 -


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