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高中数学必修3(人教A版)第二章统计2.1知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 统计 2.1 随机抽样

一、学习任务 1. 通过实际问题情境,了解随机抽样的必要性和重要性. 2. 了解简单随机抽样的方法,会用抽签法与随机数表法从总体中抽取样本;了解系统抽样方 法,会用系统抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样方法,会用分层抽样方法从总体中 抽取样本;了解各种抽样方

法的适用范围,能区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,会 选择适当的方法进行抽样. 3. 了解可以通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据.

二、知识清单
总体、个体与样本 分层抽样 简单随机抽样 三种抽样方法的比较 系统抽样

三、知识讲解
1.总体、个体与样本 描述: 总体 我们一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看作总体. 个体 构成总体的每一个元素作为个体. 样本 从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本. 样本容量 样本中个体的数量叫做样本容量.

例题: 为了了解全校 300 名高一学生的体重情况,该校学生小明随机抽取了 80 名学生进行测量.下 列说法中正确的是( ) A.总体是 300 B.个体是每一个学生 C.样本是 80 名学生 D.样本容量是 80 解:D 根据定义,总体是某一数值指标的全体,而个人和样本考察的也是指标,因此本题中总体是 300 名高一学生的体重,个体是高一每一名学生的体重,样本是抽取的 80 名学生的体重,样本容量 是 80.

为了了解一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这个问题中,200 个零件的长度 是( ) A.总体 B. 个体 C.总体的一个样本 D.样本容量 解:C 200 个零件的长度是从总体中抽出的个体所组成的集合,所以是总体的一个样本.

2.简单随机抽样 描述: 随机抽样 在抽样时要保证每一个个体都可能被抽到,每一个个体被抽到的机会是均等的,满足这样的条件 的抽样是随机抽样. 简单随机抽样 一般地,从元素个数为 N 的总体中不放回地抽取容量为 n 的样本,如果每一次抽取时总体中 的各个个体有相同的可能性被抽到,这种抽样方法叫做简单随机抽样,这样抽取的样本,叫做简 单随机样本. 简单随机抽样的特点: ①被抽取样本的总体中的个体数 N 是有限的. ②抽取的样本个体数 n 小于或等于总体中的个体数 N . ③简单随机抽样是一种不放回抽样. ④简单随机抽样是一种等可能的抽样,每个个体被抽取到的可能性均为 常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法. 抽签法是把一个总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,每一个个体对应唯一一个号码, 将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容 量为 n 的样本.抽签法的优点是简单易行,缺点是,当总体的容量非常大时,费时,费力又不 方便,况且,如果标号的纸片或小球搅拌得不均匀,可能导致抽样的不公平. 一般地,用抽签法从容量为 N 的总体中抽取一个容量为 n 的样本的步骤为: ①编号:对总体中 N 个个体进行编号. ②制签:将 1 ? N 个编号写在大小、形状都相同的号签上. ③搅拌均匀:将写好的号签放入一个不透明的容器中,搅拌均匀. ④抽签:从容器中每次抽取一个号签,连续抽 n 次,并记录其编号. ⑤确定样本:从总体中找出与号签上的号码对应的个体,组成样本. 随机数表法是随机数表由数字 0 ,1 ,2 ,3 ,?,9 这 10 个数字组成,并且每个数字在表中 各个位置上出现的机会都是一样的,通过随机数表,根据实际需要和方便使用的原则,将几个数 组成一组,然后通过随机数表抽取样本.随机数表的优点是简单易行,它很好的解决了当总体中 个体数较多时用抽签法制签难的问题.缺点是当总体个体数很多,需要的样本容量也很大时,用 随机数表法抽取样本仍不方便. 用随机数表抽取样本的步骤是: ①编号:将总体中的每个个体进行编号. ②选定初始值(数):为保证所选数字的随机性,在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位 置. ③选号:从选定的数字开始按照一定的方向读下去,得到的号码若不在编号中或已被选用,则跳 过不取,取到一行(列)末尾时转到下一行(下一列)从左到右(从上到下)继续读数.直到选 满 n 个号码为止. ④确定样本:按步骤③选出的号码从总体中找出与其对应的个体,组成样本.

n . N

例题: 下列抽样方法是简单随机抽样吗?为什么? (1)从无数个个体中抽取 50 个个体作为样本; (2)某连队从 200 名党员官兵中,挑选出 50 名最优秀的官员赶赴青海参加抗震救灾工作; (3)一彩民选号,从装有 36 个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出 6 个号签. 解:(1)不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求总体个数是有限的.(2)不是简单随机抽 样.因为 50 名官兵是从中挑出来的,是最优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单 随机抽样中“等可能抽样”的要求.(3)是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的,并且 是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽取. 2013年第27届世界大学生运动会在俄罗斯举行,为了支持这次运动会,某大学从报名的 20 名大 三学生中选取 6 人组成志愿小组,请用抽签法设计抽样方案. 解:(1)将 20 名志愿者编号,编号为 1 ,2 ,3 ,4 ,?,20; (2)将 20 个号码分别写在 20 张形状相同的卡片上,制成号签; (3)将 20 张卡片放入一个不透明的盒子里,搅拌均匀; (4)从盒子中逐个不放回地抽取 6 个号签,并记录上面的号码; (5)所得号码对应的志愿者,就是要抽取的志愿者小组成员. 总体由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成,利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选 出来的第 5 个个体的编号为( )

7816 3204

6572 0802 6314 9234 4935 8200

0702 3623

4369 4869

9728 6938

0198 7481

A.08 B.07 C.02 D.01 解:D 由随机数法的抽样过程及题意知,选出的 5 个个体的编号为:08,02,14,07,01,故第 5 个个体的编号是 01.      

3.系统抽样 描述: 将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要 的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样.当总体元素个数很大时,可采用系统抽样的方法抽取样 本.从元素个数为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,如果总体容量能被样本容量整除,设

N ,可先由数字 1 到 k 中随机地抽取一个数 s 作为起始数,然后顺次抽取第 s + k , n s + 2k ,?,s + (n ? 1)k 个数,这样就得到容量为 n 的样本.由于抽样的间隔相等,因此系 k=

统抽样也被称作等距抽样.若总体容量不能被样本容量整除,先用简单随机抽样的方法剔除多余 个体,剩余部分再进行分组. 系统抽样有以下特点: ①适用于总体容量较大的情况; ②系统抽样是不放回抽样; ③系统抽样中,每个个体被抽到的可能性相等,均为

容量) ④系统抽样将总体分成几个部分,各部分必须是均衡的,间隔是相等的;

n (N 为总体的个体数,n 为抽取的样本 N

⑤剔除多余个体及第一段抽样都要用简单随机抽样 . 例题: 下列抽样中不是系统抽样的是( ) A.从标有 1 ? 15 号的 15 个球中,任选 3 个做样本,按从小号到大号的顺序排列,随机选起 点 i 0 ,然后选 i 0 + 5 , i 0 + 10 (超过 15,则从 1 再数起)号

B.工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔 5 分钟抽一件 产品进行检验 C.某一商场搞调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查,直到调查到事先规定的调查人 数为止 D.在报告厅对与会听众进行调查,通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留下来座谈 解:C 系统抽样又叫等距抽样,A、B、D 三项都是等距抽样,C 项不是等距抽样. 某工厂为了了解工人对厂里制度的意见和看法,打算从 600 名工人中抽取 60 名工人进行调 查,应选用哪种抽样方法?如何进行抽样? 解:选用系统抽样.步骤如下: ①将 600 名工人进行编号,编号分别为 001 ,002 ,003 ,004 ,? ,600 . ②由于

600 = 10 ,故可确定间隔为 10 . 60 ③从 1 ? 10 中利用简单随机抽样方法抽取一个号码,如 004 . ④从 004 开始,每隔 10 个编号确定一个号码,即 004 ,014 ,024 ,034 ,?,594 ,这样就 得到一个容量为 60 的样本.
用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1 ? 160 编号,按编 号顺序平均分成 20 组( 1 ? 8 号,9 ? 16 号,?,153 ? 160 号)若第 16 组应抽出的号码 为 126 ,则第一组中用抽签法确定的号码是( ) A.2 B.3 C.6 D.7 解:C 间隔相等,所以 126 ? 8 × 15 = 6 .

4.分层抽样 描述: 将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分,每一部分叫做层,在各层中按层在 总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样,这种抽样的方法叫做分层抽样.当总体由明显差 别的几部分组成时,为了使抽取样本更好地反映总体的情况,常采用分层抽样. 分层抽样的步骤: ①分层;

n ; N ③确定第 i 层应该抽取的个体数为 ni = Ni ? k(Ni (i = 1, 2, 3, ? , k) 为第 i 层所包含的个体 数),使得各 ni 之和为 n; ④按步骤③中确定的个体数在各层中随机地抽取个体,合在一起便得到容量为n的样本. 注:有些层面抽取的个数ni 不是整数,可作适当的细微调整,使抽取的个数为整数.
②根据总体中的个数 N 和样本容量 n 计算抽样比k = 分层抽样的特点: ①分层抽样适用于已知总体是由差别明显的几部分组成的总体; ②分成的各层互不重叠;

③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中所占的比例,即 体容量.

n ,其中 n 为样本容量,N 为总 N

例题: 下列抽样问题最适合用分层抽样的是( ) A.从全班 48 名学生中随机抽取 8 人参加一项活动 B.一个城市有 210 家百货商店,某中大型商店 20 家,中型商店 40 家,小型商店 150 家. 为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为 21 的样本 C.从参加模拟考试的 1200 名高中生中随机抽取 100 人分析试题作答情况 D.从参加模拟考试的 1200 名高中生中随机抽取 10 人了解某些情况 解:B A 项中总体容量较小,样本容量也较小,可采用抽签法.B 项中总体中的个体有明显的层次,用 分层抽样法.C 项中总体容量较大,样本容量也较大,最适合用系统抽样法.D 项中总体容量较 大,样本容量较小,可采用随机数表法. 某政府机关有在编人员 100 人,其中副处级以上干部 10 人,一般干部 70 人,后勤人员 20 人.上级机关为了了解政府机构改革的意见,要从中抽取一个容量为 20 的样本,试确定用何种 方法抽取,并描述出具体操作方法. 解:因为个体差异明显,为了体现调查的公平性,应该采用分层抽样 . ①分成副处级以上干部、一般干部、后勤人员三层; ②抽样比为

100 = 5; 20 10 70 20 ③ = 2 (人), = 14 (人), = 4 (人),所以从副处级以上干部中抽取 2 人,从 5 5 5 一般干部中抽取 14 人,从后勤人员中抽取 4 人. ④因为副处级以上干部与后勤人员人数都较少,可分别按 1 ? 10 编号与 1 ? 20 编号,然后采 用抽签法分别抽取 2 人和 4 人.一般干部有 70 人,人数较多,首先采用 00 , 01 , ? ,69 编号,然后利用随机数表法抽取 14 人.
某个年级有男生 560 人,女生 420 人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本,则此样本中男生人数为______. 解:160 由分层抽样的定义可计算得 560 ×

280 = 160 ,所以此样本中男生人数为 160 . 560 + 420

5.三种抽样方法的比较 描述: 共同点 ①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 ②每次抽出个体后不再将它放回,即不放回抽样 适用范围 抽样方法 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 适用范围 总体个数较少或总体个数较多,样本个数较少 总体个数较多, 个体差异不明显 总体由差异明显的几部分组成

例题: 一个单位有职工

160 人,其中业务人员 96 人,管理人员 40 人,后勤服务人员 24 人,为了了解职工的某种情

况,要从中抽取一个容量为 20 的样本,有下列三种方法: 方法一:将 160 人从 1 ? 160 编号,然后用白纸做成 1 ? 160 的号签 160 个放入箱内搅拌均匀,然后从中抽取 20 个号签,与号签上的号码相同的 20 个人被选出; 方法二:将 160 人从 1 ? 160 编号,按编号顺序分成 20 组,每组 8 人,先从第 1 组中用抽签的方法抽出 k (
1 ≤ k ≤ 8 )号,其余组的(k + 8n )(n = 1 ,2 ,?,19 )号也被抽到,如此抽取 20 人;

方法三:按 20 : 160 = 1 : 8 的比例,从业务人员中抽取 12 人,从管理人员中抽取 5 人,从后勤服务人员中抽取
3 人,然后用随机数表法从各类人员中抽取所需的人数,他们合在一起恰好为抽取的 20 人.

上述三种抽样方法中,按简单随机抽样法、分层抽样法、系统抽样的依次是(  )
A.方法一、方法二、方法三 C.方法一、方法三、方法二 解:C 抽签法是简单随机抽样的一种常用方法,显然方法一是抽签法;方法二是先将总体均分成几组,再按一定规则从 每组中抽取一个个体,这是系统抽样;方法三是从三类不同岗位的人中按一定比例抽取,这是分层抽样. B.方法二、方法一、方法三 D.方法三、方法一、方法二

四、课后作业

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1. 在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性是 ( A.与第几次抽样有关,第一次抽中的可能性大些 B.与第几次抽样无关,每次抽中的可能性相等 C.与第几次抽样有关,最后一次抽中的可能性较大

)

D.与第几次抽样无关,每次都是等可能的抽取,但各次抽取的可能不一样
答案: B

2. 用系统抽样法(按等距离的规则)要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从

1 ? 160 编号.按编号顺序平均分成 20 组(1 ? 8 号,9 ? 16 号,?,153 ? 160 号),若第 16 组
应抽出的号码为 125 ,则第一组中按此抽签方法确定的号码是 ( A.7
答案: B

)
D.3

B.5

C.4

3. 某校有老师 200 人,男学生 1200 人,女学生 1000 人.现用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样 本,已知从女学生中抽取的人数为 80 ,则 n 为 ( A.16
答案: C

)
C.192 D.112

B.96

4. 在 100 个零件中,有一级品 20 个,二级品 30 个,三级品 50 个,从中抽取 20 个作为样本. ① 采用随机抽样法:抽签取出 20 个样本; ② 采用系统抽样法:将零件编号为 00, 01, ? , 99 然后平均分组抽取 20 个样本; ③ 采用分层抽样法:从一级品,二级品,三级品中抽取 20 个样本.

(

)

下列说法中正确的是 (

)

A.无论采用哪种方法,这 100 个零件中每一个被抽到的概率都相等

B.①②两种抽样方法,这 100 个零件中每一个被抽到的概率都相等;③并非如此 D.采用不同的抽样方法,这 100 个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的
答案: A

C.①③两种抽样方法,这 100 个零件中每一个被抽到的概率都相等;②并非如此

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