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等差数列的几何性质


一 复习回顾
1 等差数列的概念

(1)定义 :
(2)通项公式:

an?1 ? an ? d (常数)

an ? a1 ? (n ? 1)d

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) (3)前n 项和公式: S n ? ? na1 ? d 2 2

2 主要性质

(1) an ? am ? (n ? m)d
(2)SK,S2 K

d?

an ? am n?m

? S K,S3K ? S2 K,S4 K ? S3K, …也成等差数列

* (3)若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N )则am ? an ? a p ? aq (反之也成立)

二 基础训练

a 1 在等差数列{an }中, 3


? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450
) D 200

a 2 ? a8的值为(
B 100

A 90

C 180

{ 前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的 2 等差数列 an } 前3m项的和为( )
A 130 B 170 C 210 D 260
S a a 3 等差数列{an } 中,2 ? ?6 , 8 ? 6 , n是数列的前n 项和, 则( )

A S4〈 S5 B S4 = S5

C

S6〈 S5

D

S6 = S5

三 等差数列的几何性质 性质1 :等差数列{an } 各项对应的点(n, an )都在同一条 直线上,该直线的斜率就是数列的公差。

an ? dn ? (a1 ? d )
an
………

an

an

o

n

o

n

o d>0

n

d=0

d<0

性质2 :等差数列{an } 的前n 项和 S n对应的点(n , S n ) 都在同一抛物线,且当d >0 时,S n 有最小值;当d〈 0 S 时, n 有最大值

Sn ? n ? (a1 ? )n
d 2 2 d 2
Sn Sn

o

o

n
d<0

n

d>0

{ 性质3 : 等差数列 an } 的前n 项和 S n 对应的点(n ,

都在同一条直线上 S n

Sn ) n

n

? d n ? (a1 ? d ) 2 2

四 例题与练习

a a 例1 等差数列{ a n } 中,15 ? 10 , 45 ? 90 ,

求a 20

例2 等差数列{ an }中, S10 =100 , S100=10 , 求 S110 例3 等差数列{ an } 中,首项a1> 0,d <0, SP = Sq ( p ? q) (Ⅰ) 求Sp+q的值 (Ⅱ) 当n 为何值时,Sn有最大值? 例4 等差数列{an}中,a3=12 , S12>0 ,S13<0

①求公差d 的取值范围
②求S1, S2 , S3 ,· ,Sn中哪个值最大,说明理由 · ·

五 课堂小结 (1)数列一种特殊的函数。数列的通项公式和前n 项和的 公式都可以看成是关于正整数n的函数。许多数列问题可以 用函数和方程的思想加以解决。 (2)用数形结合的思想研究函数,就是借助函数的图象 进行直观分析,从而更有效地解决函数问题。“数形结合 千般好,形数分离万事休”。(华罗庚)

六 布置作业 《 状元之路 》 P77 16


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