一道竞赛练习题的多视角分析

中 学 物 理　

Ｖ ｏ １ ． ３ ３ 　Ｎ ｏ ． ０ ９ 　

２ ０ １ ５年 ５月　

一

道 竞赛 练 习题 的 多视 角分 析　
赖 贤明 　 江 立 坤　
（ 江西 省赣 州 中学　 江 西 赣 州
３ ４ １ ０ ０ ０ ） 　

舒幼生老师 主编 的《 高 中物 理竞 赛培 优 教程》一书 中第　
４ ７ ０页有一道运用 费马原 理解决运 动学 问题 的经典 练习题 ， 现　
摘 录如下． 　 如图 Ｉ 所示 ， Ａ Ｃ是 东 西 走 向 的 马 车 道 ， 它 的北 面 是 一 片沙 　 砾地 带 ， 人 在 上 面 行 驶 速 度 只有 ６ 　 ｋ ｍ ／ ｈ ， 而 马 车 道 上 马 车 的速 　 度为 １ ０ 　 ｋ ｍ ／ ｈ ． 已知 Ｂ Ｄ ：１ ２ 　 ｋ ｍ， Ａ Ｄ ＝１ ６ 　 ｋ ｍ． 则 一 人 要从 Ａ地 　

令　

ｙ＝ 　 １ 　

ｃ ｏ 　 ｓ ０
一 　

， 　

４ ｓ ｉ 　 导　 。 　

拼 朔　 ３ 菇 ０ ｃ ｏ ｓ 　 ÷ 　 ３ ０ ｓ ｉ ｎ油 ｏ ． 　彀　婀　
４ｓ ｉ ｎ 　０ 　
ｃ。ｓ 　

走 到 Ｂ地所需要 的最短 时间是多少？ 　
口 　

２ 瞒 　 喵

’ 　

也 就 是 　
Ｄ　 Ｃ　 Ｅ 　 Ｄ　 Ｃ 　

４ ｓ ｉ ｎ 　 导： ｃ 。 ｓ ２ — 　 ， 　

图 ｌ 　

图２ 　

再 结 合， 可 以 求 出ｓ ｉ ｎ 　 导＋ Ｃ Ｏ Ｓ ２ 导＝ １ ， 　

解　 用类 比法 把 Ａ Ｃ看 成 两 种 介 质 的分 界 面 ， 沿Ａ Ｃ 方 向运 　

动 视为一束入射 角 为 ９ ０ 。的光 ， 可 知 当按 光 的折 射定 律 运 动　
时， 所用 时间最短． 如 图 ２所 示 ， 设Ａ Ｅ Ｂ为 所 求 的路 径 ， 则　

也 就 是 　 ｓ ｉ ｎ 　 ＝ ÷ ， ｃ 。 ｔ 　 ： ÷ ． 　 也 就 是 说 ｓ ｉ ｎ 　 ＝ ÷ 时 ， 时 问 　 有 最 小 值 ， 　 ． 　
代人计算得 方 法 ２ 判 别 式 法　 ｔ＝３ ． ２ 　 ｈ ． 　

！ 　Ｑ ： 　 一 　Ｌ 　
ｓ ｉ ｎ 　 ＥＢＤ 一 “ ’ 　

式 子中　。：１ ０ 　 ｋ ｍ ／ ｈ ， 　 ＝６ 　 ｋ ｍ ／ ｈ分别 为坐 马车 和步行 的速　
度， 由式 可得 　

令 ｙ＝ 　 １ 　
， 　

一

　

，

将两边平方 ， 整理得　

２
ｌ 一

ｓ ｉ ｎ／ ＥＢＤ ： 　
１ 　

： ０ ．６． 　

２ 　 １ 　 ， ｃ ｏ ｓ ０＋ （ 　， ｃ ｏ ｓ 　 ） 　

ｙ ＿ 　 ＝ 　

ｔ ａ ｎ 　 ＥＢＤ ＝ ０． ７ ５． 　

因为 上 式 化 成 一 个 关 于 ｃ ｏ ｓ ０的 一 兀 二 次 方 程　

因此

Ｄ Ｅ ＝０ ． ７ ５ Ｂ Ｄ ＝９ ． ０ 　 ｋ ｍ， 　
ＡＥ ＝ ＡＤ — ＤＥ ＝ ７． ０ 　 ｋ ｍ． 　 ＢＥ ＝ １ ． ２５ ＢＤ ＝ １ ５ 　ｋ ｍ． 　 ｔ 　＝ ：　 —— ＋ ＋丝 —— ：３ ＝ 　 ． 　 ２ 　 ｈ ． 　
．

［ （ ｖ Ｉ 口 ２ ） 　 Ｙ 　 ＋ 　 ｉ ］ Ｃ Ｏ Ｓ 　 ０ —２ ｖ １ 　 ２ ｃ ｏ ｓ Ｏ ＋ 　（ １ 一 　 ２ ｙ 　 ）＝０ ， 　
则对应每一个实 际可能 的过 程 ， 都应该有实数解 ， 故　

△＝４ （ Ｖ １ 　 ２ ） 　一 ４ ［ （ Ｖ １ 　 ２ ） 　 ｙ Ｚ ＋ 　； 　 （ １一 　 ２ ｙ 　 ）≥０ ， 　
解 得　 ｙ ２≥ 　
１ 　２， 　

， 　

Ｉ 　

２　

此题运用 费马原理 解决 ， 具有一 定的优势 ， 首先 ， 将光学 的　
基 本 原 理 迁 移 到 运 动 学 中来 ， 有 利 于 加 强 学 生 对 两 方 面 知 识 的　

代 入 相 关 数 据 可 求 得 　 Ｙ ≥ 斋， 　
即　 ＝ 　
Ｖ１ 　

理解 ； 另外 ， 与光沿着所需 时间为极值 的路径传 播相类 比 ， 将未　 知 变为 已知 ， 大 大简 化 了计 算 过程 ， 使 问题 的解 决过 程 清 晰　
明朗． 　

＋ 　∞Ｙ ： ３ ． ２ 　 ｈ ． 　

方 法 ３ 求 导 法　

但是 ， 费马原理毕竟不 是学生 所熟 知 的 内容 ， 理解其 内涵　

令 ｙ： 　 １ 　

一

　

，

现在只要求 Ｙ 的最小值 ， 将Ｙ 看作是　

已属不易 ， 要 灵活运用难度更大． 而且在 中学 阶段 ， 极 值问题一　
般 采用如三角 函数 、 重要 不 等式 、 判别 式 、 求 导 等数 学方 法处　 理． 下面笔者从 三角函数 、 判 别式 、 导数 等三个 方面对 此问题重　 新 审视求解 ， 具 体如下． 　 解　 如 图 ２ 所示， 假设 ／ ＿ Ｂ Ｅ Ｄ ＝０ ， 由数 学 知 识 可 知 ， 人要　 从 Ａ地走 到 Ｂ地所需要时 间满足　
“ 　（ 　

０的函数 ， 要求 Ｙ的最小值 ， 只要求 出 Ｙ对 ０的导数　
， 　 一ｃ ｏ ｓ ０ 　
一 　

令 Ｙ 　 ＝ ０ ， 也 就 是 一 　 。 ｃ 。 ｓ ０ ＋ Ｖ ２ ＝ ０ ， 求 得 Ｃ Ｏ Ｓ 　 ＝ — 　： ÷ ． 所 以 　
ｓ ｉ ｎ 　＝了 ４ 计 算 得 ｙ ＝ ８ 即 ￡＝ 　
，

，

ｓ Ｏ 　 　 ） ＿ ｅ ｏ 　
ｉ

十 　 ｙ：３ ． ２ 　 ｈ ． 　

，　

现在要求 ｔ 的最 小值 ， 只要求—　 一— 　
，

的最小值． 　

上面 的三种方法都是学生所熟 知的求 极值的方法 ， 虽 然对　 数学功底要求较高 ， 但是都能很好 的体现新课标 的应用数 学知　
识解 决物理问题的理念． 　
?

Ｓ ｉ ｎ　

１ 　 Ｓｌ ｎ 　

Ｓ ｑ ．