中 学 物 理
V o 1 . 3 3 N o . 0 9
2 0 1 5年 5月
一
道 竞赛 练 习题 的 多视 角分 析
赖 贤明 江 立 坤
( 江西 省赣 州 中学 江 西 赣 州
3 4 1 0 0 0 )
舒幼生老师 主编 的《 高 中物 理竞 赛培 优 教程》一书 中第
4 7 0页有一道运用 费马原 理解决运 动学 问题 的经典 练习题 , 现
摘 录如下. 如图 I 所示 , A C是 东 西 走 向 的 马 车 道 , 它 的北 面 是 一 片沙 砾地 带 , 人 在 上 面 行 驶 速 度 只有 6 k m / h , 而 马 车 道 上 马 车 的速 度为 1 0 k m / h . 已知 B D :1 2 k m, A D =1 6 k m. 则 一 人 要从 A地
令
y= 1
c o s 0
一
,
4 s i 导 。
拼 朔 3 菇 0 c o s ÷ 3 0 s i n油 o . 彀 婀
4s i n 0
c。s
走 到 B地所需要 的最短 时间是多少?
口
2 瞒 喵
’
也 就 是
D C E D C
4 s i n 导: c 。 s 2 — ,
图 l
图2
再 结 合, 可 以 求 出s i n 导+ C O S 2 导= 1 ,
解 用类 比法 把 A C看 成 两 种 介 质 的分 界 面 , 沿A C 方 向运
动 视为一束入射 角 为 9 0 。的光 , 可 知 当按 光 的折 射定 律 运 动
时, 所用 时间最短. 如 图 2所 示 , 设A E B为 所 求 的路 径 , 则
也 就 是 s i n = ÷ , c 。 t : ÷ . 也 就 是 说 s i n = ÷ 时 , 时 问 有 最 小 值 , .
代人计算得 方 法 2 判 别 式 法 t=3 . 2 h .
! Q : 一 L
s i n EBD 一 “ ’
式 子中 。:1 0 k m / h , =6 k m / h分别 为坐 马车 和步行 的速
度, 由式 可得
令 y= 1
,
一
,
将两边平方 , 整理得
2
l 一
s i n/ EBD :
1
: 0 .6.
2 1 , c o s 0+ ( , c o s )
y _ =
t a n EBD = 0. 7 5.
因为 上 式 化 成 一 个 关 于 c o s 0的 一 兀 二 次 方 程
因此
D E =0 . 7 5 B D =9 . 0 k m,
AE = AD — DE = 7. 0 k m. BE = 1 . 25 BD = 1 5 k m. t = : —— + +丝 —— :3 = . 2 h .
.
[ ( v I 口 2 ) Y + i ] C O S 0 —2 v 1 2 c o s O + ( 1 一 2 y )=0 ,
则对应每一个实 际可能 的过 程 , 都应该有实数解 , 故
△=4 ( V 1 2 ) 一 4 [ ( V 1 2 ) y Z + ; ( 1一 2 y )≥0 ,
解 得 y 2≥
1 2,
,
I
2
此题运用 费马原理 解决 , 具有一 定的优势 , 首先 , 将光学 的
基 本 原 理 迁 移 到 运 动 学 中来 , 有 利 于 加 强 学 生 对 两 方 面 知 识 的
代 入 相 关 数 据 可 求 得 Y ≥ 斋,
即 =
V1
理解 ; 另外 , 与光沿着所需 时间为极值 的路径传 播相类 比 , 将未 知 变为 已知 , 大 大简 化 了计 算 过程 , 使 问题 的解 决过 程 清 晰
明朗.
+ ∞Y : 3 . 2 h .
方 法 3 求 导 法
但是 , 费马原理毕竟不 是学生 所熟 知 的 内容 , 理解其 内涵
令 y: 1
一
,
现在只要求 Y 的最小值 , 将Y 看作是
已属不易 , 要 灵活运用难度更大. 而且在 中学 阶段 , 极 值问题一
般 采用如三角 函数 、 重要 不 等式 、 判别 式 、 求 导 等数 学方 法处 理. 下面笔者从 三角函数 、 判 别式 、 导数 等三个 方面对 此问题重 新 审视求解 , 具 体如下. 解 如 图 2 所示, 假设 / _ B E D =0 , 由数 学 知 识 可 知 , 人要 从 A地走 到 B地所需要时 间满足
“ (
0的函数 , 要求 Y的最小值 , 只要求 出 Y对 0的导数
, 一c o s 0
一
令 Y = 0 , 也 就 是 一 。 c 。 s 0 + V 2 = 0 , 求 得 C O S = — : ÷ . 所 以
s i n =了 4 计 算 得 y = 8 即 £=
,
,
s O ) _ e o
i
十 y:3 . 2 h .
,
现在要求 t 的最 小值 , 只要求— 一—
,
的最小值.
上面 的三种方法都是学生所熟 知的求 极值的方法 , 虽 然对 数学功底要求较高 , 但是都能很好 的体现新课标 的应用数 学知
识解 决物理问题的理念.
?
S i n
1 Sl n
S q .