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一道竞赛练习题的多视角分析


中 学 物 理 

V o 1 . 3 3  N o . 0 9  

2 0 1 5年 5月 



道 竞赛 练 习题 的 多视 角分 析 
赖 贤明   江 立 坤 
( 江西 省赣 州 中学  江 西 赣 州
3 4 1 0 0 0 )  

舒幼生老师 主编 的《 高 中物 理竞 赛培 优 教程》一书 中第 
4 7 0页有一道运用 费马原 理解决运 动学 问题 的经典 练习题 , 现 
摘 录如下.   如图 I 所示 , A C是 东 西 走 向 的 马 车 道 , 它 的北 面 是 一 片沙   砾地 带 , 人 在 上 面 行 驶 速 度 只有 6   k m / h , 而 马 车 道 上 马 车 的速   度为 1 0   k m / h . 已知 B D :1 2   k m, A D =1 6   k m. 则 一 人 要从 A地  

令 

y=   1  

c o   s 0
一  

,  

4 s i   导  。  

拼 朔  3 菇 0 c o s   ÷   3 0 s i n油 o .  彀 婀 
4s i n  0  
c。s  

走 到 B地所需要 的最短 时间是多少?  
口  

2 瞒   喵

’  

也 就 是  
D  C  E   D  C  

4 s i n   导: c 。 s 2 —   ,  

图 l  

图2  

再 结 合, 可 以 求 出s i n   导+ C O S 2 导= 1 ,  

解  用类 比法 把 A C看 成 两 种 介 质 的分 界 面 , 沿A C 方 向运  

动 视为一束入射 角 为 9 0 。的光 , 可 知 当按 光 的折 射定 律 运 动 
时, 所用 时间最短. 如 图 2所 示 , 设A E B为 所 求 的路 径 , 则 

也 就 是   s i n   = ÷ , c 。 t   : ÷ .   也 就 是 说 s i n   = ÷ 时 , 时 问   有 最 小 值 ,   .  
代人计算得 方 法 2 判 别 式 法  t=3 . 2   h .  

!  Q :   一  L  
s i n   EBD 一 “ ’  

式 子中 。:1 0   k m / h ,   =6   k m / h分别 为坐 马车 和步行 的速 
度, 由式 可得  

令 y=   1  
,  



 



将两边平方 , 整理得 


l 一

s i n/ EBD :  
1  

: 0 .6.  

2   1   , c o s 0+ (  , c o s   )  

y _   =  

t a n   EBD = 0. 7 5.  

因为 上 式 化 成 一 个 关 于 c o s 0的 一 兀 二 次 方 程 

因此

D E =0 . 7 5 B D =9 . 0   k m,  
AE = AD — DE = 7. 0   k m.   BE = 1 . 25 BD = 1 5  k m.   t  = :  —— + +丝 —— :3 =   .   2   h .  


[ ( v I 口 2 )   Y   +   i ] C O S   0 —2 v 1   2 c o s O +  ( 1 一   2 y   )=0 ,  
则对应每一个实 际可能 的过 程 , 都应该有实数解 , 故 

△=4 ( V 1   2 )  一 4 [ ( V 1   2 )   y Z +  ;   ( 1一   2 y   )≥0 ,  
解 得  y 2≥  
1  2,  

,  

I  

2 

此题运用 费马原理 解决 , 具有一 定的优势 , 首先 , 将光学 的 
基 本 原 理 迁 移 到 运 动 学 中来 , 有 利 于 加 强 学 生 对 两 方 面 知 识 的 

代 入 相 关 数 据 可 求 得   Y ≥ 斋,  
即  =  
V1  

理解 ; 另外 , 与光沿着所需 时间为极值 的路径传 播相类 比 , 将未  知 变为 已知 , 大 大简 化 了计 算 过程 , 使 问题 的解 决过 程 清 晰 
明朗.  

+  ∞Y : 3 . 2   h .  

方 法 3 求 导 法 

但是 , 费马原理毕竟不 是学生 所熟 知 的 内容 , 理解其 内涵 

令 y:   1  



 



现在只要求 Y 的最小值 , 将Y 看作是 

已属不易 , 要 灵活运用难度更大. 而且在 中学 阶段 , 极 值问题一 
般 采用如三角 函数 、 重要 不 等式 、 判别 式 、 求 导 等数 学方 法处  理. 下面笔者从 三角函数 、 判 别式 、 导数 等三个 方面对 此问题重  新 审视求解 , 具 体如下.   解  如 图 2 所示, 假设 / _ B E D =0 , 由数 学 知 识 可 知 , 人要  从 A地走 到 B地所需要时 间满足 
“  (  

0的函数 , 要求 Y的最小值 , 只要求 出 Y对 0的导数 
,   一c o s 0  
一  

令 Y   = 0 , 也 就 是 一   。 c 。 s 0 + V 2 = 0 , 求 得 C O S   = —  : ÷ . 所 以  
s i n  =了 4 计 算 得 y = 8 即 £=  




s O     ) _ e o  


十   y:3 . 2   h .  

, 

现在要求 t 的最 小值 , 只要求—  一—  


的最小值.  

上面 的三种方法都是学生所熟 知的求 极值的方法 , 虽 然对  数学功底要求较高 , 但是都能很好 的体现新课标 的应用数 学知 
识解 决物理问题的理念.  
?

S i n 

1   Sl n  

S q .  


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