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安徽省皖北协作区2015届高三3月联考数学(理)试题


2015 年安徽省皖北协作区高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)“ab>0 且 a+b<0”是“a 与 b 均为负数的”( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【考点】 : 必要条件、充

分条件与充要条件的判断. 【专题】 : 简易逻辑. 【分析】 : 由“ab>0 且 a+b<0”?“a 与 b 均为负数的”,即可判断出. 【解析】 : 解:“ab>0 且 a+b<0”?“a 与 b 均为负数的”, 因此“ab>0 且 a+b<0”是“a 与 b 均为负数的”的充要条件. 故选:C. 【点评】 : 本题考查了充要条件的判定、不等式的性质,考查了推理能力,属于基础题.

2. (5 分)复数 z=

(其中 i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为(



A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【考点】 : 复数代数形式的乘除运算. 【专题】 : 数系的扩充和复数. 【分析】 : 利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 【解析】 : 解:复数 z= = = =1﹣2i,

在复平面内对应的点(1,﹣2) , 所在的象限为第四象限. 故选:D. 【点评】 : 本题考查了复数的运算法则、几何意义,属于基础题.

3. (5 分)已知﹣2,a1,a2,﹣8 成等差数列,﹣2,b1,b2,b3,﹣8 成等比数列,则 等于( A. ) B. C. D. 或

【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 : ∴a2﹣a1=

等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 由等差数列和等比数列可得 a2﹣a1=﹣2,b2=﹣4,代入要求的式子计算可得. 解:∵﹣2,a1,a2,﹣8 成等差数列, =﹣2,

又∵﹣2,b1,b2,b3,﹣8 成等比数列, 2 ∴b2 =(﹣2)×(﹣8)=16,解得 b2=±4, 2 又 b1 =﹣2b2,∴b2=﹣4, ∴ = =

故选:B 【点评】 : 本题考查等差数列和等比数列的通项公式,属基础题.

4. (5 分)抛物线 y =8x 的焦点到双曲线 x ﹣ A. 1 B. 2 C. 【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 到所求. 【解析】 :
2

2

2

=1 的一条渐近线的距离为(



D.

双曲线的简单性质. 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程,再由点到直线的距离公式计算即可得 解:抛物线 y =8x 的焦点为(2,0) , =1 的一条渐近线为 y= = x, .
2

双曲线 x ﹣

则焦点到渐近线的距离为 d=

故选 C. 【点评】 : 本题考查抛物线和双曲线的性质,主要考查渐近线方程和焦点坐标,运用点到直 线的距离公式是解题的关键. 5. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输入的 P 值为( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【考点】 : 循环结构. 【专题】 : 算法和程序框图. 【分析】 : 根据输入 A 的值,然后根据 S 进行判定是否满足条件 S≤2,若满足条件执行循环 体,依此类推,一旦不满足条件 S≤2,退出循环体,求出此时的 P 值即可. 【解析】 : 解:S=1,满足条件 S≤2,则 P=2,S=1+ = 满足条件 S≤2,则 P=3,S=1+ + = 满足条件 S≤2,则 P=4,S=1+ + + = 不满足条件 S≤2,退出循环体,此时 P=4 故选:C 【点评】 : 本题主要考查了当型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循 环结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断. 6. (5 分)若 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,又有 f(﹣2)=0,则不等式 x?f (x)<0 的解集为( ) A. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) B. (﹣2,0)∪(0,2) C. (﹣2,0)∪(2,+∞) D. (﹣∞,﹣2)∪(0,2) 【考点】 : 奇偶性与单调性的综合. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,利用数形结合即可得到结论. 【解析】 : 解:∵奇函数在(0,+∞)上是减函数, ∴在(﹣∞,0)上也是减函数, 且 f(﹣2)=﹣f(2)=0,即 f(2)=0, 作出函数 f(x)的草图: 则不等式 x?f(x)<0 等价为 x>0 时,f(x)<0,此时 x>2 当 x<0 时,f(x)>0,此时 x<﹣2, 综上不等式的解为 x>2 或 x<﹣2, 故不等式的解集为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) , 故选:A

【点评】 : 本题主要考查不等式的解法,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题 的关键,综合考查函数性质的应用.

7. (5 分)函数 y=

的图象大致是(



A. 【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 :

B. 函数的图象. 综合题;推理和证明. 利用排除法,即可得出结论. 解:由题意,x≠0,排除 A;
x

C.

D.

x<0,0<2 <1,y=

>0,排除 B;

x 增大时,指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度,排除 D, 故选:C. 【点评】 : 本题考查函数的图象,考查排除法的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较 基础.

8. (5 分)在极坐标系中,点(2,﹣

)到圆 ρ=﹣2cosθ 的圆心的距离为(



A. 2 B.

C.

D.

【考点】 : 简单曲线的极坐标方程. 【专题】 : 坐标系和参数方程. 【分析】 : 利用 【解析】 : 解:点 P(2,﹣ ,把极坐标化为直角坐标,利用两点之间的距离公式即可得出. )可得:xP= =1,yP= =﹣ ,

∴P . 2 2 2 2 2 圆 ρ=﹣2cosθ 化为 ρ =﹣2ρcosθ,∴x +y =﹣2x,化为(x+1) +y =1,可得圆心 C(﹣1,0) . ∴|PC|= = .

故选:D. 【点评】 : 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式,考查了推理能 力与计算能力,属于基础题.

9. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a 的值是(



A. 4 B.

C. 1 D. 2

【考点】 : 简单线性规划. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 【分析】 : 由线性约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最 优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.

【解析】 : 解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得

,即 A(1,﹣ ) ,

化 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 由图可知,当直线 y=﹣2x+z 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最小值为 2×1 ,

解得:a=2. 故选:D. 【点评】 : 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合及数学转化思想方法,是中档题.

10. (5 分)已知 则| |的最大值为( A. 2+ B. 2﹣

是单位向量,且 ) C. +2 D.

的夹角为

,若向量

满足|



+2

|=2,

﹣2

【考点】 : 平面向量数量积的运算. 【专题】 : 计算题;平面向量及应用.

【分析】 : 由题意可设 =(1,0) , =( , 向量 的终点在以 C(0,﹣ 【解析】 : 解:

) , =(x,y) ,可得 x +(y+

2

) =4,故

2

)为圆心,半径等于 2 的圆上,由图象即可得到最大值为|OA|. 的夹角为 ,

是单位向量,且 ) , =(x,y)

设 =(1,0) , =( , 则 ﹣ +2 =(x,y+ ∵| ﹣ +2

) ,
2

|=2,即 x +(y+

) =4, )为圆心,半径等于 2 的圆上, +2.

2

故向量 的终点在以 C(0,﹣ ∴| |的最大值为|OA|=|OC|+r= 故选:A.

【点评】 : 本题主要考查两个向量的数量积的运算,熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及 数形结合是解题的关键,属于基础题. 二、本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡的相应位置. 11. (5 分)函数 f(x)= 的值域为 [0,1) .

【考点】 : 函数的值域. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 根据指数函数的单调性的性质,结合根式的性质即可求出函数的值域. 【解析】 : 解:∵e >0, x ∴﹣e <0, x 则 0≤1﹣e <1, 则 0≤ <1,
x

即 0≤f(x)<1, 故函数的值域为[0,1) , 故答案为:[0,1) 【点评】 : 本题主要考查函数值域的求解,根据指数的单调性的性质是解决本题的关键.

12. (5 分) 某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的四个面中, 面积最大的面的面积是

【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 计算题;空间位置关系与距离. 【分析】 : 由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直观图,先确定最大的面,再求其 面积. 【解析】 : 解:由三视图可知,该几何体有两个面是直角三角形,如右图, 底面是正三角形, 最大的面是第四个面, 其边长分别为: 2, =2 , =2 ;

故其面积为: ×2× 故答案为: = ; .

【点评】 : 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构 建直观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力. 13. (5 分)从一架钢琴挑出的十个音键中,分别选择 3 个,4 个,5 个,…,10 个键同时按下, 可发出和声,若有一个音键不同,则发出不同的和声,则这样的不同的和声数为 968 (用 数字作答) 【考点】 : 计数原理的应用.

【专题】 : 排列组合. 【分析】 : 本题是一个分类计数问题,共有 8 种不同的类型,当有 3 个键同时按下,有 C10 种结果,…以此类推,根据分类计数原理得到共有的结果数 【解析】 : 解:由题意知本题是一个分类计数问题, 共有 8 种不同的类型, 3 当有 3 个键同时按下,有 C10 种结果, 4 当有 4 个键同时按下,有 C10 种结果, … 以此类推,根据分类计数原理得到共有 C10 +C10 +C10 +…+C10 0 1 2 10 0 1 2 =C10 +C10 +C10 +…+C10 ﹣(C10 +C10 +C10 ) 10 =2 ﹣(1+10+45)=968. 故答案为:968. 【点评】 : 本题考查分类计数原理,考查组合数的性质,考查利用排列组合知识解决实际问 题,本题是一个易错题,易错点是组合数的运算不正确 14. (5 分)已知集合 A={(x,y)||x|+2|y|≤4},集合 B={(x,y)|(x﹣m) +y = },若 B?A, 则实数 m 的取值范围是 [﹣2,2] .
2 2 3 4 5 10 3

【考点】 : 集合的包含关系判断及应用. 【专题】 : 集合. 【分析】 : 根据题意可得集合 A 的区域是一个关于坐标轴对称的菱形,集合 B 的区域是一个 圆及圆的内部,画出图象即可. 【解析】 : 解:由题意,集合 A 中元素构成菱形,集合 B 中元素构成一个圆及圆的内部, 如图 ∵B?A, ∴圆在菱形内部, 故只需圆心到菱形边坐在的直线的距离大于或等于半径即可, 即: ,

解得 m≥﹣2 或 m≤﹣6(舍去) , 由对称性可知 m≤2, 所以实数 m∈[﹣2,2]. 故答案为:[﹣2,2].

【点评】 : 本题考查集合间的关系及点到直线的距离公式,做出草图是解决本题的关键,属 中档题. 15. (5 分)已知函数 f(x)=sinx+ cosx,则下列命题正确的是 ①③④⑤ (填上你认为正确的所有命题的序号) ①函数 f(x)的最大值为 2; ②函数 f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称; )的图象关于 x 轴对称; ;

③函数 f(x)的图象与函数 h(x)=2sin(x﹣

④若实数 m 使得方程 f(x)=m 在[0,2π]上恰好有三个实数解 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3= ⑤设函数 g(x)=f(x)+2x,若 g(θ﹣1)+g(θ)+g(θ+1)=﹣2π,则 θ=﹣ .

【考点】 : 两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象. 【专题】 : 三角函数的图像与性质. 【分析】 : 先把函数 f(x)利用两角和的正弦公式化成标准形式,然后逐个判断,对于③, 方程 f(x)=m 在[0,2π]上恰好有三个实数解,在一个周期内有三个实数解,其中两个解一定 为区间的两个端点;对于④,代入使表达式恒成立,求出 θ 的值. 【解析】 : 解:∵f(x)=sinx+ cosx=2sin(x+ )

∴函数 f(x)的最大值为 2,①正确; 当 x=﹣ 时,f( )=2,②不正确; ) =2sin (x+ ﹣π ) =2sin (x﹣ ) ,

函数 ( f x) 的图象关于 x 轴对称的解析式为 y=﹣2sin (x+ ③正确;

若实数 m 使得方程 f(x)=m 在[0,2π]上恰好有三个实数解 x1,x2,x3,则 x1=0,x2= x3=2π,所以 x1+x2+x3= ,④正确; )+2x,



g(x)=f(x)+2x=2sin(x+

g(θ﹣1)+g(θ)+g(θ+1) =2sin(θ﹣1+ =2sin(θ+ 所以 sin(θ+ )+2(θ﹣1)+2sin(θ+ )+2θ+2sin(θ+1+ )+2(θ+1)

) (1+2cos1)+6θ=﹣2π )=0,6θ=﹣2π,所以 .⑤正确.

故答案为:①③④⑤. 【点评】 : 本题考查了三角函数式的化简,三角函数的最值、对称性及三角方程,综合性强, 解决这类问题的关键是把三角函数式化成标准形式. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)设△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 b(cosA﹣3cosC)=(3c ﹣a)cosB. (Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ)若 cosB= ,且△ABC 的周长为 14,求 b 的值.

【考点】 : 余弦定理;正弦定理. 【专题】 : 解三角形. 【分析】 : (I)由 b(cosA﹣3cosC)=(3c﹣a)cosB.利用正弦定理可得: .化简整理即可得出. (II)由 = 得 c=3a.利用余弦定理及 cosB= 即可得出.

【解析】 : 解: (I)∵b(cosA﹣3cosC)=(3c﹣a)cosB. 由正弦定理得, .

即(cos A﹣3cos C)sin B=(3sin C﹣sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=3sin(B+C) . 又 A+B+C=π, ∴sin C=3sin A,因此 (II)由 = 得 c=3a. = .

由余弦定理及 cosB= 得 b =a +c ﹣2accos B=a +9a ﹣6a × =9a . ∴b=3a.又 a+b+c=14.从而 a=2,因此 b=6. 【点评】 : 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、诱导公式,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题.
2 2 2 2 2 2 2

17. (12 分)央视财经频道《升级到家》栏目答题有奖,游戏规则:每个家庭两轮游戏,均为 三局两胜,第一轮 3 题答对 2 题,可获得小物件(家电) ,价值 1600 元;第二轮 3 题答对 2 题,可获得大物件(家具)价值 5400 元(第一轮的答题结果与第二轮答题无关) ,某高校大 二学生吴乾是位孝顺的孩子,决定报名参赛,用自己的知识答题赢取大奖送给父母,若吴乾 同学第一轮 3 题,每题答对的概率均为 ,第二轮三题每题答对的概率均为 . (Ⅰ)求吴乾同学能为父母赢取小物件(家电)的概率; (Ⅱ)若吴乾同学答题获得的物品价值记为 X(元)求 X 的概率分布列及数学期望. 【考点】 : 离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率 乘法公式;离散型随机变量及其分布列. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (1)由题意赢取小物件即第一轮答对 2 题,故概率 P= ,计算即可; , 化简可得;

(2) 赢取大物件即第二轮答对 2 题, 可得概率 P′=

同理可求 P(X=0)和 P(X=1600)和 P(X=5400)以及 P(X=7000) ,可得 X 的分布列和期 望值. 【解析】 : 解: (1)由题意赢取小物件即第一轮答对 2 题, ∴所求概率 P= (2)赢取大物件即第二轮答对 2 题, ∴所求概率 P′= 同理可求 P(X=0)=( P(X=1600)= P(X=5400)=( P(X=7000)= × = ×( + × + × + × )× )×( )= = , = + × , )= , = ;

可得 X 的分布列为:



=350+625+4375=5350(元)

【点评】 : 本题考查离散型随机变量的分布列和期望,涉及概率的加法公式和乘法公式,属 中档题.

18. (12 分)已知函数 f(x)=mlnx+ x ﹣(m+1)x+ln2e (其中 e=2.71828…是自然对数的底 数) (Ⅰ)当 m=﹣1 时,求函数 f(x)在点 P(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性. 【考点】 : 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【专题】 : 计算题;分类讨论;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】 : (Ⅰ)求出 m=﹣1 的 f(x)的解析式,求出切线的斜率和切点,由点斜式方程即 可得到切线方程; (Ⅱ)求出 f(x)的导数,并分解因式,对 m 讨论,①当 m>1 时,②当 m=1 时,③当 0 <m<1 时,④当 m≤0 时,令导数大于 0,得增区间,令导数小于 0,得减区间. 【解析】 : 解: (Ⅰ)当 m=﹣1 时 即有 f(2)=4, 则切线方程为: 即 3x﹣2y+2=0; (Ⅱ)由已知可得 , (x>0) , , , ,

2

2





①当 m>1 时,当 x>m 或 0<x<1 时,f′(x)>0,当 1<x<m 时,f′(x)<0, 即函数 f(x)的递增区间为(0,1) , ( m,+∞) ,递减区间为(1,m) . ②当 m=1 时,f′(x)≥0 恒成立, 即函数 f(x)的递增区间为( 0,+∞) . ③当 0<m<1 时,当 x>1 或 0<x<m 时,f′(x)>0,当 m<x<1 时,f′(x)<0, 即函数 f(x)的递增区间为(0,m) , (1,+∞) ,递减区间为(m,1) . ④当 m≤0 时,当 0<x<1 时,f′(x)<0,当 x>1 时,f′(x)>0, 即有函数 f(x)的递增区间为(1,+∞) ,递减区间为(0,1) . 【点评】 : 本题考查导数的运用:求切线方程和判断单调性,运用分类讨论的思想方法和二 次不等式的解法是解题的关键.

19. (13 分)已知 F1,F2 为椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的左,右焦点,点 P(1, )在椭

圆上,且|PF1|+|PF2|=4. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线 l1,l2 分别交椭圆 E 于 A,C 和 B,D,且 l1⊥l2,问是否存在常数 λ,使 得 ,λ, 成等差数列?若存在,求出 λ 的值,若不存在,请说明理由.

【考点】 : 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : (I)利用椭圆的定义即可得出 a, 将P 代入椭圆方程可得 b ,即可得出;
2

(II)对 k 分类讨论,把直线方程代入椭圆方程得到关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的 关系、斜率计算公式、弦长公式即可得出结论. 【解析】 : 解: (I)∵|PF1|+|PF2|=4, ∴2a=4,a=2. ∴椭圆 E: ,
2

将P

代入可得 b =3,

∴椭圆 E 的方程为

. = ;

(II)①当 AC 的斜率为零或斜率不存在时,

②当 AC 的斜率 k 存在且 k≠0 时,AC 的方程为 y=k(x+1) , 代入椭圆方程 ,并化简得(3+4k )x +8k x+4k ﹣12=0.
2 2 2 2

设 A(x1,y1) ,C(x2,y2) , 则 ,



∵直线 BD 的斜率为



∴|BD|=

=





=



综上: ∴ ,



∴存在常数

使得

成等差数列.

【点评】 : 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与 系数的关系、弦长公式、等差数列的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 20. (13 分)如图,已知四边形 AA1C1C 和 AA1B1B 都是菱形,平面 AA1B1B 和平面 AA1C1C 互相垂直,且∠ACC1=∠BAA1=60°,AA1=2 (Ⅰ)求证:AA1⊥BC1; (Ⅱ)求四面体 A﹣CC1B1 的体积; (Ⅲ)求二面角 C﹣AB﹣C1 的正弦值.

【考点】 : 用空间向量求平面间的夹角;棱柱、棱锥、棱台的体积;二面角的平面角及求法. 【专题】 : 空间位置关系与距离;空间角;立体几何. 【分析】 : (1)取 AA1 的中点为 O,连接 OB,通过已知条件及线面垂直的判定定理即得结 论; (2)利用三角形 CC1B1 和 CC1B 面积相等,通过体积公式计算即可; (3)以 O 为坐标原点,分别以 OA1,OC1,OB 为 x 轴,y 轴,z 轴建立坐标系,利用平方关 系,通过计算平面 ABC 的法向量与平面 ABC1 的法向量的夹角的余弦值即可. 【解析】 : (1)证明:设 AA1 的中点为 O,连接 OB, ∵四边形 AA1C1C 和 AA1B1B 都是菱形,且∠ACC1=∠BAA1=60°, ∴三角形 AA1B 和三角形 AA1C1 都是等边三角形, 所以 OB⊥OC1, 又∵OB∩OC1=O,∴AA1⊥平面 OBC1, 所以 AA1⊥BC1; (2)解:∵三角形 CC1B1 和 CC1B 面积相等, ∴ = ,

∴四面体 A﹣CC1B1 的体积为 1; (3)解:由(1)知 AA1⊥OB, 又∵平面 AA1B1B 和平面 AA1C1C 互相垂直, ∴OB⊥平面 AA1C1C, ∴OA1,OC1,OB,三条直线两两垂直, 以 O 为坐标原点,分别以 OA1,OC1,OB 为 x 轴,y 轴,z 轴建立坐标系如图, 则 ∴ =(1,0, ) , =(﹣1, ,0) , =(1, , ,0) , ,

设平面 ABC,ABC1 的法向量

的坐标分别为(a,b,c) , (a1,b1,c1) ,

由 所以可取 同理可取 ∴

,可得 , , ,



所以二面角 C﹣AB﹣C1 的正弦值为

= .

【点评】 : 本题考查直线与平面垂直的判定,二面角的计算,考查四面体的体积公式,考查 空间想象能力,计算能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 21. (13 分)已知数列{an}满足:a1=1,an+1﹣ansin θ=sin2θ?cos θ. (Ⅰ)当 θ= 时,求数列{an}的通项公式; ,Sn 为数列{bn}的前 n 项和,求证:
2 2n

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若数列{bn}满足 bn=sin 对任意 n∈N ,Sn<3+
*



【考点】 : 数列的求和;数列递推式. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : (1)当 的通项公式即可得出; (2)由(1)可得:an= ,可得 ,可得当 ,利用“错位相减法”、等比 时, , ,利用等差数列

n=1,2,3 时,不等式成立;当 n≥4 时,由于 数列的前 n 项函数公式即可得出. 【解析】 : (1)解:当 ∴{2
n﹣1

时,
n﹣1

, an=n,



an}是以 1 为首项、1 为公差的等差数列,2 .

从而

(2)证明: ∴当 n=1,2,3 时, 当 n≥4 时,∵ 令 两式相减得 . 综上所述,对任意 . , ;



, , ,

【点评】 : 本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前 n 项函数公式、 三角函数的性质、“放缩法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.


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