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高三数学第一轮复习章节测试


第4章 第4节 一、选择题 π 1. (2010· 四川理)将函数 y=sinx 的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度, 再把所得各点 的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是( π? ? A.y=sin 2x-10 ? ? π? ? B.y=sin 2x-5 ? ? )

?1 π ? C.y=sin 2x-10 ? ?

/>[答案] C

?1 π ? D.y=sin 2x-20 ? ?

2 . (2010·天津文 ) 下图是函数 y = Asin(ωx + φ)(x ∈ R) 在区间

?-π,5π?上的图像,为了得到这个函数的图像,只要将 y= ? 6 6?
sinx(x∈R)的图像上所有的点( ) π A.向左平移 3个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原 1 来的2倍,纵坐标不变 π B.向左平移3个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 π 1 C.向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变 π D.向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 [答案] A [解析] 本题考查了三角函数的性质及图像的平移. 5 2π 2π ? π? 由题知函数 f(x)的最小正周期 T=6π- -6 =π,A=1,∴ω= T = π =2,故将 y=sinx 的图

?

?

π 1 像先向左平移3个单位长度后,再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变, 故选 A. π? ? 3.(2009· 湖北文)函数 y=cos 2x+6 -2 的图像 F 按向量 a 平移到 F′ ,F′ 的解析式 y=f(x),当

?

?

y=f(x)为奇函数时,则向量 a 可以等于(

)

?π ? A. 6,-2 ? ? ? π ? C. -6,-2 ? ?

?π ? B. 6,2 ? ? ? π ? D. -6,2 ? ?

[答案] D [解析] 本题主要考查向量的平移和三角函数的图像及性质.

? ? π? π? A 中得 y=cos 2?x-6?+6 -2-2 ? ?
π? ? =cos 2x-6 -4,

?

?

∴不是奇函数,故排除 A; π? ? ? π? π? ? B 中得 y=cos 2?x-6?+6 -2+2=cos 2x-6 ,∴不是奇函数,故排除 B;

?

?

?

?

π? ? ? π? π? ? C 中得 y=cos 2?x+6?+6 -2-2=cos 2x+2 -4,

?

?

?

?

∴不是奇函数,故排除 C;

? ? π? π? D 中得 y=cos 2?x+6?+6 -2+2=-sin2x, ? ?
∴是奇函数,所以选 D. 4.(2011· 枣庄二模)如图,在某点给单摆一个作用力后它开始来回摆动, 离 开 平 衡 位 置 O 的 距 离 s( 厘 米 ) 和 时 间 t( 秒 ) 的 函 数 关 系 为 s = π? ? 6sin 2πt+6 ,单摆摆动时,从最右边到最左边的距离为( ? ? A.6 3 C.3 [答案] A [解析] B.3 3 D.6 )

π? 2π T 1 ? ∵s=6sin 2πt+6 ,∴T= ω =1,从最左边到平衡位置 O 需要的时间为4=4秒,由 ? ?

? 1 π? 6sin 2π×4+6 =3 3,得从最右边到最左边的距离为 6 3. ? ?
π? π ? 5.(2011· 广州五校联考)若将函数 y=tan ωx+4 (ω>0)的图像向右平移6个单位长度后,与函数 ? ? π? ? y=tan ωx+6 的图像重合,则 ω 的最小值为(

?

?

)

1 A.6 1 C.3

1 B.4 1 D.2

[答案] D [解析] 本题考查正切函数的图像的平移变换. π? π ? 将函数 y=tan ωx+4 (ω>0)的图像向右平移6个单位长度,得到的函数为

?

?

ωπ π? ? ? π? π? ? y=tan ω?x-6?+4 =tan ωx- 6 +4 , ? ? ? ? ωπ π π 1 由题意,得- 6 +4=6,∴ω=2. 6.已知函数 f(x)=sinωx 的图像的一部分如图(1),则图(2)的函数图像所对应的解析式可以为 ( )

1? ? A.y=f 2x-2 ? ?

B.y=f(2x-1)

?x ? C.y=f 2-1 ? ?

? x 1? D.y=f 2-2 ? ?

[答案] B [解析] 由图得,图(2)是将图(1)中的图像先向右平移 1 个单位,再将所有点的横坐标缩短到原 1 来的2倍得到,即 y=f(x)→y=f(x-1)→y=f(2x-1). 7.(2008· 四川)设 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,则 f(x)是偶函数的充要条件是( A.f(0)=1 B.f(0)=0 C.f ′ (0)=1 D.f ′ (0)=0 [答案] D π [解析] 函数 f(x)是偶函数,则 φ=kπ+2 k∈Z, f(0)=±1,故排除 A、B. π 又f′ (x)=ωcos(ωx+φ),φ=2+kπ,k∈Z, f′ (0)=0,选 D. π 也可走特殊化思路,取 ω=1,φ=±2验证. 8.四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自作出三个函数 y=sin2x,y π π =sin(x+6),y=sin(x-3)的图像如下.结果发现恰有一位同学作出的图像有错误,那么有错误 的图像是( ) )

[答案] C [解析] 本题考查了三角函数的图像及性质,可采用排除法或取一个特殊点来观察,如当 y= π π sin2x 的图象取最高点时,y=sin(x+6)或 y=sin(x-3)对应的点一定不是最值点或零点,而 C 不适合,故选 C. 二、填空题 9.如图所示为函数 y=Asin(ωx+φ)的图像上的一段,则这个函数的解析式为________.

?3x 3π? [答案] y=2sin 2 - 4 ? ?
T 5π π 2π 4π [解析] A=2,2= 6 -6= 3 ,T= 3 , 2π 4 3 ?3 ? ∵ ω =3π,∴ω=2,∴y=2sin 2x+φ .

?

?

5 ?3 5 ? ∵当 x=6π 时,y=2,∴2=2sin 2×6π+φ ,

?

?

5 π 3π ? 5 ? 即 sin φ+4π =1,∴φ+4π=2,φ=- 4 , ? ?

?3 3π? ∴y=2sin 2x- 4 . ? ? ? x π? 10.函数 y=3sin 2-6 的对称中心是________. ? ?
[答案]

?π+2kπ,0?,k∈Z ?3 ?

x π x π [解析] 由2-6=kπ,k∈Z 得2=6+kπ. π ?π ? ∴x=3+2kπ,k∈Z.∴对称中心是 3+2kπ,0 .

?

?

π 11.已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤2)是定义域为 R 的奇函数,且当 x=2 时,f(x)取 得最大值 2,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=________. [答案] 2±2 2 [解析] 由题意知:φ=0,A=2, ∴f(x)=2sinωx 又当 x=2 时,f(x)取得最大值 2, π π ∴2ω=2+2kπ,∴ω=4+kπ,k∈Z.

?π ? 当 k 为偶数时,令 k=2n,则 f(x)=2sin 4+2nπ x, ? ?
π ∵n∈Z,x∈Z,∴f(x)=2sin4x. 由函数周期性可得:f(1)+f(2)+…+f(100)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+2 2 同理,当 k 为奇数时可得:f(1)+f(2)+…f(100)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2-2 2. 三、解答题

?π ? 12.求函数 y=2sin 4-x 的单调区间. ? ?

?π ? [分析] 思路 1:由 y=sinx 的单调区间来求本题的单调区间.思路 2:将 y=2sin 4-x 看作复 ? ?
合函数来求其单调性.

?π ? [解析] 解法 1:y=2sin 4-x 化成 ? ? ? π? y=-2sin x-4 . ? ?
∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为

?2kπ-π,2kπ+π?(k∈Z),?2kπ+π,2kπ+3π?(k∈Z), 2 2? 2 2? ? ? ? π? ∴函数 y=-2sin x-4 的递增、递减区间分别由下面的不等式确定. ? ?
π π 3π 2kπ+2≤x-4≤2kπ+ 2 (k∈Z), π π π 2kπ-2≤x-4≤2kπ+2(k∈Z), 3π 7π 解上两式得 2kπ+ 4 ≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z), π 3π 2kπ-4≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z). π 3π? ?π ? ? ∴函数 y=2sin 4-x 的单调递减区间、单调递增区间分别为 2kπ-4,2kπ+ 4 (k∈Z), ? ? ? ?

?2kπ+3π,2kπ+7π?(k∈Z). 4 4? ?
π ?π ? 解法 2:y=2sin 4-x 可看作是由 y=2sinu 与 u=4-x 复合而成的. ? ? π 又∵u=4-x 为减函数, π π ∴由 2kπ-2≤u≤2kπ+2(k∈Z), π π π 即 2kπ-2≤4-x≤2kπ+2(k∈Z)得 π 3π -2kπ-4≤x≤-2kπ+ 4 (k∈Z), π 3π? ? ?π ? 即 -2kπ-4,-2kπ+ 4 (k∈Z)为 y=2sin 4-x 的递减区间.

?

?

?

?

π 3π 由 2kπ+2≤u≤2kπ+ 2 (k∈Z), π π 3π 即 2kπ+2≤4-x≤2kπ+ 2 (k∈Z)得 5π π -2kπ- 4 ≤x≤-2kπ-4(k∈Z), 5π π? ? ?π ? 即 -2kπ- 4 ,-2kπ-4 (k∈Z)为 y=2sin 4-x 的递增区间.

?

?

?

?

?π ? 综上可知:y=2sin 4-x 的递增区间为 ? ? ?-2kπ-5π,-2kπ-π?(k∈Z); 4 4? ?
π 3π? ? 递减区间为 -2kπ-4,-2kπ+ 4 (k∈Z).

?

?

[点评] (1)求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中 A≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以 通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把 “ωx + φ(ω>0)” 视为一个 “ 整体 ” ;② A>0(A<0)时,所列不等式的方向与 y=sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向 相同(反). π (2) 对 于 y = Atan(ωx + φ)(A 、 ω 、 φ 为 常数 ) ,其周 期 T = |ω| , 单调区间利用 ωx + φ ∈

?kπ-π,kπ+π?,解出 x 的取值范围,即为其单调区间.对于复合函数 y=f(v),v=φ(x),其 2 2? ?
单调性判定方法是:若 y=f(v)和 v=φ(x)同为增(减)函数时,y=f(φ(x))为增函数;若 y=f(v)和 v =φ(x)一增一减时,y=f(φ(x))为减函数. π 13.设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线 x=8. (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)证明直线 5x-2y+c=0 与函数 y=f(x)的图像不相切. π π [解析] (1)令 2×8+φ=kπ+2,k∈Z, π ∴φ=kπ+4, 5 1 又-π<φ<0,则-4<k<-4, 3π ∴k=-1,则 φ=- 4 . 3π? ? (2)由(1)得:f(x)=sin 2x- 4 ,

?

?

π 3π π 令-2+2kπ≤2x- 4 ≤2+2kπ, π 5π 可解得:8+kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z, 5π ?π ? 因此 y=f(x)的单调增区间为 8+kπ, 8 +kπ ,k∈Z. ? ? 3π? 3π? 5 ? ? (3)证明:∵f(x)=sin 2x- 4 ,∴f′ (x)=2cos 2x- 4 ,∴-2≤f′ (x)≤2.则 f′ (x)≠2,x∈R.

?

?

?

?

∴直线 5x-2y+c 与函数 y=f(x)的图像不相切. 14.已知向量 m=(sinωx+cosωx, 3cosωx),n=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中 ω>0,函数 f(x) π =m· n,若 f(x)相邻两对称轴间的距离为2. (1)求 ω 的值,并求 f(x)的最大值及相应 x 的集合;

(2)在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 所对的边,△ABC 的面积 S=5 3,b=4,f(A)=1, 求边 a 的长. [解析] (1)f(x)=cos2ωx-sin2ωx+2 3sinωxcosωx π? ? =cos2ωx+ 3sin2ωx=2sin 2ωx+6 , ? ? 由题意可得 T=π,∴ω=1, π? ? ∴f(x)=2sin 2x+6 .

?

?

π? ? 当 sin 2x+6 =1 时,f(x)有最大值 2, ? ? π π π ∴2x+6=2kπ+2,∴x=kπ+6 (k∈Z), π ∴x 的集合为{x|x=6+kπ,k∈Z}. π? ? (2)f(A)=2sin 2A+6 =1

?

?

π? 1 π 5π ? ∴sin 2A+6 =2 0<A<π,∴2A+6= 6 ,

?

?

π 1 π ∴A=3,S=2bcsin3=5 3,∴c=5, π 由余弦定理得:a2=16+25-2×4×5cos3=21, ∴a= 21. 15.如图为一个观览车示意图,该观览车半径为 4.8m,圆上最低点与地 面距离为 0.8m,60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆 时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面距离为 h. (1)求 h 与 θ 间关系的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒到达 OB,求 h 与 t 间关系的函数解析式; (3)填写下列表格: θ h(m) 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°

t(s) h(m) [分析]

0

5

10

15

20

25

30

[解析] (1)由题意可作图如图. π π 过点 O 作地面平行线 ON,过点 B 作 ON 的垂线 BM 交 ON 于 M 点.当 θ>2时,∠BOM=θ-2.

? π? h=|OA|+0.8+|BM|=5.6+4.8sin θ-2 . ? ?
π 当 0≤θ≤2时,上述关系式也适合. π (2)点 A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是30, π ∴t 秒转过的弧度数为30t.

? π π? ∴h=4.8sin 30t-2 +5.6,t∈[0,+∞). ? ?
(3) θ h(m) t(s) h(m) 0° 0.8 0 0.8 30° 1.4 5 1.4 60° 3.2 10 3.2 90° 5.6 15 5.6 120° 8.0 20 8.0 150° 9.8 25 9.8 180° 10.4 30 10.4


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