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2016年江苏省扬州市高考数学一模试卷


2016 年江苏省扬州市高考数学一模试卷
二、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x<0},B={0,1,2},则 A∩B= . 2. (5 分)若复数 z=i(3﹣2i) (i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为 . 3. (5 分)如图所示的流程图,若输出的 x 的值为 ,则相应输出的 y 值为



4. (5 分)某学校从高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高.据测量被测学生身 高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160) 、 第二组[160,165) 、…、第八组[190,195].按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部 分如图所示, 估计这所学校高三年级全体男生身高 180cm 以上 (含 180cm) 的人数为 .

5. (5 分)双曲线



=1 的焦点到渐近线的距离为



6. (5 分)从 1,2,3,4,5 这 5 个数中,随机抽取 2 个不同的数,则这 2 个数的和为偶数 的概率是 . 7. (5 分)已知等比数列{an}满足 a2+2a1=4, 8. (5 分)已知正四棱锥底面边长为 9. (5 分)已知函数 α+β= . ,则该数列的前 5 项的和为 . .

,体积为 32,则此四棱锥的侧棱长为 (0≤x<π) ,且

(α≠β) ,则

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10. (5 分)已知 =(cosα,sinα) , =(2,1) ,a∈(﹣ )= .



) ,若 ? =1,则 sin(2a+

11. (5 分)已知 a>b>1 且 2logab+3logba=7,则
2 2

的最小值为



12. (5 分)已知圆 O:x +y =4,若不过原点 O 的直线 l 与圆 O 交于 P、Q 两点,且满足直 线 OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列,则直线 l 的斜率为 . 13. (5 分)已知在数列{an}中,a1=a(0<a≤2) ,an+1= Sn=a1+a2+…an.若 Sn=2015,则 n= . (n∈N ) ,记
*

14. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x﹣a|+|x﹣ 2a|﹣3|a|) .若集合{x|f(x﹣1)﹣f(x)>0,x∈R}=?,则实数 a 的取值范围为 .

二、简答题:本大题共 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15. (14 分)如图,已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC,D、E 分别为 BC、CC1 中点, BC1⊥B1D. (1)求证:DE∥平面 ABC1; (2)求证:平面 AB1D⊥平面 ABC1.

16. (14 分)已知函数 f(x)= (1)当 x∈[0,

cos ωx+sinωxcosωx(ω>0)的周期为 π.

2

]时,求函数 f(x)的值域; , 且 a=4, b+c=5,

(2) 已知△ABC 的内角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c, 若f ( ) = 求△ABC 的面积. 17. (15 分)如图,已知椭圆 点,M 在 PF1 上,且满足

=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,P 是椭圆上一 (λ∈R) ,PO⊥F2M,O 为坐标原点.

(1)若椭圆方程为

=1,且 P(2,

) ,求点 M 的横坐标;

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(2)若 λ=2,求椭圆离心率 e 的取值范围.

18. (15 分)某隧道设计为双向四车道,车道总宽 20 米,要求通行车辆限高 4.5 米,隧道口 截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分,如图所示建立平面直角坐标系 xOy. (1)若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2)为了使施工的土方工程量最小,需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高 h 不小 于 6 米,则应如何设计拱高 h 和拱宽 l,使得隧道口截面面积最小?(隧道口截面面积公式 为 S= lh)

19. (16 分)已知函数 f(x)=(ax +x+2)e (a>0) ,其中 e 是自然对数的底数. (1)当 a=2 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)在[﹣2,2]上是单调增函数,求 a 的取值范围; (3)当 a=1 时,求整数 t 的所有值,使方程 f(x)=x+4 在[t,t+1]上有解. * 20. (16 分)若数列{an}中不超过 f(m)的项数恰为 bm(m∈N ) ,则称数列{bm}是数列{an} 的生成数列,称相应的函数 f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数. 2 2 (1)已知 an=n ,且 f(m)=m ,写出 b1、b2、b3; (2)已知 an=2n,且 f(m)=m,求{bm}的前 m 项和 Sm; n 3 * (3)已知 an=2 ,且 f(m)=Am (A∈N ) ,若数列{bm}中,b1,b2,b3 是公差为 d(d≠0) 的等差数列,且 b3=10,求 d 的值及 A 的值. 数学附加题. 21. 已知直线 l: x+y=1 在矩阵 对应的变换作用下变为直线 l': x﹣y=1, 求矩阵 A.

2

x

22.在极坐标系中,求圆 ρ=8sinθ 上的点到直线 θ=

(ρ∈R)距离的最大值.

23.某商场举办“迎新年摸球”活动,主办方准备了甲、乙两个箱子,其中甲箱中有四个球, 乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同) ,每一个箱子中只有一个红球,其余都是 黑球.若摸中甲箱中的红球,则可获奖金 m 元,若摸中乙箱中的红球,则可获奖金 n 元.活
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动规定:①参与者每个箱子只能摸一次,一次摸一个球;②可选择先摸甲箱,也可先摸乙 箱;③如果在第一个箱子中摸到红球,则可继续在第二个箱子中摸球,否则活动终止. (1)如果参与者先在乙箱中摸球,求其恰好获得奖金 n 元的概率; (2) 若要使得该参与者获奖金额的期望值较大, 请你帮他设计摸箱子的顺序, 并说明理由. 24.已知函数 f(x)=2x﹣3x ,设数列{an}满足:a1= ,an+1=f(an) (1)求证:对任意的 n∈N ,都有 0<an< ; (2)求证: + +…+ ≥4
n+1 * 2

﹣4.

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2016 年江苏省扬州市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析

二、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 2 1. (5 分) (2016?扬州一模)已知集合 A={x|x ﹣2x<0},B={0,1,2},则 A∩B= {1} . 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得:x(x﹣2)<0, 解得:0<x<2,即 A=(0,2) , ∵B={0,1,2}, ∴A∩B={1}, 故答案为:{1}
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2. (5 分) (2016?扬州一模)若复数 z=i(3﹣2i) (i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为 3 . 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;转化思想;分析法;数系的扩充和复数. 【分析】由复数 z=i(3﹣2i) (i 是虚数单位) ,得 z=2+3i,则 z 的虚部可求. 【解答】解:由 z=i(3﹣2i)=2+3i, 则 z 的虚部为:3. 故答案为:3.
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3. (5 分) (2016?扬州一模)如图所示的流程图,若输出的 x 的值为 值为 .

,则相应输出的 y

【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;分类讨论;算法和程序框图. 【分析】由已知中的程序代码,可得该程序的功能是计算并输出分段函数 y=
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的值,由 x 的值为

,利用特殊角的三角函数值即可计算得解.

【解答】解:由已知中的程序代码,可得该程序的功能是计算并输出分段函数 y= 的值,
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由于:sin

=

>cos

, ,输出 y 的值为 .

所以:执行 y=cos 故答案为: .

4. (5 分) (2016?扬州一模)某学校从高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高.据 测量被测学生身高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一 组[155,160) 、第二组[160,165) 、…、第八组[190,195].按上述分组方式得到的频率分 布直方图的一部分如图所示, 估计这所学校高三年级全体男生身高 180cm 以上 (含 180cm) 的人数为 144 .

【考点】程序框图. 【专题】对应思想;定义法;算法和程序框图. 【分析】根据频率和为 1,求出男生身高在 180cm 以上(含 180cm)的频率和频数. 【解答】解:根据频率分布直方图,得; 男生身高在 180cm 以上(含 180cm)的频率为 1﹣(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.18; 对应的人数有 800×0.18=144. 故答案为:144.
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5. (5 分) (2016?扬州一模)双曲线



=1 的焦点到渐近线的距离为 4 .

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据题意,先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程,再代入点到直线的距离公式 即可求出结论.
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【解答】解:根据题意,双曲线的方程为



=1,其中 a=3,b=4;

其焦点坐标为(﹣5,0) , (5,0) ,渐近线方程为 y=± x,即 4x±3y=0,
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则焦点到其渐近线的距离 d= 故答案为:4.

=

=4;

6. (5 分) (2016?扬州一模)从 1,2,3,4,5 这 5 个数中,随机抽取 2 个不同的数,则这 2 个数的和为偶数的概率是 .
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【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】从 1,2,3,4,5 这 5 个数中,随机抽取 2 个不同的数,求出基本事件总数和这 2 个数的和为偶数包含的基本事件个数,由此能求出这 2 个数的和为偶数的概率. 【解答】解:从 1,2,3,4,5 这 5 个数中,随机抽取 2 个不同的数, 基本事件总数 n= =10, =4, .

这 2 个数的和为偶数包含的基本事件个数 m= ∴这 2 个数的和为偶数的概率:p= = 故答案为: .

7. (5 分) (2016?扬州一模)已知等比数列{an}满足 a2+2a1=4,

,则该数列的前 5

项的和为 31 . 【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】方程思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得首项和公比的方程组,解方程组代入求和公式计算可得. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q,
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∵a2+2a1=4,
2 4


4

∴a1(q+2)=4,a1 q =a1q , 联立解得 a1=1,q=2, ∴数列的前 5 项的和为 故答案为:31. 8. (5 分) (2016?扬州一模)已知正四棱锥底面边长为 ,体积为 32,则此四棱锥的侧 棱长为 5 . 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;点、线、面间的距离计算. 【专题】计算题;规律型;函数思想;空间位置关系与距离. 【分析】利用体积求出正四棱锥的高,求出底面对角线的长,然后求解侧棱长. 【解答】解:正四棱锥底面边长为 ,体积为 32,
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=31

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可得正四棱锥的高为 h, 解得 h=3, 底面对角线的长为:4 侧棱长为: 故答案为:5. 9. (5 分) (2016?淮安模拟) 已知函数 (α≠β) ,则 α+β= .
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=32,

=8,

=5.

(0≤x<π) , 且

【考点】两角和与差的余弦函数. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性,求得 α+β 的值. 【解答】解:∵函数 且 ∴2α+2β= 故答案为: (0≤x<π) ,∴ = ≤2x+ ,2β+ < =2π+ , ,

(α≠β) ,不妨设 α<β,∴2α+ ,∴α+β= . ,

10. (5 分) (2016?扬州一模)已知 =(cosα,sinα) , =(2,1) ,a∈(﹣ ? =1,则 sin(2a+ )= .
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) ,若

【考点】运用诱导公式化简求值;平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;规律型;方程思想;转化思想;三角函数的求值. 【分析】通过数量积推出三角函数关系,然后利用诱导公式化简所求的表达式,利用平方关 系式,即可求出结果. 【解答】解: 可得 2cosα+sinα=1.
2


2


2





,又 sin α+cos α=1,解得 cosα= , = .

=﹣cos2α=1﹣2cos α=1﹣2× 故答案为: .

11. (5 分) (2016?扬州一模) 已知 a>b>1 且 2logab+3logba=7, 则

的最小值为 3 .

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【考点】基本不等式. 【专题】方程思想;消元法;不等式的解法及应用.
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【分析】由对数的运算可得 b =a,整体代入可得 本不等式可得. 【解答】解:∵a>b>1,∴t=logab<1, 又∵2logab+3logba=7,∴2t+ =7, 解得 t= ,或 t=3(舍去) , ∴t=logab= ,∴b =a, ∴ =a+ =a﹣1+ +1
2

2

=a+

=a﹣1+

+1,由基

≥2 当且仅当 a﹣1= 故答案为:3

+1=3, 即 a=2 且 b= 时取等号.

12. (5 分) (2016?扬州一模)已知圆 O:x +y =4,若不过原点 O 的直线 l 与圆 O 交于 P、 Q 两点,且满足直线 OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列,则直线 l 的斜率为 ±1 . 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .由题意可设直线 l 的方程为:y=kx+t(t≠0) ,与圆的 2 2 2 方程联立可得(1+k )x +2ktx+t ﹣4=0,得到根与系数的关系.利用直线 OP、PQ、OQ 的
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2

2

斜率成等比数列,可得

=k ,化为 k =1,即可求出直线 l 的斜率.

2

2

【解答】解:设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 由题意可设直线 l 的方程为:y=kx+t(t≠0,±1) . 2 2 2 2 2 联立圆 O:x +y =4,化为(1+k )x +2ktx+t ﹣4=0. ∴x1+x2=﹣ ,x1x2= .

∵直线 OP、PQ、OQ 的斜率成等比数列, ∴ =k ,
2 2

∴(kx1+t) (kx2+t)=k x1x2, 2 化为 tk(x1+x2)+t =0,

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∴k?(﹣
2

)+t=0,

∴k =1, ∴k=±1. 故答案为:±1.

13. (5 分) (2016?扬州一模) 已知在数列{an}中, a1=a (0<a≤2) , an+1= (n∈N ) ,记 Sn=a1+a2+…an.若 Sn=2015,则 n= 1343 . 【考点】数列的求和. 【专题】分类讨论;转化法;等差数列与等比数列.
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*

【分析】a1=a(0<a≤2) ,an+1=

(n∈N ) ,可得 a2=﹣a1+3=﹣a+3.分

*

类讨论:当 a∈(0,1)时,可得 an+4=an.当 a∈[1,2]时,可得:an+2=an.即可得出. 【解答】解:∵a1=a(0<a≤2) ,an+1= (n∈N ) ,
*

∴a2=﹣a1+3=﹣a+3. ①当 a∈(0,1)时,3﹣a∈(2,3) ,∴a3=a2﹣2=1﹣a∈(0,1) ,∴a4=﹣a3+3=a+2∈(2, 3) ,∴a5=a4﹣2=a∈(0,1) ,…,∴an+4=an. ∴a1+a2+a3+a4=a+(﹣a+3)+(1﹣a)+(a+2)=6. ∵Sn=2015=335×6+5,∴a1=a≠5,a1+a2=3≠5,a1+a2+a3=4﹣a≠5,舍去. ②当 a∈[1,2]时,3﹣a∈[1,2],∴a3=﹣a2+3=a∈[1,2],∴an+2=an. ∵a1+a2=3, ∴Sn=2015=671×3+2,a1=a=2 时,n=671×2+1=1343. 故答案为:1343. 14. (5 分) (2016?扬州一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x) = (|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|) .若集合{x|f(x﹣1)﹣f(x)>0,x∈R}=?,则实数 a 的取 值范围为 .
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【考点】函数恒成立问题. 【专题】综合题;数形结合;分类讨论;转化法;函数的性质及应用. 【分析】把 x≥0 时的 f(x)改写成分段函数,求出其最小值,由函数的奇偶性可得 x<0 时的函数的最大值,条件等价为对? x∈R,都有 f(x﹣1)≤f(x) ,进行转化求解即可求 解该不等式得答案. 【解答】解:若{x|f(x﹣1)﹣f(x)>0,x∈R}=?, 则等价为 f(x﹣1)﹣f(x)≤0 恒成立,即 f(x﹣1)≤f(x)恒成立, 当 x≥0 时,f(x)= (|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|) .

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若 a≤0,则当 x≥0 时,f(x)= (x﹣a+x﹣2a+3a)=x, ∵f(x)是奇函数, ∴若 x<0,则﹣x>0,则 f(﹣x)=﹣x=﹣f(x) , 则 f(x)=x,x<0, 综上 f(x)=x,此时函数为增函数,则 f(x﹣1)≤f(x)恒成立, 若 a>0, 若 0≤x≤a 时,f(x)= [﹣x+a﹣(x﹣2a)﹣3a]=﹣x; 当 a<x≤2a 时,f(x)= [x﹣a﹣(x﹣2a)﹣3a]=﹣a; 当 x>2a 时,f(x)= (x﹣a+x﹣2a﹣3a)=x﹣3a. 即当 x≥0 时,函数的最小值为﹣a, 由于函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x<0 时,f(x)的最大值为 a, 作出函数的图象如图: 由于? x∈R,f(x﹣1)≤f(x) , 故函数 f(x﹣1)的图象不能在函数 f(x)的图象的上方, 结合图可得 1﹣3a≥3a,即 6a≤1,求得 0<a≤ , 综上 a≤ , 故答案为: (﹣∞, ]

二、简答题:本大题共 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15. (14 分) (2016?扬州一模)如图,已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC,D、E 分 别为 BC、CC1 中点,BC1⊥B1D. (1)求证:DE∥平面 ABC1; (2)求证:平面 AB1D⊥平面 ABC1.

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【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
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【分析】 (1)推导出 DE∥BC1,由此能证明 DE∥平面 ABC1. (2)推民导出 CC1⊥AD,AD⊥BC,从而 AD⊥平面 BCC1B1,进而 AD⊥BC1,由此能证 明平面 AB1D⊥平面 ABC1. 【解答】证明: (1)∵D、E 分别为 BC、CC1 中点,∴DE∥BC1,…(2 分) ∵DE?平面 ABC1,BC1? 平面 ABC1. ∴DE∥平面 ABC1.…(6 分) (2)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC,∵AD? 平面 ABC, ∴CC1⊥AD,…(8 分) ∵AB=AC,D 为 BC 中点,∴AD⊥BC,又∵CC1∩BC=C,CC1,BC? 平面 BCC1B1, ∴AD⊥平面 BCC1B1,∵BC1? 平面 BCC1B1,∴AD⊥BC1,…(11 分) 又∵BC1⊥B1D∩AD=D,B1D∩AD=D,B1D,AD? 平面 AB1D, ∴BC1⊥平面 AB1D, ∵BC1? 平面 ABC1,∴平面 AB1D⊥平面 ABC1.…(14 分)

16. (14 分) (2016?扬州一模)已知函数 f(x)= π. (1)当 x∈[0, ]时,求函数 f(x)的值域;

cos ωx+sinωxcosωx(ω>0)的周期为

2

(2) 已知△ABC 的内角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c, 若f ( ) = 求△ABC 的面积. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】计算题;转化思想;分析法;三角函数的图像与性质.
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, 且 a=4, b+c=5,

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【分析】 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简可得 f(x)=sin(2ωx+ 期公式可求 ω,可得 f(x)的解析式,由 x∈[0, 1],即可求值函数值域. (2)由 f( )= ,结合范围 A+ ∈( , ],可得:sin(2x+

)+

,利用周 ,

)∈[﹣

) ,解得 A 的值,由余弦定理可得 bc

的值,利用三角形面积公式即可求值得解. 【解答】解: (1)∵f(x)= )+ , =π,解得:ω=1,可得:f(x)=sin(2x+ )+ . cos ωx+sinωxcosωx=
2

×

+ sin2ωx=sin(2ωx+

∴由题意可得: ∵x∈[0, ∴2x+ ∈[ ], ,

],可得:sin(2x+ )+ ∈[0, )+ . =

)∈[﹣

,1],

∴f(x)=sin(2x+

+1]. ,A+ ∈( , ) ,

(2)∵f( )=sin(A+ ∴A+ = ,解得:A=
2 2 2

∴由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA, 可得: 16=b +c ﹣bc= (b+c)﹣3bc=25﹣3bc, 解得: bc=3, ∴S△ABC= bcsinA= = .

2

2

2

17. (15 分) (2016?扬州一模)如图,已知椭圆 F2,P 是椭圆上一点,M 在 PF1 上,且满足

=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、 (λ∈R) , PO⊥F2M, O 为坐标原点.

(1)若椭圆方程为

=1,且 P(2,

) ,求点 M 的横坐标;

(2)若 λ=2,求椭圆离心率 e 的取值范围.

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【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 【专题】方程思想;分析法;平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】 (1)由椭圆方程求得焦点坐标,求得 OP,MF1,MF2,的斜率,求得直线 F1M 的 方程,F2M 的方程,求得交点,即可得到所求 M 的横坐标; (2)设 P(x0,y0) ,M(xM,yM) ,运用向量的坐标和向量共线和垂直的条件,再由椭圆 的性质可得﹣a<x0<a,解不等式即可得到所求离心率的范围. 【解答】解: (1)∵椭圆的方程为 ∴ ∴直线 F2M 的方程为: , ,直线 F1M 的方程为: , ∴F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,



解得:



∴点 M 的横坐标为 ; (2)设 P(x0,y0) ,M(xM,yM) , ∵ ∴ ∵PO⊥F2M, ∴ 即 , ∴ ,

联立方程得:

,消去 y0 得: ,
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解得:



, ∈(0,a) , ,

∵﹣a<x0<a,∴x0= ∴0<a ﹣ac<ac 解得:
2

综上,椭圆离心率 e 的取值范围为( ,1) .

18. (15 分) (2016?扬州一模)某隧道设计为双向四车道,车道总宽 20 米,要求通行车辆 限高 4.5 米,隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分,如图所示建立平面直角坐 标系 xOy. (1)若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2)为了使施工的土方工程量最小,需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高 h 不小 于 6 米,则应如何设计拱高 h 和拱宽 l,使得隧道口截面面积最小?(隧道口截面面积公式 为 S= lh)

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题;应用题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】 (1)设抛物线的方程为:y=﹣ax (a>0) ,利用待定系数法求出 求出隧道设计的拱宽. (2)抛物线最大拱高为 h 米,h≥6,利用待定系数法求出

2

,由此能

,从而 20<l≤40,S=

,由此利用导数性质能求出当拱高为 面积最小.

米,拱宽为

米时,使得隧道口截面

【解答】解: (1)设抛物线的方程为:y=﹣ax (a>0) ,则抛物线过点 代入抛物线方程解得: ,…(3 分)

2



令 y=﹣6,解得:x=±20,则隧道设计的拱宽 l 是 40 米.…(5 分) (2)抛物线最大拱高为 h 米,h≥6,抛物线过点(10,﹣(h﹣ ) ) ,

第 15 页(共 24 页)

代入抛物线方程得:

令 y=﹣h,则

,解得:







,…(9 分)

∵h≥6,∴

≥6,即 20<l≤40,

∴ ∴

,…(12 分)

, 当 即S在 ∴S 在 答:当拱高为 时,S'<0;当 上单调减,在(20 时取得最小值,此时 米,拱宽为 时,S'>0, ,40]上单调增, ,

米时,使得隧道口截面面积最小. …(15 分)
2 x

19. (16 分) (2016?扬州一模)已知函数 f(x)=(ax +x+2)e (a>0) ,其中 e 是自然对数 的底数. (1)当 a=2 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)在[﹣2,2]上是单调增函数,求 a 的取值范围; (3)当 a=1 时,求整数 t 的所有值,使方程 f(x)=x+4 在[t,t+1]上有解. 【考点】利用导数研究函数的极值;导数的几何意义. 【专题】转化思想;转化法;导数的综合应用. 【分析】 (1)求函数的导数,利用函数极值和导数之间的关系进行求解即可. (2)根据函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可. (3)根据函数单调性结合函数零点的判断条件进行求解即可. 2 x 2 x x 【解答】解: (1)f(x)=(2x +x+2)e ,则 f′(x)=(2x +5x+3)e =(x+1) (2x+3)e … (2 分)
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令 f′(x)=0,

第 16 页(共 24 页)

x f′(x) f(x) ∴
2

﹣1 + 增 0 极大值 ,
x

﹣ 减

0 极小值

(﹣1, +∞) + 增 …(4 分)

(2)问题转化为 f′(x)=[ax +(2a+1)x+3]e ≥0 在 x∈[﹣2,2]上恒成立; x 2 又 e >0 即 ax +(2a+1)x+3≥0 在 x∈[﹣2,2]上恒成立; …(6 分) , 2 令 g(x)=ax +(2a+1)x+3, ∵a>0,对称轴 ①当﹣1﹣ ≤﹣2,即 时,g(x)在[﹣2,2]上单调增, …(8

∴g(x)的最小值 g(x)=g(﹣2)=1>0,∴0<a≤ 分) ②当﹣2<﹣1﹣ 2]上单调增, ∴△=(2a+1) ﹣12a≤0,解得: ∴ <a≤1+ , .
2 x 2 2

<0,即

时,g(x)在[﹣2,﹣1﹣

]上单调减,在[﹣1﹣





综上,a 的取值范围是

…(10 分)
x

(3)∵a=1,设 h(x)=(x +x+2)e ﹣x﹣4,h′(x)=(x +3x+3)e ﹣1 2 x 2 x 令 φ(x)=(x +3x+3)e ﹣1,φ′(x)=(x +5x+6)e 2 x 令 φ′(x)=(x +5x+6)e =0,得 x=﹣2,﹣3 x (﹣∞,﹣ ﹣3 (﹣3, ﹣2 (﹣2, 3) ﹣2) +∞) 0 0 φ′(x) + ﹣ + φ(x) 增 极大值 减 极小值 增 ∴ ∵ , , …( 13 分)

∴存在 x0∈(﹣1,0) ,x∈(﹣∞,x0)时,φ(x)<0,x∈(x0,+∞)时,φ(x)>0 ∴h(x)在(﹣∞,x1)上单调减,在(x1,+∞)上单调增 又∵ 由零点的存在性定理可知:h(x)=0 的根 x1∈(﹣4,﹣3) ,x2∈(0,1)即 t=﹣4,0. (16 分) …

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20. (16 分) (2016?扬州一模)若数列{an}中不超过 f(m)的项数恰为 bm(m∈N ) ,则称 数列{bm}是数列{an}的生成数列,称相应的函数 f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数. 2 2 (1)已知 an=n ,且 f(m)=m ,写出 b1、b2、b3; (2)已知 an=2n,且 f(m)=m,求{bm}的前 m 项和 Sm; n 3 * (3)已知 an=2 ,且 f(m)=Am (A∈N ) ,若数列{bm}中,b1,b2,b3 是公差为 d(d≠0) 的等差数列,且 b3=10,求 d 的值及 A 的值. 【考点】数列的应用. 【专题】综合题;分类讨论;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)利用生成数列,与控制函数的意义即可得出. (2)对 m 分类讨论:可得 bm.进而得出前 n 项和.
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*

(3)依题意:

,f(1)=A,f(2)=8A,f(5)=125A,设 b1=t,即数列{an}中,不
t t+1 t+d t+d+1 t+2d

超过 A 的项恰有 t 项,所以 2 ≤A<2 ,同理:2 ≤8A<2 ,2 得 d<4,d 为正整数,得出 d=1,2,3,分类讨论即可得出. 【解答】解: (1)m=1,则 a1=1≤1,∴b1=1; m=2,则 a1=1<4,a2=4≤4,∴b2=2; m=3,则 a1=1<9,a2=4<9,a3=9≤9,∴b3=3. (2)m 为偶数时,则 2n≤m,则 m 为奇数时,则 2n≤m﹣1,则 ; ;

≤125A<2

t+2d+1

,可





m 为偶数时,则



m 为奇数时,则







(3)依题意:

,f(1)=A,f(2)=8A,f(5)=125A,
t t+1

设 b1=t,即数列{an}中,不超过 A 的项恰有 t 项,所以 2 ≤A<2 , t+d t+d+1 t+2d t+2d+1 同理:2 ≤8A<2 ,2 ≤125A<2 ,可得:

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故 由以下关系:



得 d<4, ∵d 为正整数,∴d=1,2,3. 当 d=1 时, , 不合题意, 舍去; 当 d=2 时, , 不合题 意,舍去; 当 d=3 时, , , 适合题意. 此时 ,b1=t,b2=t+3,b5=t+6,∴t+3≤b3≤t+6.

∵b3=10,∴4≤t≤7, ∵t 为整数,∴t=4,t=5,t=6 或 t=7. ∵f(3)=27A,b3=10, ∴2 ≤27A<2 ,∴ 当 t=4 时, 当 t=5 时, 当 t=6 时, 当 t=7 时,
10 11

. ,∴无解. ,∴无解. ,∴ ,∴无解,∴ . .

∵A∈N*,∴A=64 或 A=65. 综上:d=3,A=64 或 65. 数学附加题.

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21. (2016?扬州一模)已知直线 l:x+y=1 在矩阵

对应的变换作用下变为直线 l':

x﹣y=1,求矩阵 A. 【考点】几种特殊的矩阵变换. 【专题】转化思想;分析法;矩阵和变换. 【分析】设直线 l:x+y=1 上任意一点 M(x,y)在矩阵 A 的变换作用下,变换为点 M′(x′, y′) ,根据矩阵 A 列出关系式,得到 x 与 x′,y 与 y′的关系式,再由 M′(x′,y′)在直线 l' 上,求出 m 与 n 的值,即可确定出矩阵 A. 【解答】解:设直线 l:x+y=1 上任意一点 M(x,y)在矩阵 A 的变换作用下,变换为点 M′ (x′,y′) ,
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由[

]=[

][ ]=[

],得



又点 M′(x′,y′)在 l′:x﹣y=1 上, ∴x′﹣y′=1,即(mx+ny)﹣y=1, 依题意 解得: , ,

则矩阵 A=[

].

22. (2016?扬州一模)在极坐标系中,求圆 ρ=8sinθ 上的点到直线 θ=

(ρ∈R)距离的最

大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】方程思想;转化思想;坐标系和参数方程. 【分析】把直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程,利用点到直线的距离公式即可得出.
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【解答】解:圆 ρ=8sinθ 即:ρ =8ρsinθ,化为 x +y =8y,配方为:x +(y﹣4) =16,可得 圆心(0,4) ,半径 r=4. 直线 θ= (ρ∈R)即 y= x.

2

2

2

2

2

∴圆心到直线的距离 d= =2. ∴圆 ρ=8sinθ 上的点到直线 θ= (ρ∈R)距离的最大值=d+r=2+4=6.

23. (2016?扬州一模)某商场举办“迎新年摸球”活动,主办方准备了甲、乙两个箱子,其中 甲箱中有四个球,乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同) ,每一个箱子中只有一 个红球,其余都是黑球.若摸中甲箱中的红球,则可获奖金 m 元,若摸中乙箱中的红球, 则可获奖金 n 元.活动规定:①参与者每个箱子只能摸一次,一次摸一个球;②可选择先

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摸甲箱, 也可先摸乙箱; ③如果在第一个箱子中摸到红球, 则可继续在第二个箱子中摸球, 否则活动终止. (1)如果参与者先在乙箱中摸球,求其恰好获得奖金 n 元的概率; (2) 若要使得该参与者获奖金额的期望值较大, 请你帮他设计摸箱子的顺序, 并说明理由. 【考点】离散型随机变量的期望与方差. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】 (1)设参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金 n 元为事件 M,利用相互独立事 件概率乘法公式能求出参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金 n 元的概率. (2)先在甲箱中摸球,参与者获奖金 X 的可能取值为 0,m,m+n,分别求出相应的概率, 由此求出 E(X) ;先在乙箱中摸球,参与者获奖金 H 的可能取值为 0,n,m+n,分别求出 相应的概率,由此求出 EH.由此能求出要使得该参与者获奖金额的期望值较大的摸箱子的 顺序. 【解答】解: (1)设参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金 n 元为事件 M,
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则 P(M)=

= ,

即参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金 n 元的概率为 . (2)参与者摸球的顺序有两种,分别讨论如下: ①先在甲箱中摸球,参与者获奖金 X 的可能取值为 0,m,m+n, 则 P(X=0)= , P(X=m)= P(X=m+n)= E(X)= = , , = .

②先在乙箱中摸球,参与者获奖金 H 的可能取值为 0,n,m+n, 则 P(H=0)= , P(H=n)= P(H=m+n)= EH= EX﹣EH= 当 当 , = , = , = ,

时,先在甲箱中摸球,再在乙箱中摸球,参与者获金期望值较大; 时,两种顺序参与者获奖金期望值相等;

当 < 时,先在乙箱中摸球,再在甲箱中摸球,参与者获金期望值较大.
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24. (2016?扬州一模)已知函数 f(x)=2x﹣3x ,设数列{an}满足:a1= ,an+1=f(an) (1)求证:对任意的 n∈N ,都有 0<an< ; (2)求证: + +…+ ≥4
n+1 *

2

﹣4.

【考点】数列的求和;数列与不等式的综合. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用.
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【分析】 (1)由已知可得:an+1=2an﹣3 =

=﹣3

+ ≤ .可得 an< .作差 =3an(3an﹣2) ,由 an

< (n∈N ) ,可得:an+1 与 an 同号,因此 an>0, (2)由 0<an< ,an+1=2an﹣3 {an}单调递增.n>1 时, ,可得 an+1﹣an= ,可得 >4, =an(1﹣3an)>0,因此数列 = >

*

>…>

,即可证明.
2

【解答】证明: (1)∵an+1=f(an) ,函数 f(x)=2x﹣3x , ∴an+1=2an﹣3 =﹣3 + ≤ .

若 an+1= ,则 an= ,可得 a1= ,与已知 a1= 矛盾,因此等号不成立. ∴an< . = =3an(3an﹣2)
*

= , ,3an﹣2<0,

由 an< (n∈N ) ,可得 an+1 因此 an+1 与 an 同号,a1= >0, ∴an>0,

综上可得:对任意的 n∈N ,都有 0<an< . (2)∵0<an< ,an+1=2an﹣3 ,
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*

∴an+1﹣an=

=an(1﹣3an)>0,

∴an+1>an, ∴数列{an}单调递增. ∴n>1 时, ∴ >4, ,



=

=





>…>

=4

n+1





+

+… +

≥3(4+4 +…+4 )=3×

2

n

=4

n+1

﹣4.



+

+… +

≥4

n+1

﹣4.

第 23 页(共 24 页)

参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;sxs123;w3239003; 742048; danbo7801;zlzhan; lincy;qiss;caoqz;刘长柏;沂蒙松;maths;双曲线(排名不分先后) 菁优网 2016 年 11 月 9 日

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