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山东省高二下学期理科数学测试四


绝密★启用前

8.设函数f ( x)在R上可导,其导函数为f ' ( x) ,且函数f ( x)在x = - 2处取得极小值,则 函数y = xf ' ( x) 的图像可能是
2016.06.23

高二下学期数学(理科)期末测试
项中,只有一项是符合题目要求的。)
2 1. 已知 a, b

? R, i 是虚数单位. 若 a +i = 2 - bi ,则 (a + bi) =

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选

9.函数f ( x) = sin x + cos x( x 挝R)的图像向左平移m(m
(D) 4 + 3i

R*)个单位后,得到函数

(A) 3 - 4i

(B) 3 + 4i

(C) 4 - 3i

2.设曲线 y = ax - ln( x +1) 在点(0,0)处的切线方程为 y = 2 x ,则 a 的值为 A.0 B.1 C.2 D.3

y = f '( x)的图像,则最小值为 p p A. B. C. p 4 2
ep (1 - e1006p ) 1 - ep

D.

p 6
ep (1 - e1006p ) 1 - e2p ep (1 - e2012p ) 1 - ep

10.已知函数f ( x)=e x ( sinx-cosx), x ? A. B. ep (1 - e2012p ) 1 - e2p

( 0, 2013p ),则函数f ( x)的极大值之和为
C. D.

3.已知随机变量z 服从正态分布N (, 1 s 2 ), 若P(z ? 4) 0.79,则P(z ? 2) = A. 0.29 B. 0.21 C. 0.19 D. 0.79

4.已知随机变量 X 的概率分布列如下所示:且 X 的数学期望 EX = 6 ,则

X p

5 0.4

6

7

8 0.1 C. a = 0.4, b = 0.1 D. a = 0.1, b = 0.4

a

b

A. a = 0.3, b = 0.2

B. a = 0.2, b = 0.3

第 II 卷(共 100 分)
二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.从编号为 1,2,??10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,已知选出 4 号球的条件下,选出 球的最大号码为 6 的概率为________.

5.若(x - 1)8 = a0 + a1 (1 + x) + a2 (1 + x) 2 +K + a8 (1 + x)8 , 则a6 = A. 112 B. 28 C. - 28 D. - 112

6. 有七名同学站成一排照相,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学要站在一起,则 不同的站法有 A.240 种 B.192 种 C.96 种 D.48 种 7.曲线 y = e 在点 (2, e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A.
x

1 ) 12.抛掷一枚均匀硬币 n(3≤n≤8)次, 正面向上的次数 x 服从二项分布 B(n, ) , 若 P (x =
则方差 D( x )= (用数字作答). .

1 2

=

3 , 32

2

e2 2

B. e

2

C. 2 e

2

D.

9 2 e 4

13.四个不同的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有________种

1

14.已知函数f ( x)是定义在R上的奇函数,f (1)=0, [ xf ( x)] ' > 0(x > 0), 则不等式 f ( x) ? 0的解集是_______.
15. 已知函数f ( x)=3x 2 +2x+1,若 ò- 1 f ( x)dx = 2 f (a)成立, 则a的值为____.
1

概率分别为

1 1 1 2 , ;1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为 , ;两人滑雪时间都不会超 4 6 2 3

过 3 小时. (I)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率; (II)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E x

( )

三.解答题(本题共 6 小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 是全不相等的正实数,求证 20.(本小题满分 13 分)

b + c - a a + c - b a +b - c + + >3 . a b c

某学校高二年级志愿者协会有 6 名男同学, 4 名女同学. 在这 10 名同学中, 3 名同学来自 A 班,其余 7 名同学恰好来自其他互不相同的七个班级. 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学, 到某公园参加环保活动(每位同学被选到的可能性相同).

17.(本小题满分 12 分) 在二项式 ( x +

(Ⅰ)求选出的 3 名同学是来自互不相同班级的概率;

1 2 x

) n 的展开式中,前三项系数成等差数列.

(Ⅱ)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

(I)求展开式中的常数项; (Ⅱ)求展开式中系数最大的项. 21.(本小题满分 14 分)

函数f ( x) = ax 2 - a - ln x ,其中a ? R.
18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) =

(I)讨论f ( x)的单调性;

x 1 + x2

( x > 0) 数列 {an } 满足. a1 = f ( x), an+1 = f (an ).

1 (II)确定a 的所有可能取值,使得f ( x) > - e1- x 在区间(1, +? )内恒成立. x

(I)求 a2, a3, a4 ; (Ⅱ)猜想数列 {an } 通项,并用数学归纳法予以证明.

19.(本小题满分 12 分) 为迎接 2022 年北京冬奥会, 推广滑雪运动, 某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标 准是:滑雪时间不超过 1 小时免费,超过 1 小时的部分每小时收费标准为 40 元(不足 1 小时的 部分按 1 小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过 1 小时离开的

2

高二数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

2016.06.23

题 号 答 案
二、填空题
11、 1 14 12、

1
A

2
B

3
B

4
A

5
A

6
B

7
A

8 C

9
B

10
B

3 2

13、42

é 14、 é ?- 1, 0 ? ?1, ?

]

)

15、-1 或

1 3

三:解答题

16. 证法 1:(分析法)要证
只需证明

b + c - a a + c - b a +b - c + + >3 a b c
即证 ∴ ∴
b c c a a b + + + + + >6 a a b b c c

b c c a a b + - 1+ + - 1+ + - 1>3 a a b b c c

而事实上,由 a,b,c 是全不相等的正实数 ∴
b c c a a b + + + + + >6 a a b b c c

b a c a c b + > 2, + > 2, + > 2 a b a c b c b + c - a a + c - b a +b - c + + > 3 得证. a b c

证法 2:(综合法) ∵ a,b,c 全不相等
b a c a c b ∴ + > 2, + > 2, + > 2 a b a c b c b c c a a b ∴ ( + - 1) + ( + - 1) + ( + - 1) > 3 a a b b c c



b a c a c b 与 , 与 , 与 全不相等. a b a c b c

19

b c c a a b 三式相加得 + + + + + > 6 a a b b c c



b + c - a a + c - b a +b - c + + >3 . a b c

3

骣 1 2a 琪 x+ 琪 2a ②当a > 0时, f '( x) = 桫 x 骣 1 当x ? 琪 琪 2a , ? 时,f '( x) 0. 桫

骣 琪 x琪 桫

1 , 2a 当x ?

骣 1 琪 0, 时,f '( x) 琪 桫 2a

0;

骣 1 骣 1 琪 , +? 上单调递增. 故f ( x) 在 琪 0, 上 单调递减 ,在 琪 2a 琪 2a 桫 桫 1 (II)原不等式等价于f ( x) - + e1- x > 0在上恒成立. x 1 1 一方面,令g ( x) = f ( x) - + e1- x = ax 2 - ln x - + e1- x - a, x x

) 上恒大于0即可. 又∵ g 1 = 0 ,故 g ' x 在 x =1 处必大于等于0. () ( )
只需 g x 在 x ? 1, ? ( ) (

20.解:设“选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为事件 A ,则

P( A) =

1 2 C3 ?C7

0 3 C3 ?C7

C

3 10

=

49 .??????????4 分 60

1. 1 1 + 2 - e1- x , g '(1) ? 0, 可得a ? 2 x x 1 1 2 1- x 1 2 1- x x3 + x - 2 1- x 另一方面,当a ? , F '( x) 2a + 2 - 3 + e ? 1 2 - 3 + e = +e 2 x x x x x3

令F ( x) = g '( x) = 2ax -

所以,选出的 3 名同学来自互不相同学院的概率为

49 .??????????5 分 60

Q x ? ( 1, ?

) 故x

3

x - 2 > 0,又e1- x > 0,故F ' ( x) 在a ?

1 时恒大于0. 2

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.

C k ×C 3- k P ( x = k ) = 4 3 6 (k = 0,1,2,3). C10
所以,随机变量 X 的分布列是 随机变量 X 的数学期望

1 \ 当a 澄 时,F ( x) 在x ( 1, +? ) 单调递增. 2 \ F ( x) > F (1) = 2a - 1 澄 0 ,故g ( x) 也在x (1, +?

) 单调递增.
1 . 2

X

0

1

2

3

g ( x) > g (1) = 0,即g ( x) 在x ? (1, コ) 上恒大于零.综上,a

P
3? 1 30 6 . 5

1 6

1 2

3 10

1 30

E ( X ) = 0?

1 6

1?

1 3 + 2? 2 10

1 2ax2 - 1 = ,x >0 x x ①当 a ? 0 时, 2ax 2 - 1 ? 0 , f ' x ? 0 , f x 在 0, +? 上单调递减. ) ( ) ( ( ) 21 【解析】( . I)由题意, f '( x) = 2ax -

4


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