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两条直线的关系(1)


课程名称 数学 教学单元 第四单元 教学章节 第八章第三节 教学目标 (1)掌握两条直线平行的条件;

任课教师

吴美捷

(2)能应用两条直线平行的条件解题.

教学重点 两条直线平行的条件 教学方法 讲解法、观察法 教
教学环节及 其时间安排 知 识 回 顾 5 分钟

教学难点 教学用具

两 条 直 线平 行的 判 断 及 应用

直尺





程 设计意图
*创设情境 兴趣导入

教 学 内 容
8.3 两条直线的位置关系(一)

【知识回顾】 我们知道,平面内两条直线的位置关系有三种: 平行、相交、重合.并且知道,两条直线都与第三 条直线相交时, “同位角相等” 是“这两条直线平行” 的充要条件. 【问题】 两条直线平行,它们的斜率之间存在什么联系 呢?

新 知 识 讲 解 【新知识】 15 分 钟 l l 例题讲解 10 当两条直线 1 、 2 的斜率都存在且都不为 0 时(如图 分钟

仔细观察, 分析讲解。 引导式启发

8-11(1) ) ,如果直线 平行于直线 ,那么这两条 学 生 得 出 结 直线与 x 轴相交的同位角相等,即直线的倾角相等, 果 故两条直线的斜率相等;反过来,如果直线的斜率 相等, 那么这两条直线的倾角相等, 即两条直线与 x

l1

l2

轴相交的同位角相等,故两直线平行.

(1)

图 8-11

当直线 l1 、 l2 的斜率都是 0 时(如图 8-11 (2) ) , 两条直线都与 x 轴平行,所以 l1 // l2 . 当两条直线 l1 、 l2 的斜率都不存在时(如图 8 - 11 (3) ) , 直线 l1 与直线 l2 都与 x 轴平行, 所以直线 l1 // 直线 l2 . 显然,当直线 l1 、l2 的斜率都存在但不相等或一条直 线的斜率存在而另一条直线的斜率不存在时,两条 直线相交. 由上面的讨论知,当直线 l1 、 l2 的斜率都存在时,设

-11

l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ,则 k1 ? k2 k1 ? k2 b1 ? b2
相交 平行

两个方程的 系数关系 两条直线的 位置关系

b1 ? b2
重合

当两条直线的斜率都存在时,就可以利用两条直线 的斜率及直线在 y 轴上的截距,来判断两直线的位 置关系. 判断两条直线平行的一般步骤是: (1) 判断两条直线的斜率是否存在,若都不存在,

则平行;若只有一个不存在,则相交. (2) 若两条直线的斜率都存在,将它们都化成斜 截式方程,若斜率不相等,则相交; 若斜率相等,比较两条直线的纵截距,相等则重合, *巩固知识 典型例题 不相等则平行. 例 判断下列各组直线的位置关系:

(1) l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 , l2 : 2x ? 4 y ? 0 ; (2)
l1 : y ? 4 x ?5 3 ,
l2 : 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 ;

(3) l1 : x ? 3 y ? 4 ? 0 , l2 : ? 2 x ? 6 y ? 8 ? 0 . 分析 分别将各直线的方程化成斜截式方程,通过

比较斜率 k 和直线在 y 轴上的截距 b . 判断两条直线 的位置关系. 解 (1)由 x ? 2 y ? 1 ? 0 得

1 1 y?? x? 2 2,
1 1 ? 故直线 l1 的斜率为 2 ,在 y 轴上的截距为 2 . ?

由 2x ? 4 y ? 0 得
y? 1 x 2 ,

1 故直线 的斜率为 2 ,在 y 轴上的截距为 0.
l2

因为

k1 ? k2

l l ,所以直线 1 与 2 相交.
4 4 x ?5 l1 3 知,故直线 的斜率为 3 ,在 y 轴

(2)由

y?

上的截距为 ?5 . 由 4x ? 3 y ? 1 ? 0 得
y? 4 1 x? 3 3,

4 1 故直线 的斜率为 3 ,在 y 轴上的截距为 3 .
l2

因为 k1 ? k2 ,且 b1 ? b2 所以直线 l1 与 l2 平行. (3)由 x ? 3 y ? 4 ? 0 得
1 4 y?? x? 3 3,
1 4 故直线 l1 的斜率为 3 ,在 y 轴上的截距为 3 . ?

由 ? 2x ? 6 y ? 8 ? 0 得
1 4 y?? x? 3 3
1 4 ? l 3 2 故直线 的斜率为 ,在 y 轴上的截距为 3 .

因为 k1 ? k2 且 b1 ? b2 ,所以直线 l1 与 l2 重合. 说明 例 1 (3)题中,将方程 ? 2 x ? 6 y ? 8 ? 0 两边同 时除以? 2,得到 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,可以看到,这两个方 程是同解方程, 因此它们表示的是同一条直线, 故 l1 与 l2 重合. 【注意】 如果求得两条直线的斜率相等,那么,还需要比较 它们在 y 轴的截距是否相等,才能确定两条直线是 平行还是重合. 【知识巩固】

练习 10 分钟 ( 提 问 ) 总 结 结 论 5 分钟

练习: 判断下列各组直线的位置关系: (1) l1 : x ? y ? 0 与 l2 : 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ; (2) l1 : y ? ? x ? 2 与 l2 : 2x ? 2 y ? 4 ? 0 ; (3)
l1 : 4 x ? 3 y

*运用知识 强化练习



l2 : y ?

4 x ?1 3 .

思考并回答下面的问题:

*理论升华

两条直线平行的条件? 结论:

整 体 建 构 及时了解学

当两条直线 l1 、l2 的斜率都存在且都不为 0 时,如果 生 知 识 掌 握 两条直线的斜率相等,那么直线 l1 平行于直线 l2 ; 当直线 l1 、l2 的斜率都是 0 时,两条直线都与 x 轴平 行,所以 l1 // l2 . 当两条直线 l1 、 l2 的斜率都不存在时,直线 l1 与直线 情况

l2 都与 x 轴平行,所以直线 l1 // 直线 l2 .
作业设计

书面作业:教材习题 8.3 组(选做)

A 组(必做) ;8.3

B

板书设计

标题写在黑板上方居中。黑板分三部分:靠左部分 是本节的知识点,中间部分及靠右部分是例题与练 习题(可擦) 。

教学反思

学生是否理解并掌握了知识点。

课程教学设计(教案)
备注:教学环节主要有导入主题、展开阐述、深入研讨、巩固加深、总结提高。


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