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竞赛课件7:曲线运动曲直谈


一、曲线运动的发生条件
合外力方向与速度方向不在一直线

切向力改变速度大小

法向力改变速度方向
二、曲线运动的特点
速度方向一定变化

Ft

v

F

Fn

三、求解曲线运动问题的运动学基本方法

/>矢量的合成与分解 微元法

?v 质点的瞬时加速度定义为 a ? lim ?t ?0 ?t 为求一般的做曲线运动质点在任一
?vt ?vn at ? lim an ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t
点的瞬时加速度,通常将其分解为 法向加速度an与切向加速度at. A
B
?
?vn

?

曲线运动的加速度

vB

?v

?vt

A点曲率圆半径 A点曲率圆

?v n

O

v A ?v ? ? limn ? v A ? AB a An AB ? ?t ?t0 ? ? ? ?t

2 ? v A ? AB v ? lim an ? ?t ? 0 ? ? ?t ?

?vt at ? lim ?t ?0 ?t

a

在离水面高度为h的岸边,有人用绳子拉船靠岸,若人收绳 的速率恒为v0,试求船在离岸边s距离处时的速度与加速度的大小各为多少?

专题7-例1

船及与船相系的绳端A的实际运动 v0 ? 是水平向左的,这可看作是绳之A 端一方面沿绳方向向“前方”滑 h 轮处“收短”,同时以滑轮为圆 v 心转动而成,即将实际速度v分解 s 成沿绳方向“收短”的分速度vn和 垂直于绳方向的转动分速度vt; 注意到绳子是不可伸长的,人收绳的速 vn ? 率v0也就是绳端A点沿绳方向移动速率vn: 由图示v、vt、vn矢量关系及位置的几何关系易得:

求船的速度 依据实际运动效果分解船的运动:

vn
A

? vt

v0

h vt ? v0 cot ? ? v0 s v0 ? 则v ? sin ?

h ?s v0 s
2 2

续解

在一小段时间Δt内,船头位置 从A移A′,绳绕滑轮转过一小 ? 角度Δθ→0: v0 v? ? sin ?? ? ?? ? ? 1 1 ? ?v ? v0 ? ? sin ?? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? ?
由加速度定义得: 由几何关系得:

求船的加速度

读题
??

v0
v t? v?
? ? ??

? 1 1 ? 2 v0 ? ? v0 cos ? ? sin ?? ? ?? ? sin ? ? ? ? ? ? lim ? 则a ? lim h ? ?? ?? ? 0 ?? ? 0 h tan ? tan ? v0 cos ? ?? ? ?? ? 2 cos ? ? ? ? sin 2 ? v0 v cos ? 2 ? 2 ? ? cot 3 ? lim 0 ?? ? 0 h tan ? ?? h ? sin ?? ? ?? ? ? sin ? 2

?v a ? lim ?t ?0 ?t

v0 vt ? A? v

A
h ? ?? cos ?

? h ? ? ?? ? ? cos ? ? ?t ? ?

vt

?? ? sin ?? ? ?? ? ? sin? 2 2 3 2 v0 h v0 ? h ? ? ? ?? ? ? h ?s? 3

sin ? ? sin ?? ? ?? ?

h ? ?? ? tan ? v0 cos ?

s

如图所示,质点从O点由静止开始沿半径为R的圆周做速率 均匀增大的运动,到达A点时质点的加速度与速度方向夹角为α,质点通过的弧s 所对的圆心角为β,试确定α与β间的关系.

专题7-例2

质点沿圆周做速度大小、方向均变化 的运动.每个瞬时的加速度均可分解为 切向加速度at与法向加速度an,前者反映 质点速率变化快慢,后者反映质点速度 2 方向变化快慢. 2 s vA , an ? 由题给条件 at ? 2 R t 而 v 2 ? a t 2 , s ? R? A t

O

s

β
?

A a

at vA

an

? ?

则a n ?


at2 t 2

an ? tan ? at

an at t 2 2st ? ? ? 2 at R R t R

2

? 2?

tan? ? 2?

如图所示,质点沿一圆周运动,过M点时速度大小为v, 作加速度矢量与圆相交成弦MA=l,试求此加速度的大小.

将M点加速度沿切向与法向进行分解!

M

?
A

v at

法向加速度

v an ? a sin ? ? R 2 v a? R sin ?

2
O

?l

a an

l 而 sin? = 2R

2v a? l

2

如图所示,曲柄OA长40 cm,以等角速度ω=0.5rad/s绕O 轴反时针方向转动.由于曲柄的A端推动水平板B而使滑杆C沿竖直 方向上升,求当曲柄与水平线夹角θ=30°时,滑杆C的加速度.

杆上A点加速度

a Ay

aA ? l ? ? 1 2 ? a A sin ? ? l ? ? 2

2
B ω aA O θ θ A aC aAy

C

杆A与B板接触点有相同沿竖直方向的加速度 !

此即滑杆C的加速度

aC ? a Ay

代入数据得滑杆C的加速度

aB ? 0.05 m/s

2

有一只狐狸以不变的速度v1沿着直线AB逃跑,一猎 犬以不变的速率v2追击,其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处,猎犬在D处,FD⊥AB,且FD=L,如图.试求此时猎犬的加速 度的大小. Fv ? ?v1 t 1 B 设Δt时间内,v2方向变化Δθ, Δθ→0时:A

v1 ? ?t tan ?? ? ? ?? L
由加速度定义,猎犬 加速度

v L ?? 2
A?
D
B?

?v v 2 ? ?? a ? lim ? lim ?t ? 0 ? t ?t ? 0 ?t

v2

?v
??

v2

v1 v 2 a? L

赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶,在0.1 s内 速度由10.0m/s加大到10.5 m/s,那么该赛车在半径为30 m的环形公路段行驶中, 要达到同样大的速度需要多少时间?当环形公路段的半径为多少时,赛车的速度 就不可能增大到超过10 m/s?(公路的路面是水平的)

直线加速时车的加速度 :

v0 ? a0 当轨道半径令法向加速度大小等于a0: Rm
900 t
无切向加速度,赛车速率不会增加

v an ? 2 2 R an ? at2 ? a0 vt ? v0 切向加速度 at ? 4 t 10.5 0.25 代入数据 ? 2 ? 25 t ? 0.15 2
在环形公路上,法向加速度

v t ? v0 2 a0 ? ? 5m/s t0
2 t

R ? 20 m

质点沿半径为R的圆周运动,初速度的大小为 v0.在运动过程中,点的切向加速度与法向加速度大小恒相等,求经 时间T质点的速度v. 设速率从v0增加,取运动过程中第i个极短时间Δt,由题意有

本题用微元法

则 T ? lim ? ?ti ? R lim ?
?ti ? 0 n ?? i ?1

vi ? vi ?1 v lim ? ?ti ?0 ?ti Rv v ?
2 i
n i

i ?1

? 1 1 ? ? R ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ?? ? 1 ? 1 ? ? ? ? R lim ? ? ? ? v0 v1 v1 v2 vn ?1 v ? n ?? ? vi ? i ?1 ? vi ?1
n

vi2

vi ? vi ? 1 ? R lim ? n ?? i ? 1 vi ? 1 vi
n

? 1 1? ? R? ? ? ? v0 v ?

若速率从v0减小, 有

Rv0 v? R?v T

Rv0 v? R ? v0T

如图所示,圆盘半径为R,以角速度ω绕盘心O转动,一质 点沿径向槽以恒定速度u自盘心向外运动,试求质点的加速度.

专题7-例3

本题讨论中介参考系以ω匀速转动时,质点加速度的构成 质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起 ? 转动两者之合运动. uA 设某一瞬时质点沿槽运动到与O相距r的位置A 经Δt时间,质点沿槽运动到与盘心O相距r+uΔt 的 O ′ 位置B ,盘转过了角度ωΔt,故质点实际应在位置B 在Δt时间内,质点沿y方向速度增量为 ?v y ? ? u cos ??t ? ? ? r ? u?t ? sin ??t ? ? u y

?v x ? ? u sin ??t ? ? ? r ? u?t ? cos ??t ? ? ? r ? ?
注意到Δt→0时

在Δt时间内,质点沿x方向速度增量为

?

?

B

cos ??t ? 1 sin ??t ? ??t 2 ? ?t ? ? 0

u A
??t

B?

? ? r ? u ? ?t ?

ωr

O

续解 x

a Ay

? u ? ? ? r ? u?t ? ??t ? ? u ? ? lim ? lim ? ? ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

?v y

?? r

读题 2

a Ax

? ? r ? u?t ? ? u??t ? ? r ?v x ? lim ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

牵连加速度

? 2? u
?1

aA ? ?

?? r ?

2

? 4u

2

方向与x成 ? ? tan
y

?r
2u

相对中介参考系的加速度 a相对 a牵连 ? ? 2 r 牵连加速度

?
A

a科 ? 2? u
由于参考系转动及质点对参考系有相对运动而 产生的,方向指向u沿ω方向转过90°的方向

? 2?u
aA

? 2r
O

x 试手 返回

如图所示,一等腰直角三角形OAB在其自身平面内 以等角速度ω绕顶点O转动,某一点M以等相对速度沿AB边运动,当 三角形转了一周时,M点走过了AB,如已知AB=b,试求M点在A时 的速度与加速度.

引入中介参照系-三角形OAB b? 质点对轴O的速度(相对速度) v MA ? 2? 三角形A点对轴的速度(牵连速度) A ? ? ? 2b v
质点对轴O的速度(绝对速度)vM 三速度关系为

求质点的速度

AM

? ? ? ? v M ? v A ? v MA

?

vA

vMA
O ω
45? B

vM

b2? 2 b? 2 2 ? 2b ? ? ? 2 ? 2b? ? cos 45? 2 2? 4?

vM

b? ? 8? 2 ? 4? ? 1 2?

方向与AB夹角? ? tan

?1

2? 2? ? 1

续解

求质点的加速度

规律

a M ? a MA ? a A ? a科
相对中介参考系的加速度 aMA ? 0
牵连加速度
a科 aM
ω
AM

a A ? ? 2 2b b? a科 ? 2? ? 2?
2

? aA
B

O

aM ?

?

? 2 2b

?

2

b? ? b? ? ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? 2 ? 2b ? 2? ? 2? ? cos 45? 2? ? ? ? ?

?

?

? 2b ? 2? 2 ? 2? ? 1 ?

方向与AO夹角 ? ? tan

?1

1 2? ? 1

?

曲线运动轨迹的曲率
?

曲线的弯曲程度用曲率描述
曲线上某点的曲率定义为

?? K ? lim ?t ? 0 ?s
圆周上各点曲率相同:

?s

?? 1 K? ? R ? ?? R

R

?

?

曲线上各点对应的半径为该点 曲率倒数1/K的圆称为曲率圆,该 圆圆心称曲线该点的曲率中心!

用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲率半径, 已知长半轴与短半轴为a和b.

专题7-例4

b ? ? cos 对椭圆长轴端的A点: a
?1

设质点在M平面内沿椭圆轨道以速率v运动,这个运动在M1平 面的一个分运动轨道恰成半径为b的圆,则两平面间夹角 v M A aA aB

v ?A 2 Bv v2 ? ? b A 对A点投影A1点: a A1 ? A1 aA1 aB a M b ? 1 B1 b 2 2 又 a A1 ? a A cos ? ? ? a A ? v cos ? ? v a 2 aB ? ? 椭圆短轴端B点的曲率半径由 ?B b ? ? a B

aA ?

v2

b

专题7-例5

? x ? v0 t ? 在? 1 2 中消去t得 ? y ? gt ? 2

用运动分解法求抛物线上某点的曲率半径. y 平抛规 设质点以速度v0做平抛运动 律 y 2 ? 2 px 2

v0 s ?2 h g
2

p

P
p 2

v 对轨迹上的P点: g cos ? ? ? O 2 2 2 式中 v ? v0 ? 2 gh v0 ? 2 gh
cos ? ? v0

y ? 2 p x2
2

O

x

s

??

2 v0

? 2 gh

g?

v0
2 v0

P
?

2 2 ? v0 v0 , ? ? g 2g ?

?

?

2 v0

? 2 gh gv0

?

3 2

? ?

33 ? 2x ? 2 2 gh ? 2? vp ? 1 ? 2 ? ? 0? v ? p0 ? ? ?

? 2 gh

?

v0

? ? ? ?

g g

?P ? 2 2 p
h

抛物线上 x=p/2点

g

v

vh ? 2 gh

试手

旋转半径为r、螺距为h的等距螺旋线,曲率半径处 处相同.试用运动学方法求解曲率半径ρ值. 设物体以v0做匀速率的圆周运动、同时以 vh沿垂直于v0方向做匀速直线运动,每前 进一个螺距,完成一次圆周,即有

2? r h ? v0 vh

设螺旋线上任一点的曲率半径为ρ
2 2 2 v0 v 0 ? v h ? 则 an ? ? r

vh v0
h r

? h v ?v ?? r ? ?1? 2 2 2 v0 4? r ?
2 0 2 h

2

? ?r ?

返回

受恒力作用 力与初速度垂直 轨迹为半支抛物线 匀变速曲线运动 水平方向匀速运动与竖直 方向自由落体运动的合成
◎物体在时刻t的位置
s ? v0 t x? h?
2

?s x

v0

s

?v

v0 vh

v
h

1 2 gt 2

? v0 t ?

gt ?1 ? ? ? gt 2 ? , 方向与s 成 ? s ? tan ?1 2v 0 ?2 ?

2

◎物体在时刻t的速度

v s ? v0 v?

vh ? gt
2

2 v0

? ? gt ? , 方向与v0成? v ? tan

?1

gt v0

沿斜面方向的匀加速运动与垂 直斜面方向的上抛运动之合成! 空中飞行时间 v 0 sin ? t?2 g cos ? 2v tan ? 0 ? g 距斜面最大高度

y
v0
H

x
g

?

v sin ? H? 2 g cos?
2 0 2

平抛初速大小不同,落在斜面上时速度方向相同!

如图所示,小冰球从高为H的光滑坡顶由静止开始 下滑,这个坡的末端形如水平跳板.当跳板高h为何值时,冰球飞过 的距离s最远?它等于多少? 物体从坡末端B水平飞出后做平抛运动:
2h S ? 2 g ? H ? h? ? ?2 g

A H

? H ? h ? .h

B
h

由基本不等式性质 H 当H ? h ? h, h ? 时 2

Smax ? H

两个质点以加速度g在均匀重力场中运动.开始时 两个质点位于同一点,且其中一个质点具有水平速度v1=3.0 m/s; 另一个质点水平速度v2=4.0 m/s,方向与前者相反.求当两个质点 的速度矢量相互垂直时,它们之间的距离.

当两质点速度互相垂直时, v1 速度矢量关系如图示:

?

?

v2

由矢量图得
v1 tan ? ? v2 cot ? ? tan ? ? 2 3
vy v1t v2t

vy

而v y ? v1 tan ? ? 2 3m/s

v1 tan ? t? ? 0.2 3 s g
7 3 ? m 5

则S ? ? v1 ? v2 ? t

如图,一仓库高25 m,宽40 m.今在仓库前l m、 高5 m的A处抛一石块,使石块抛过屋顶,问距离l为多大时,初速度 v0之值最小?(g取10 m/s2)

过B点时速度方向与水 平成45°时,可以最 小的vB越过40m仓库顶 ! h
? ?

vB
v0 B 45? A ? l S

H

2v B sin 45 由S ? ? v B cos 45 ? ? vB ? g 从A到B竖直方向分运动有 2 2 ? v0 sin? ? ? ? vB sin 45? ? ? 2 g ? H ? h?
从A到B水平方向分运动有 v0 sin ? ? vB sin 45? ? l ? vB cos 45 ? g

gS
l ? 20 3 ? 1 m

?

?

? 14.6 m

木排停泊在河上,到岸的距离L=60 m.流水速度 同离岸的距离成比例地增大,在岸边u0=0,而在木排边流速uL=2 m/s.小汽船离开岸驶向木排.船对水的速度v=7.2 km/h.问驾驶员 在起航前应该使船指向何方,使以后无须校正船速就能靠上与起航 处正对面的木排?这时船航行多少时间? 流水速度为 u ? kx v x uLV 船的合速度为 L 在岸边船的合速度大小 V0=v 方向如示 ! L v v u中 V u中 ? k ? 1m/s= uL ? kL ? 2m/s

V ? u ?v
2

中间时刻船合速度沿x方向,航线如 示
通过L的时间

2

30?

L 60 t? ? v cos ? 2cos 30?

V0=v

? 20 3 s

? 30? ?


如图所示,一个完全弹性小球自由下落,经5m碰到 斜面上的A点.同时斜面正以V=10m/s在水平面上做匀速运动,斜 面与水平面的倾角为45°.问在离A点多远处,小球将与斜面发生第 二次碰撞?

球以v=10 m/s入射,与斜面的接近速度

v球 ?? =10 2 m/s
球与斜面的分离速度

A

V
? v球 ??

? v球 ?? =10 2 m/s
球从与斜面分离到再次碰撞历时
v
45
?

g cos 45 5 2 注意到球沿斜面体方向初速度为零,加速度gsin45° 1 ? ? ? g sin45? ? ? t 2 ? 40 2 m 球再与斜面碰撞处距A AA 2

t?2

? v球 ??

?

=

20 2

v球 ??
g

s ? 4s

如图所示,一人站在一平滑的山坡上,山坡与水平面成角度 α.他与水平成θ仰角扔出的石子落在斜坡上距离为L,求其抛出时初速度v0及以此 大小初速度抛出的石子在斜坡上可以达到的最大距离.

石子沿垂直山坡方向做匀加速运动

1 L ? v0 cos ?? ? ? ? t ? g sin ? ? t 2 2

石子沿山坡方向做匀加速运动

y

t?2
2 0

v0 sin ?? ? ? ?

2v L? 2 g ? cos ?

g cos ? cos ? ? sin ?? ? ? ?

?
g

?
L

?

v0

x

?

得 v0 ?

2v0 设抛出石子的仰角为β L cos ? ? sin ? ? ? ? ? 2 ?? ? ? g ? cos ?

gL cos ? 2cos ? sin ?? ? ? ? 2

当2? ? ? ?

?
2

2 2 v0 v 0 ?max ? 2 ?sin ??2? ? ? ?? sin ? ? L ? 2 ? 1 ? sin ? ? ? g ? cos ?? g cos

小球以恒定速度v沿水平面运动,在A点坠落于半径为r和深为 H的竖直圆柱形井中.小球速度v与过A点井的直径成α,俯视如图.问v、H、r、 α之间关系如何,才能使小球与井壁和井底弹性碰撞后,能够从井里“跳出来” (不计摩擦)

小球在水平方向以v匀速运动,碰壁“反射” 小球在竖直方向做自由下 v 落或碰底上抛至速度为零
小球运动轨迹的俯视图如示 小球两次与壁相碰点间水平射程为 2r cos?
历时 r

?

2H 从进入至与底碰撞历时 t 2 ? g 为使小球与井壁和井底弹性碰撞后,能够从井里“跳出来”

2r cos ? t1 ? v

A

nt1 ? 2kt 2

r cos ? 2H 即n ?k v g

(n、k均为正整数)

如图,一位网球运动员用拍朝水平方向击球,第一只球落在 自己一方场地上后弹跳起来刚好擦网而过,落在对方场地A处.第二只球直接擦 网而过,也落在A处.球与地面的碰撞是完全弹性的,且空气阻力不计,试求运 动员击球高度为网高的多少倍?

设C点高度为h,由题意球1运动时间为 O

2H t1 ? 3 g
由题意球2运动时间为 t 2 ?

x

C

H

2H g

B

A

v1 t 2 ? ? v2 ? 3v1 ∵水平射程相同 v2 t 2 ? 2H 2 ? H ? h? 2 ? H ? h? ? ? x ? v2 ? v1 ? 2 ? g g g ? ? ? ?

2 H ?h ? H

3H h? 4

初速度为v0 的炮弹向空中射击,不考虑空气 阻力,试求出空间安全区域的边界的方程.
这个问题可抽象为一个求射出炮弹在空中可能轨 迹的包络线方程问题,包络线以外即为安全区域.
如图,在空间三维坐标中,设初速度方向与xy平面成θ z 角,由抛体运动规律可建立时间t的三个参数方程

1 2 z ? v0 sin? ? t ? gt 2
z? ?
2 2

x ? vx t y ? vyt

且x ? y ? ? v0 cos ? ?
2 2

2 2 t vz

v0 O

1 x ?y x ? y ? tan ? ? g 2 2 v0 cos 2 ?
2 2

?

vx x

vy y

1 x2 ? y2 1 x2 ? y2 x 2 ? y 2 ? tan ? ? g ? g tan 2 ? 2 2 2 2 v0 v0

续解



g ? x2 ? y2 ? 2v
2 0

tan 2 ? ? x 2 ? y 2 ? tan ? ?

g ? x2 ? y2 ? 2v
2 0

?z?0

读题

这是发射角θ各不相同的炮弹的空间轨迹方程
此方程式有解时,必满足 g ? x2 ? y2 ? ? g ? x2 ? y2 ? ? ? ? x2 ? y2 ? 4 ? ?? ? z? ? 0 2 2 2v 0 2v 0 ? ? ? 2 ? 2 包络线方程为 2g ? g ? x ? y ? ? 1? 2 ? ? ? z? ? 0 2 v0 ? 2v0 ? ? ? 整理该包络线方程为所求安全区域的边界方程

2v v x ?y ? z? ?0 g g
2 2

2 0

4 0 2

这里我们运用了曲线簇的包络线的数学模 型处理了一个有实际应用背景的物理问题

机车以等速率v0沿直线轨道行驶.机车车轮半径为r.如车轮 只滚动不滑动,将轮缘上的点M在轨道上的起点位置取为坐标原点,并将轨道取 为x轴,如图所示,求M点的运动轨迹方程以及轨迹的曲率半径,并求当M点所在 的车轮直径在水平位置时,该点的速度与加速度. y y

与轮心相同的匀速运动 对轮心的匀速圆周运动

M点的两个分运动——

2r
O

M
v0 t r

求轨迹方程:

A

x

M点的轨迹方程为
2

? v0 ? x ? v0 t ? r ? sin ? t ? ? r ? ? v0 ? y ? r ? r cos ? t ? ? r ?
2

O

2 ? ? ?1 r ? y r ? ? r cos ? x ? ? ?r ? y? 2 2 r 2 ? ? r ? ? v0 t ? x ? ? ? r ? y ? 续解

? v0 ? r ? sin ? t ? ? v0 t ? x ? r ? ? v0 ? r cos ? t ? ? r ? y ? r ?

v0 t

v0T

x

求轨迹的曲率半径ρ:
M点速度矢量与加速度矢量关系如示

读题
v0 M v0

?
at

vM aM
?

M点加速度即

r 2 v0 ? 法向分量 an ? ? ? sin ? r 2
2 vM

aM ?

2 v0

v2 ?

而v M ? 2v0 sin 2 2 ?? ? ? 2v0 sin 2 ? ? ? ? r ?? ? 4r sin ? 2 2 v0 ? sin 续解 2

?

求当M点所在的车轮直径在水平位置时, 该点的速度与加速度:

vM ?

v0 sin 45
?

v0 M

v0

vM aM
at 90?

?
a?

2v0
2 v0

方向与x轴成45°

v2 ?

r

方向+x


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