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2016年四川省南充市高考数学三模试卷(文科)(解析版)


2016 年四川省南充市高考数学三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项。 1.满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合 A 的个数( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.i 是虚数单位,则复数 i(1+i)的虚部是( ) A.1B.﹣1C.iD.﹣i 3.函数 f(x)=cos(2x﹣ A. B.πC.2πD.4π ) )的最小正周期是( )

4.某几何体的三视图如图, (其中侧视图中圆弧是半圆) ,则该几何体的表面积为(

A.92+14πB.100+10πC.90+12πD.92+10π 5.执行如图所示的程序框图,输出 k 的值为(



A.10B.11C.12D.13 6.若 tanα=2,则 A.0B. C.1D.
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的值为(



7.若

是两个非零向量,则(

)2=



的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 8. n 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面, 已知 m, 则下列命题中的假命题是 ( A.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥βB.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α C.若 m⊥β,α⊥β,则 m∥αD.若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β 9.已知 a 为实数,函数 平行的切线,则 a 的取值范围是( A. C. D. ) B.



,若函数 f(x)的图象在某点处存在与 x 轴

10. B 的横坐标恰好是关于 x 的方程 x2+px+q=0 q∈R) 若抛物线 y= x2 上的两点 A, (常数 p, 的两个实根,则直线 AB 的方程是( ) A.qx+3y+p=0B.qx﹣3y+p=0C.px+3y+q=0D.px﹣3y+q=0 二、填空题:本题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分。 11.lg0.01+( )﹣1 的值为 . .

12.已知平面向量 =(3,1) , =(x,﹣3) , ∥ ,则 x 等于 13.已知函数 f(x)满足 f(a+b)=f(a)?f(b) ,f(1)=2.则 + +…+ = .

14.直线 x+7y﹣5=0 分圆 x2+y2=1 所成的两部分弧长之差的绝对值为 . 15.若以曲线 y=f(x)上的任意一点 M(x,y)为切点作切线 L,曲线上总存在异于 M 的 y1) 点N (x1, , 使得过点 N 可以作切线 L1, 且 L∥L1, 则称曲线 y=f (x) 具有“可平行性”. 下 面有四条曲线: ①y=x3﹣x ②y=x+ ③y=sinx ④y=(x﹣2)2+lnx . (写出所有满足条件的曲线编号)

其中具有可平行性的曲线为

三、简答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.在锐角△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,向量 ,且 (1)求角 B 的大小; (2)若△ ABC 面积为 ,3ac=25﹣b2,求 a,c 的值. .

17.某市甲,乙两医院各有 3 名医生报名参加医疗队赴灾区,其中甲医院 2 男 1 女,乙医院 1 男 2 女.
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(Ⅰ)若从甲医院和乙医院报名的医生中任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名医生性别相同的概率; (Ⅱ)若从报名的 6 名医生中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名医生来自同 一医院的概率. 18.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,△ PAC 和△ PBC 是边长为 的等边三角形,AB=2,O 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证:AB⊥平面 POC; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣ABC 的体积.

19.已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f′(x)=6x﹣2,数列{an}的 前 n 项和为 Sn,点(n,Sn) (n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 20.已知椭圆 C: + 是数列{bn}的前 n 项和,求 Tn 的范围. =1(a>b>0)的离心率为 ,且过点 M(﹣2,0) .

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l:x=ky+1 与椭圆 C 相交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,连接 MA,MB 交直线 x=4 于 P,Q 两点,yP,yQ 分别为 P、Q 的纵坐标,求证: 21.已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2﹣x+2. (1)若函数 g(x)的单调区间为(﹣ ,1) ,求函数 g(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,求函数 g(x)过点 P(1,1)的切线方程; (3)若对任意的 x∈(0,+∞) ,不等式 2f(x)≤g′(x)+2(其中 g′(x)是 g(x)的导函 数)恒成立,求实数 a 的取值范围. + = + .

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2016 年四川省南充市高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项。 1.满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合 A 的个数( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】并集及其运算. 【分析】由题意得 1,3 和 5 可能是集合 B 的元素,把集合 B 所有的情况写出来. 【解答】解:∵{1,3}∪A={1,3,5}, ∴1 和 2 和 3 可能是集合 B 的元素, 则集合 B 可能是:{5},{1,5},{3,5},{1,5,3}共 4 个. 故选 D. 2.i 是虚数单位,则复数 i(1+i)的虚部是( A.1B.﹣1C.iD.﹣i )

【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 【分析】把复数化简后根据复数虚部定义可得答案. 【解答】解:i(1+i)=i﹣1, 所以复数的虚部为 1, 故选 A.

3.函数 f(x)=cos(2x﹣ A. B.πC.2πD.4π

)的最小正周期是(



【考点】三角函数的周期性及其求法. 【分析】由题意得 ω=2,再代入复合三角函数的周期公式 【解答】解:根据复合三角函数的周期公式 函数 f(x)=cos(2x﹣ 故选 B. 4.某几何体的三视图如图, (其中侧视图中圆弧是半圆) ,则该几何体的表面积为( ) )的最小正周期是 π, 得, 求解.

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A.92+14πB.100+10πC.90+12πD.92+10π 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据三视图的直观图,确定组合体的结构进行求解即可. 【解答】解:由三视图可知,该组合体上部分是半个圆柱,底面圆的半径 r=2,圆柱的高给 5. 底面是个长方体,长方体的长,宽,高,分别为 5,4,4, 则半圆柱的底面积 S=2× =4π,半个圆柱的曲侧面积 S= =10π,

长方体五个面的面积和为 2×4×4+2×5×4+5×4=92, 则该几何体的表面积 S=4π+10π+92=92+14π, 故选:A 5.执行如图所示的程序框图,输出 k 的值为( )

A.10B.11C.12D.13 【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 S=﹣lg11 时,不满足 条件 S>﹣1,退出循环,输出 k 的值为 11. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 S=0,k=1 满足条件 S>﹣1,S=﹣lg3,k=3 满足条件 S>﹣1,S=﹣lg5,k=5 满足条件 S>﹣1,S=﹣lg7,k=7
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满足条件 S>﹣1,S=﹣lg9,k=9 满足条件 S>﹣1,S=﹣lg11,k=11 不满足条件 S>﹣1,退出循环,输出 k 的值为 11. 故选:B.

6.若 tanα=2,则 A.0B. C.1D.

的值为(



【考点】同角三角函数间的基本关系;弦切互化. 【分析】根据齐次分式的意义将分子分母同时除以 cosα(cosα≠0)直接可得答案. 【解答】解:利用齐次分式的意义将分子分母同时除以 cosα(cosα≠0)得,

故选 B. )2=

7.若

是两个非零向量,则(



的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】 由 ,知 是两个非零向量, 由 ( =0,所以(
2 = )

+2 +2 =

=

, 知 ,故(

=0, 即 )2=

; 是

)2=

的充分且必要条件. 【解答】解:∵ ( ∴ ∴ ∴( 若 则 ∴( ∴ 故( )2= =0, . )2= , =0, )2= ?( )2= +2 )2= 是 = . 的充分且必要条件.
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是两个非零向量, +2 = ,

?





故选 C. 8. n 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面, 已知 m, 则下列命题中的假命题是 ( A.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥βB.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α C.若 m⊥β,α⊥β,则 m∥αD.若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β )

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】根据垂直于同一直线的两个平面互相平行,可以判断 A 的真假;根据线面垂直的 α⊥β, 判定方法, 我们可以判断 B 的对错; 若 m⊥β, 则 m∥α 或 m?α, 所以不正确; 若 m⊥α, m∥β,则可得 α 内直线垂直于 β,利用平面与平面垂直的判定定理,可以判断 D 的真假. 【解答】解:因为垂直于同一直线的两个平面互相平行,所以 A 正确; 因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直,则另一条一定和这个平面垂直,所以 B 正 确; 若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α 或 m?α,所以不正确; 若 m⊥α,m∥β,则可得 α 内直线垂直于 β,利用平面与平面垂直的判定定理可得 α⊥β, 所以 D 正确.

9.已知 a 为实数,函数 平行的切线,则 a 的取值范围是( A. C. D. ) B.

,若函数 f(x)的图象在某点处存在与 x 轴

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】若函数 f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线,则 f'(x)=0 有实数解,从而可求 a 的取值范围. 【解答】解:∵f(x)=x3+ax+ x+ a,∴f′(x)=3x2+2ax+ , ∵函数 f(x)的图象上存在与 x 轴平行的切线, ∴f'(x)=0 有实数解,∴△=4a2﹣4×3× ≥0,∴a2≥ ,解得 a≤﹣ 因此,实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣ 故选 D. 10. B 的横坐标恰好是关于 x 的方程 x2+px+q=0 q∈R) 若抛物线 y= x2 上的两点 A, (常数 p, 的两个实根,则直线 AB 的方程是( ) A.qx+3y+p=0B.qx﹣3y+p=0C.px+3y+q=0D.px﹣3y+q=0 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】分别设出 A 和 B 的坐标,根据抛物线上两点的横坐标都是方程的解得到方程有两 个不等的实数根,即△ >0,列出 p 与 q 的关系式,在这个关系式成立时,分别把 A 和 B 的 坐标代入抛物线解析式和方程中,分别消去平方项,根据两等式的特点即可得到直线 AB 的 方程.
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或a



]∪[

,+∞) ,

【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,且方程有两个不同的解得到:△ =p2﹣4q>0, 把 A 的坐标代入抛物线解析式和已知的方程得:x12=3y1①,x12+px1+q=0②, ①﹣②整理得:px1+3y1+q=0③; 同理把 B 的坐标代入抛物线解析式和已知的方程,化简可得:px2+3y2+q=0④, ③④表示经过 A 和 B 的方程,所以直线 AB 的方程是:px+3y+q=0(△ =p2﹣4q>0) . 故答案选:C. 二、填空题:本题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分。 11.lg0.01+( )﹣1 的值为 0 . 【考点】对数的运算性质. 【分析】直接利用对数运算法则以及指数幂的运算法则化简求解即可. 【解答】解:lg0.01+( )﹣1=﹣2+2=0. 故答案为:0. 12.已知平面向量 =(3,1) , =(x,﹣3) , ∥ ,则 x 等于 ﹣9 . 【考点】平行向量与共线向量;向量的减法及其几何意义. 【分析】由向量平行的充要条件可得:3×(﹣3)﹣x=0,解之即可. 【解答】解:∵ =(3,1) , =(x,﹣3) , ∥ , ∴3×(﹣3)﹣x=0,解得 x=﹣9 故答案为:﹣9

13.已知函数 f(x)满足 f(a+b)=f(a)?f(b) ,f(1)=2.则 + +…+ = 8064 .

【考点】抽象函数及其应用;函数的值. 【分析】利用已知条件求出 的值,然后化简所求的表达式求解即可.

【解答】解:函数 f(x)满足 f(a+b)=f(a)?f(b) , 2 当 a=b 时,可得 f(2a)=f (a) , 令 b=1,a=n,可得 f(n+1)=f(n)?f(1) , 即: 则 = + +…+ =2, + +…+

=2[f(1)+f(1)+f(1)+…+f(1)]=2×2016×2 =8064. 故答案为:8064. 14.直线 x+7y﹣5=0 分圆 x2+y2=1 所成的两部分弧长之差的绝对值为 π .
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【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】求出圆心(0,0)到直线 x+7y﹣5=0 的距离 d,求出弦长,根据弦长和半径的关系 求出弦所对的圆心角,即得两段弧长之差. 【解答】解:解:圆 x2+y2=1 的圆心(0,0)到直线 x+7y﹣5=0 的距离为: d= 故弦长为 2 故弦所对的圆心角为 = , =2 = ,

,两段弧长之比为 3:1, =π.

两段弧长之差的绝对值是 故答案为:π.

15.若以曲线 y=f(x)上的任意一点 M(x,y)为切点作切线 L,曲线上总存在异于 M 的 y1) 点N (x1, , 使得过点 N 可以作切线 L1, 且 L∥L1, 则称曲线 y=f (x) 具有“可平行性”. 下 面有四条曲线: ①y=x3﹣x ②y=x+ ③y=sinx ④y=(x﹣2)2+lnx

其中具有可平行性的曲线为 ②③ . (写出所有满足条件的曲线编号) 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】根据导数的几何意义,将定义转化为:“方程 y′=a(a 是导数值)至少有两个根”, 利用:y′=﹣1 时,x 的取值唯一判断①不符合;对于②和③分别求出导数列出方程化简后 判断;对于④求出导数化简后,再由△ =0 时解唯一判断④不符合. 【解答】解:由题意得,曲线具有可平行性的条件是 方程 y′=a(a 是导数值)至少有两个根. ①由 y′=3x2﹣1 知,当 y′=﹣1 时,x 的取值唯一,只有 0,不符合题意; ②由 y′=1﹣ =a(x≠0 且 a≠1) ,即 =1﹣a,此方程有两不同的个根,符合题意;

③由 y′=cosx 和三角函数的周期性知,cosx=a(﹣1≤a≤1)的解有无穷多个,符合题意; ④由 y'=2x﹣4+ (x>0) ,令 2x﹣4+ =a,则有 2x2﹣(4+a)x+1=0,当△ =0 时解唯一, 不符合题意, 故答案为:②③. 三、简答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.在锐角△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,向量 ,且 (1)求角 B 的大小; (2)若△ ABC 面积为 ,3ac=25﹣b2,求 a,c 的值. .

【考点】解三角形;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【分析】 (1)利用向量的数量积运算,根据向量垂直建立方程,即可求得角 B 的大小;
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(2)利用余弦定理,三角形的面积公式,可得 a,c 的关系,解方程组,即可求得结论. 【解答】解: (1)∵ = = ∴ ∵ ,∴ ∴ … ∵△ABC 为锐角三角形,∴cosB≠0… ∴ ,… ∵ ∴ .… =

(2)由 b2=a2+c2﹣2accosB,得 b2=a2+c2﹣ac,… 代入 3ac=25﹣b2 得 3ac=25﹣a2﹣c2+ac,得 a+c=5.… ∵ 由题设 联立 解得 , ,或 .… ,得 ac=6… …

17.某市甲,乙两医院各有 3 名医生报名参加医疗队赴灾区,其中甲医院 2 男 1 女,乙医院 1 男 2 女. (Ⅰ)若从甲医院和乙医院报名的医生中任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名医生性别相同的概率; (Ⅱ)若从报名的 6 名医生中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名医生来自同 一医院的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 (Ⅰ)设甲医院 2 男 1 女的编号为 A,B,1,乙医院 1 男 2 女的编号为 C,2,3, 列举出所有的基本事件找到满足条件的基本,根据概率公式计算即可; (Ⅱ)列举出所有的基本事件找到满足条件的基本,根据概率公式计算即可. 【解答】解: (Ⅰ)设甲医院 2 男 1 女的编号为 A,B,1,乙医院 1 男 2 女的编号为 C,2, 3, 从甲医院和乙医院报名的医生中任选 1 名,所有可能的结果为: (A,C) 、 (A,2) 、 (A,3) , (B,C) 、 (B,2) 、 (B,3) 、 (1,C) 、 (1,2) 、 (1,3)共计 9 个. 选出的 2 名医生性别相同的结果有: (A,C) 、 (B,C) 、 (1,2) 、 (1,3)共计 4 个, 故选出的 2 名医生性别相同的概率 P= (Ⅱ)从报名的 6 名医生中任选 2 名: (A,B) , (A,1) , (A,C) 、 (A,2) 、 (A,3) ,
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(B,1) , (B,C) 、 (B,2) 、 (B,3) 、 (1,C) 、 (1,2) 、 (1,3) , (C,2) , (C,3) , (2,3) 共 15 个,其中选出的 2 名医生来自同一医院的有(A,B) , (A,1) , (B,1) , (1,C) 、 (1, 2) 、 (1,3)共 6 种, 故选出的 2 名医生来自同一医院的概率 P= =

18.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,△ PAC 和△ PBC 是边长为 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证:AB⊥平面 POC; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣ABC 的体积.

的等边三角形,AB=2,O

【考点】直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】 (Ⅰ)欲证 AB⊥平面 POC,由题设及图形易得 OC⊥AB,PO⊥AB,再由线面垂直 的判定定理得出结论即可. (Ⅱ)欲求三棱锥 P﹣ABC 的体积,由(I)的证明知,可将棱锥的体积变为以 OA,OB 为 高,以三角形 POC 为底的两个棱锥的体积和,由于 AB 长度已知,求出三角形 POC 的面积 即可. 【解答】解: (Ⅰ)证明∵ , 又 O 是 AB 的中点,AB=2 ∴OC⊥AB,PO⊥AB, 又 PO∩OC=0 故 AB⊥平面 POC (Ⅱ)∵ , 又 O 是 AB 的中点,AB=2 ∴OC⊥AB,OC=1,同理 PO=1. 又 , 2 ∴PC =OC2+PO2=2 ∴∠POC=90°,即 PO⊥OC 由图形知

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19.已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f′(x)=6x﹣2,数列{an}的 前 n 项和为 Sn,点(n,Sn) (n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 是数列{bn}的前 n 项和,求 Tn 的范围.

【考点】数列的求和;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)设这二次函数 f(x)=ax2+bx(a≠0) ,根据导函数求得 f(x)的表达式,再根 * 据点(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上,求出 an 的递推关系式, (2)把(1)题中 an 的递推关系式代入 bn,根据裂项相消法求得 Tn,解得求取值范围. 【解答】解: (1)设二次函数 f(x)=ax2+bx,则 f'(x)=2ax+b,由于 f'(x)=6x﹣2,所 以 a=3,b=﹣2,所以 f(x)=3x2﹣2x. 又点 均在函数 y=f(x)的图象上,所以 .

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=6n﹣5,当 n=1 时,a1=S1=1,也适合 an=6n﹣5. 所以 an=6n﹣5(n∈N*) . (2)由(1)得 .





∴ <Tn< .

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点 M(﹣2,0) .

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l:x=ky+1 与椭圆 C 相交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,连接 MA,MB 交直线 x=4 于 P,Q 两点,yP,yQ 分别为 P、Q 的纵坐标,求证: 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)由椭圆的离心率为 标准方程. ,且过点 M(﹣2,0) ,列出方程组,能求出椭圆 C 的 + = + .

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(Ⅱ)由题意得 MA 的方程为 y=

(x+2) ,从而 yP=

,同理,

,由

,得(k2+2)y2+2ky﹣3=0,由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆性质,结

合已知条件能证明

+

=

+



【解答】解: (Ⅰ)∵椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点 M(﹣2,0) ,



,解得 a=2,c=

,b=



∴椭圆 C 的标准方程为

=1.

证明: (Ⅱ)由题意得 MA 的方程为 y=

(x+2) ,

∴yP=

,同理,





,得(k2+2)y2+2ky﹣3=0,

△ =4k2+12(k2+2)>0, ,y1y2= ,



+

=

=

=



+

=

=

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=

=

=





+

=

+



21.已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2﹣x+2. (1)若函数 g(x)的单调区间为(﹣ ,1) ,求函数 g(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,求函数 g(x)过点 P(1,1)的切线方程; (3)若对任意的 x∈(0,+∞) ,不等式 2f(x)≤g′(x)+2(其中 g′(x)是 g(x)的导函 数)恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求出 g(x)的导数,由题意可得 g′(x)<0 的解集为(﹣ ,1) ,即为﹣ , 1 为方程 3x2+2ax﹣1=0 的两根,运用韦达定理,可得 a=﹣1,进而得到所求 g(x)的解析 式; (2)设过 P(1,1)的 g(x)的切线的切点为(s,s3﹣s2﹣s+2) ,求出导数,求得切线的 斜率,以及切线的方程,代入切点坐标,解方程可得 s=0 或 1,进而得到所求切线的方程; (3)由题意可得 2xlnx≤3x2+2ax+1 对 x∈(0,+∞)恒成立,即有 2a> 对

x∈(0,+∞)恒成立.设 h(x)=

,求出导数,单调区间,可得极大值,

且为最大值,即可得到 a 的范围. 【解答】解: (1)g(x)=x3+ax2﹣x+2 的导数为 g′(x)=3x2+2ax﹣1, 由题意可得函数 g(x)的单调减区间为(﹣ ,1) , 即有 g′(x)<0 的解集为(﹣ ,1) , 即为﹣ ,1 为方程 3x2+2ax﹣1=0 的两根, 可得﹣ ×1=﹣ ,﹣ +1=﹣ ,

解得 a=﹣1,g(x)=x3﹣x2﹣x+2; (2)设过 P(1,1)的 g(x)的切线的切点为(s,s3﹣s2﹣s+2) , 2 2 由 g′(x)=3x ﹣2x﹣1,可得切线的斜率为 3s ﹣2s﹣1,
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则切线的方程为 y﹣1=(3s2﹣2s﹣1) (x﹣1) , 3 2 2 代入切点的坐标,可得 s ﹣s ﹣s+1=(3s ﹣2s﹣1) (s﹣1) , 2 化简为 s(s﹣1) =0,解得 s=0 或 1, 即有切线的斜率为﹣1 或 0, 则切线的方程为 y=1 或 y=2﹣x; (3)任意的 x∈(0,+∞) ,不等式 2f(x)≤g′(x)+2 恒成立, 2 即为 2xlnx≤3x +2ax+1 对 x∈(0,+∞)恒成立, 即有 2a> 对 x∈(0,+∞)恒成立.

设 h(x)=

,h′(x)=

=

=﹣

, (x>0) ,

可得当 x>1 时,h′(x)<0,h(x)递减; 当 0<x<1 时,h′(x)>0,h(x)递增. 即有 h(x)在 x=1 处取得极大值,且为最大值﹣4, 故只要 2a≥﹣4,解得 a≥﹣2. 则 a 的取值范围是[﹣2,+∞) .

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2016 年 7 月 14 日

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