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广东省湛江一中2015届高考数学“临门一脚”试卷(文科)


广东省湛江一中 2015 届高考数学“临门一脚”试卷(文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x ﹣4>0},B={x|x﹣2<0},则(?RA)∩B 等于( A. (﹣∞,2) B. C. (﹣2,2) D. ①f(x)的图象关于直线 ②f(x)的图象关于

点 ③f(x)的图象向左平移 对称 对称 个单位,得到一个偶函数的图象 上为增函数. C.②④ ) D.①③④
2

)

④f(x)的最小正周期为 π,且在 A.③ B.①③

8.函数 f(x)=xsinx 的图象大致是(

A.

B.

C.

D. 9.某几何体的三视图如图所示,且正视图、侧视图都是矩形,则该几何体的体积是( )

A.16

B.12

C.8

D.6

10.称 d(

)=| ﹣ |为两个向量 、 间的“距离”.若向量 、 满足:①| |=1;② ≠ ; ) ) D. ( )⊥(

③对任意的 t∈R,恒有 d( ,t )≥d( , ) ,则( A. B. ⊥( ) C. ⊥(

二、 填空题: 本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. (一) 必做题 (11-13 题) 2 11.不等式 x ﹣3x﹣10<0 的解集为__________. 12.圆心在 x 轴上,半径长是 4,且与直线 x=5 相切的圆的方程是__________. 13.书架上有语文、数学、英语书若干本,它们的数量比依次是 2:4:5,现用分层抽样的方 法从书架上抽取一个样本,若抽出的语文书为 10 本,则应抽出的英语书__________本.

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) (坐标系与参数方程选做题) 14.在极坐标系中,直线 ρsin(θ+ )=2 的倾斜角为__________.

(几何证明选讲选做题) 15.如图,O 是半圆的圆心,直径 AB=2 AC=4,则 PB=__________.

,PB 是圆的一条切线,割线 PA 与半圆交于点 C,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知 b=3,求: (Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ)cos(B﹣C)的值. 17.空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中, 呈现出足够的浓度, 达到足够的时间, 并因此危害了人体的舒适、 健康和福利或环境的现象. 全 3 世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:μg/m )为 0~50 时,空气质量级 别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为 50~100 时,空气质量级别为二级,空 ? =2,cosB= ,

气质量状况属于良;当空气污染指数为 100~150 时,空气质量级别为三级,空气质量状况属 于轻度污染;当空气污染指数为 150~200 时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于中度 污染;当空气污染指数为 200~300 时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染; 当空气污染指数为 300 以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染.1 月某日 某省 x 个监测点数据统计如下: 空气污染指数 (单位:μg/m ) (50,100] (100,150] (150,200] 监测点个数 15 40 y 10 (Ⅰ)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 x,y 的值,并完成频率分布直方图; (Ⅱ)若 A 市共有 5 个监测点,其中有 3 个监测点为轻度污染,2 个监测点为良.从中任意选 取 2 个监测点,事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少?
3

18.如图 5,已知△ BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB= 是 AC、AD 的中点. (1)求证:平面 BEF⊥平面 ABC; (2)设平面 BEF∩平面 BCD=l,求证 CD∥l; (3)求四棱锥 B﹣CDFE 的体积 V.

,AB⊥平面 BCD,E、F 分别

19.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,对任意的 n∈N ,都有 Sn=(m+1)﹣man(m 为正常数) (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)数列{bn}满足:b1=2a1,bn= (n≥2,n∈N+) ,求数列{bn}的通项公式;

*

(3)在满足(2)的条件下,求数列{

}的前 n 项和 Tn.

20.已知抛物线 C:x =2py(p>0) ,抛物线上一点 Q(m, )到焦点的距离为 1. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程 * (Ⅱ)设过点 M(0,2)的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,且 A 点的横坐标为 n(n∈N ) (ⅰ)记△ AOB 的面积为 f(n) ,求 f(n)的表达式 (ⅱ)探究是否存在不同的点 A,使对应不同的△ AOB 的面积相等?若存在,求点 A 点的坐 标;若不存在,请说明理由. 21.已知函数 f(x)=lnx+x ﹣ax,a∈R. (Ⅰ)若 a=3,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)有两个极值点 x1、x2,记过点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) )的直线的斜 率为 k,问是否存在 a,使 k= ﹣ ?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.
2

2

广东省湛江一中 2015 届高考数学“临门一脚”试卷(文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 2 1.已知集合 A={x|x ﹣4>0},B={x|x﹣2<0},则(?RA)∩B 等于( ) A. (﹣∞,2) B. C. (﹣2,2) D. , ∴(?UA)∩B= 故选:B. 点评:本题考查复数的模的求法,复数的代数形式的混合运算,考查计算能力. 4.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知 a1a5=25,则 a3 等于( ) A.5 B.25 C.﹣25 D.﹣5 或 5 考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:直接由已知结合等差数列的性质求得 a3. 解答: 解:在等比数列{an}中,由 a1a5=25,得 ,即 a3=±5.

∵an>0,∴a3=5. 故选:A. 点评:本题考查了等差数列的通项公式,考查等差数列的性质,是基础题.
α

5.若幂函数 f(x)=mx 的图象经过点 A( , ) ,则它在点 A 处的切线方程是( A.2x﹣y=0 B.2x+y=0 C.4x﹣4y+1=0 D.4x+4y+1=0

)

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题:计算题;导数的概念及应用;直线与圆. 分析:由幂函数的定义,可得 m=1,运用代入法,可得 f(x)的解析式,再求导数,和切线 的斜率,运用点斜式方程,即可得到切线方程. α 解答: 解:因为 f(x)=mx 为幂函数,故 m=1, 又图象经过点 A( , ) ,则有 = 则 α= , 即有 f(x)= 则 f′(x)= . , ,

则 f(x)在点 A 处的切线斜率为 ?

=1,

则有切线方程为 y﹣ =x﹣ ,即为 4x﹣4y+1=0. 故选:C. 点评:本题考查幂函数的定义,主要考查导数的运用:求切线方程,正确求导和运用点斜式方 程是解题的关键. 6.由直线 x﹣y+1=0,x+y﹣5=0 和 x﹣1=0 所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表 示为( )

A.

B.

C.

D.

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出对应的平面区域,根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论. 解答: 解:作出对应的平面区域,则三角形区域在直线 x=1 的右侧,∴x≥1, 在 x﹣y+1=0 的上方,则 x﹣y+1≤0, 在 x+y﹣5=0 的下方,则 x+y﹣5≤0,

则用不等式组表示为



故选:A.

点评:本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域,利用数形结合是解决本题的关键.

7.设函数 ①f(x)的图象关于直线 ②f(x)的图象关于点 ③f(x)的图象向左平移

,则下列结论正确的是( 对称 对称 个单位,得到一个偶函数的图象 上为增函数. C.②④

)

④f(x)的最小正周期为 π,且在 A.③ B.①③

D.①③④

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性; 正弦函数的对称性. 专题:计算题. 分析:研究函数 的性质,可利用代入法,将 2x+ 看做整体,若它

的取值为正弦函数的对称轴或对称中心横坐标, 则其对应的 x 值即为所研究函数的对称轴或对 称中心横坐标,同理 2x+ 所在区间为正弦函数的单调增区间,则其对应的 x 所在区间为所

研究函数的单调增区间, 由此判断①②④的正误, 利用函数图象的平移变换理论和诱导公式、 偶函数的定义可证明③正确 解答: 解:①∵2× ②∵2× + = , ( + =π,x=π 不是正弦函数的对称轴,故①错误; ,0)不是正弦函数的对称中心,故②错误;

③f(x)的图象向左平移 故③正确; ④由 x∈ ,得 2x+

个单位,得到 y=sin=sin(2x+

)=cos2x,y=cos2x 为偶函数,

∈,∵不是正弦函数的单调递增区间,故④错误;

故选 A 点评:本题主要考查了 y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,函数的对称轴、对称中心、单 调区间的求法,函数图象的平移变换和函数奇偶性的定 义,整体代入的思想方法 8.函数 f(x)=xsinx 的图象大致是( )

A.

B.

C.

D. 考点:函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用函数的奇偶性排除选项,然后利用特殊值判断即可. 解答: 解:函数 f(x)=xsinx 满足 f(﹣x)=﹣xsin(﹣x)=xsinx=f(x) ,函数的偶函数, 排除 B、C, 因为 x∈(π,2π)时,sinx<0,此时 f(x)<0,所以排除 D, 故选:A. 点评:本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及函数值的应用,考查分析问题解决问题 的能力. 9.某几何体的三视图如图所示,且正视图、侧视图都是矩形,则该几何体的体积是( )

A.16

B.12

C.8

D.6

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的五棱柱(或看成两个三棱柱 的组合体) ,求出底面面积,代入柱体体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的五棱柱, (或看成两 个三棱柱的组合体) , 柱体的底面面积 S= ×3×2=3, 柱体的高 h=4, 故柱体的体积 V=Sh=12, 故选:B 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 解决本题的关键是得到该几何体的形状.

10.称 d(

)=| ﹣ |为两个向量 、 间的“距离”.若向量 、 满足:①| |=1;② ≠ ; ) ) D. ( )⊥(

③对任意的 t∈R,恒有 d( ,t )≥d( , ) ,则( A. B. ⊥( ) C. ⊥(

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:先作向量 设 得到 ,连接 AC,则有 . ,则 ,t ∥ , ,从而 ,容易判断向量 t 的终点在直线 OB 上,并 .从而根据向量距离的定义,可说明 AB⊥OB,从而

解答: 解:如图, 作

∴向量 t 的终点在直线 OB 上,设其终点为 C,则: 根据向量距离的定义,对任意 t 都有 d( ∴AB⊥OB; ∴ 故选:C. . )= ;

点评:考查有向线段可表示向量,以及对向量距离的理解,向量减法的几何意义,共线向量基 本定理. 二、 填空题: 本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. (一) 必做题 (1 1-13 题) 2 11.不等式 x ﹣3x﹣10<0 的解集为{x|﹣2<x<5}. 考点:一元二次不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 2 分析:把不等式 x ﹣3x﹣10<0 化为(x﹣5) (x+2)<0,求出解集即可. 2 解答: 解:不等式 x ﹣3 x﹣10<0 可化为 (x﹣5) (x+2)<0, 解得﹣2<x<5; ∴该不等式的解集为{x|﹣2<x<5}. 故答案为:{x|﹣2<x<5}. 点评:本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题目. 12.圆心在 x 轴上,半径长是 4,且与直线 x=5 相切的圆的方程是(x﹣1) +y =16 和(x﹣9) 2 2 +y =16. 考点:圆的标准方程. 专题:直线与圆. 分析:设圆心的坐标为(a,0) ,则圆心到直线 x=5 的距离等于半径,即|a﹣5|=4,求得 a 的值, 可得所求的圆的方程. 解答: 解:设圆心的坐标为(a,0) ,则圆心到直线 x=5 的距离等于半径, 即|a﹣5|=4,求得 a=1,或 a=9, 2 2 2 2 故所求的圆的方程为(x﹣1) +y =16 和(x﹣9) +y =16, 2 2 2 2 故答案为: (x﹣1) +y =16 和(x﹣9) +y =16. 点评:本题主要考查直线和圆的位置关系,求圆的标准方程,属于中档题. 13.书架上有语文、数学、英语书若干本,它们的数量比依次是 2:4:5,现用分层抽样的方 法从书架上抽取一个样本,若抽出的语文书为 10 本,则应抽出的英语书 25 本. 考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:直接利用抽样比,统筹兼顾即可. 解答: 解:书架上有语文、数学、英语书若干本,它们的数量比依次是 2:4:5,现用分层 抽样的方法从书架上抽取一个样本,若抽出的语文书为 10 本,应抽出的英语书 x 本. 可得 ,x=25.
2 2

故答案为:25. 点评:本题考查分层抽样的应用,利用抽样比求解是解题的关键. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) (坐标系与参数方程选做题)

14.在极坐标系中,直线 ρsin(θ+

)=2 的倾斜角为



考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析:化直线的极坐标方程为直角坐标方程,求出直线的斜率,则倾斜角可求. 解答: 解:由 ρsin(θ+ 即 故答案为: )=2,得 )=2 的斜率为﹣1,倾斜角为 . ,

,∴直线 ρsin(θ+ .

点评:本题考查简单曲线的极坐标方程,考查了极坐标与直角坐标的互化,是基础题. (几何证明选讲选做题) 15.如图,O 是半圆的圆心,直径 AB=2 AC=4,则 PB=2 .

,PB 是圆的一条切线,割线 PA 与半圆交于点 C,

考点:圆的切线的性质定理的证明. 专题:计算 题;压轴题. 分析:根据直径所对的圆周角是直角,得到∠ACB=90°,根据勾股定理做出 BC 的长,根据两 个三角形相似,得到对应边成比例,代入已知的量,得到要求的线段的长. 解答: 解:连接 BC,则∠ACB=90°,∠ABP=90°, ∴BC= △ ABC∽△APB, ∴ ∴ 故答案为:2 点评:本题考查三角形相似的性质,考查直径所对的圆周角是直角,考查勾股定理,考查圆的 切线的性质,考查利用几何知识解决实际问题,是一个比较简单的综合题目. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知 b=3,求: (Ⅰ)a 和 c 的值; ? =2,cosB= , , =2

(Ⅱ)cos(B﹣C)的值. 考点:余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数. 专题:三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则化简 ? =2,将 cosB 的值代入求出 ac=6,再
2 2

利用余弦定理列出关系式, 将 b, cosB 以及 ac 的值代入得到 a +c =13, 联立即可求出 ac 的值; (Ⅱ)由 cosB 的值,利用同角三角函数间基本关系求出 sinB 的值,由 c,b,sinB,利用正弦 定理求出 sinC 的值,进而求出 cosC 的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将各 自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ? =2,cosB= ,

∴c?acosB=2,即 ac=6①, ∵b=3, 2 2 2 2 2 ∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB,即 9=a +c ﹣4, 2 2 ∴a +c =13②, 联立①②得:a=3,c=2; (Ⅱ)在△ ABC 中,sinB= 由正弦定理 = = = = , ,

得:sinC= sinB= ×

∵a=b>c,∴C 为锐角, ∴cosC= = = ,

则 cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC= × +

×

=



点评: 此题考查了正弦、 余弦定理, 平面向量的数量积运算, 以及同角三角函数间的基本关系, 熟练掌握定理是解本题的关键. 17.空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中, 呈现出足够的浓度, 达到足够的时间, 并因此危害了人体的舒适、 健康和福利或环境的现象. 全 3 世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:μg/m )为 0~50 时,空气质量级 别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为 50~100 时,空气质量级别为二级,空 气质量状况属于良;当空气污染指数为 100~150 时,空气质量级别为三级,空气质量状况属 于轻度污染;当空气污染指数为 150~200 时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于中度 污染;当空气污染指数为 200~300 时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染; 当空气污染指数为 300 以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染.1 月某日 某省 x 个监测点数据统计如下: 空气污染指数 3 (单位:μg/m ) (50,100] (100,150] (150,200] 监测点个数 15 40 y 10 (Ⅰ)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 x,y 的值,并完成频率分布直方图;

(Ⅱ)若 A 市共有 5 个监测点,其中有 3 个监测点为轻度污染,2 个监测点为良.从中任意选 取 2 个监测点,事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少?

考点:频率分布直方图;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据频率分布直方图,利用频率= ,求出 x、y 的值,计算直方图中各

小进行对应的高,补全频率分布直方图; (Ⅱ)利用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可. 解答: 解: (Ⅰ)根据频率分布直方图,得; 0.003×50= ,∴x=100;

又∵15+40+y+10=100, ∴y=35;… ∴直方图中(50,100]对应矩形的高为 (100,150]对应矩形的高为 (150,200]对应矩形的高为 补全频率分布直方图,如图所示; … (Ⅱ)设 A 市空气质量状况属于轻度污染 3 个监测点为 1,2,3, 空气质量状况属于良的 2 个监测点为 4,5, 从中任取 2 个的基本事件分别为 (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5)共 10 种,… 其中事件 A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为 (1,4) , (1,5) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5)共 7 种,… =0.007, =0.002; =0.008,

所以事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是 P(A)=

.…

点评:本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了用列举法求古典概型的概率问题,是 基础题目. 18.如图 5,已知△ BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB= 是 AC、AD 的中点. (1)求证:平面 BEF⊥平面 ABC; (2)设平面 BEF∩平面 BCD=l,求证 CD∥l; (3)求四棱锥 B﹣CDFE 的体积 V. ,AB⊥平面 BCD,E、F 分别

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)利用线面垂直的判定与性质定理可证:CD⊥平面 ABC,再利用三角形的中位线定 理可得:EF∥CD.再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定即可证明; (2)由 CD∥EF,利用线面平行的判定定理可得:CD∥平面 BEF,再利用线面平行的性质定 理即可证明; (3)解法 1:由(1)知 EF∥CD,利用三角形相似的性质可得: ,得到 ,

求出 VB﹣ACD 即可得出. 解法 2:取 BD 中点 G,连接 FC 和 FG,则 FG∥AB,利用线面垂直的性质可得:FG⊥平面 BCD,由(1)知 EF⊥平面 ABC,利用 V=VF﹣EBC+VF﹣BCD 即可得出; 解答: (1)证明:∵AB⊥平面 BCD,CD?平面 BCD, ∴AB⊥CD,

又 BC⊥CD,AB∩BC=B, ∴CD⊥平面 ABC, 又 E、F 分别是 AC、AD 的中点, ∴EF∥CD. ∴EF⊥平面 ABC 又 EF?平面 BEF, ∴平面 BEF⊥平面 ABC. (2)证明:∵CD∥EF,CD?平面 BEF,EF?平面 BEF, ∴CD∥平面 BEF, 又 CD?平面 BCD,且平面 BEF∩平面 BCD=l, ∴CD∥l. (2)解法 1:由(1)知 EF∥CD, ∴△AEF~△ ACD. ∴ ,







=



解法 2:取 BD 中点 G,连接 FC 和 FG,则 FG∥AB, ∵AB⊥平面 BCD,∴FG⊥平面 BCD, 由(1)知 EF⊥平面 ABC, ∴V=VF﹣EBC+VF﹣BCD= = .

点评:本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三角形相似 的性质三棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,考查了空间想象能力,属于中档 题. 19.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,对任意的 n∈N ,都有 Sn=(m+1)﹣man(m 为正常数) (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)数列{bn}满足:b1=2a1,bn= (n≥2,n∈N+) ,求数列{bn}的通项公式;
*

(3)在满足(2)的条件下,求数列{

}的前 n 项和 Tn.

考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知得 a1=1, (1+m)an=man﹣1,从而 = , (n≥2) ,由此能证明数列{an}

是首项为 1,公比为

的等比数列.

(2)由 b1=2a1=2,bn=

(n≥2,n∈N+) ,得 , (n∈N ) .
*

=1, (n≥2) ,从而{

}是首项

为 ,公差为 1 的等差数列,由此能求出 bn=
n

(3)由 bn=

,得

=2 (2n﹣1) ,由此利用错位相减法能求出数列{

}的前 n 项

和 Tn. 解答: (1)证明:当 n=1 时,a1=S1=(m+1)﹣ma1,解得 a1=1, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=man﹣1﹣man,即(1+m)an=man﹣1, ∵m 为常数,且 m>0,∴ = , (n≥2) ,

∴数列{an}是首项为 1,公比为

的等比数列.

(2)解:由(1)得,b1=2a1=2,bn= ∴ ∴{ ,即 =1, (n≥2) ,

(n≥2,n∈N+) ,

}是首项为 ,公差为 1 的等差数列,



=
*



∴bn=

, (n∈N ) .
n

(3)解:由(2)知,bn=
2 3 n

,则

=2 (2n﹣1) ,

∴Tn=2×1+2 ×3+2 ×5+…+2 ×(2n﹣1) ,① 2 3 4 n+1 则 2Tn=2 ×1+2 ×3+2 ×5+…+2 ×(2n﹣1) ,② n+1 3 4 n+1 ②﹣①得,Tn=2 ×(2n﹣1)﹣2﹣2 ﹣2 ﹣…﹣2 , 故 Tn=2
n+1

×

=2

n+1

×(2n﹣3)+6.

点评:本题考查等比数列的证明,考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法, 解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用.
2

20.已知抛物线 C:x =2py(p>0) ,抛物线上一点 Q(m, )到焦点的距离为 1. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程 (Ⅱ)设过点 M(0,2)的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,且 A 点的横坐标为 n(n∈N ) (ⅰ)记△ AOB 的面积为 f(n) ,求 f(n)的表达式 (ⅱ)探究是否存在不同的点 A,使对应不同的△ AOB 的面积相等?若存在,求点 A 点的坐 标;若不存在,请说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用 Q(m, )到焦点的距离为 1,计算即得结论; (Ⅱ) (ⅰ)通过 A 点横坐标及直线过点 M 可得直线 l 斜率的表达式,将其代入 S△ AOB,计 算即可; (ⅱ)设存在不同的点 Am(m, =f(n) ,计算即可. 解答: 解: (Ⅰ)依题意得|QF|=yQ+ = + =1,解得 p=1, ∴抛物线 C 的方程为 x =2y; (Ⅱ) (ⅰ)∵直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点,
2 *

) ,An(n,

) (m≠n,m、n∈N ) ,利用 f(m)

*

∴直线 l 的斜率存在, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 l 的方程为:y=kx+2, 联立方程组
2

,化简得:x ﹣2kx﹣4=0,
2

2

此时△ =(﹣2k) ﹣4×1×(﹣4)=4(k +4)>0, 由韦达定理,得:x1+x2 =2k,x1x2=﹣4, ∴S△ AOB= = ×2 = =2 (*) ) , |OM|?|x1﹣x2|

又∵A 点横坐标为 n,∴点 A 坐标为 A(n,

又直线过点 M(0,2) ,故 k= 将上式代入(*)式,可得: f(n)=2

= ﹣ ,

=2

=2 =n+ (n∈N ) ; (ⅱ)结论:当 A 点坐标为(1, )或(4,8)时,对应不同的△ AOB 的面积相等. 理由如下: 设存在不同的点 Am(m, ) ,An(n, ) (m≠n,m、n∈N ) ,
* *

使对应不同的△ AOB 的面积相等,则 f(m)=f(n) ,即 m+ =n+ , 化简得:m﹣n= ﹣ = 又∵m≠n,即 m﹣n≠0, ∴1= ,即 mn=4,解得 m=1,n=4 或 m=4,n=1, ,

此时 A 点坐标为(1, ) , (4,8) .

点评:本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知 识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程的思想、数形结合思 想、化归与转化思想,注意解题方法的积累,属于中档题. 21.已知函数 f(x)=lnx+x ﹣ax,a∈R. (Ⅰ)若 a=3,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)有两个极值点 x1、x2,记过点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) )的直线的斜 率为 k,问是否存在 a,使 k= ﹣ ?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.
2

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) ,当 a=3 时, 由此利用导数性质能求出 f(x)的单调区间. (Ⅱ) 令 u(x)=2x ﹣ax+1,则△ =a ﹣8,由此利用分类
2 2



讨论思想和导数性质能求出是否存在 a,使 k= ﹣ . 解答: 解: (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) , 当 a=3 时, 当 当 或 x>1,时,f'(x)>0,… 时,f'(x)<0, , …

∴f(x) 的单调递增区间为 单调递减区间为

(Ⅱ) 令 u(x)=2x ﹣ax+ 1,则△ =a ﹣8, 1°当△ <0,即 时,f'(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时 f(x)无极值;… 2°当△ =0,即 时,f'(x)≥0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增, 此时 f(x)无极值… 3°当△ >0,即 或 时,
2 2

方程 u(x)=0 有两个实数根 若 ,两个根 x1<x2<0, 此时,则当 x∈(0,+∞)时,f'(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时 f(x)无极值… 若 ,u(x)=0 的两个根 x1>0,x2>0,不妨设 x1<x2, 则当 x∈(0,x1)和(x2,+∞)时,f'(x)>0, f(x)在区间(0,x1)和(x2,+∞)单调递增, 当 x∈(x1,x2)时,f'(x)<0, f(x)在区间(x1,x2)上单调递减, 则 f(x)在 x=x1 处取得极大值,在 x=x2 处取得极小值, 且 ,

=

=



…(*)…





,则上式等价于:

令 g(t)=(t+1)lnt﹣t+1 则





∴ m(t)在区间(0,1)上单调递减,且 m(t)>m(1)=1>0, 即 g'(t)>0 在区间(0,1)恒成立, ∴g(t)在区间(0,1)上单调递增,且 g(t)<g(1)=0, ∴对?t∈(0,1) ,函数 g(t)没有零点,

即方程 即(*)式无解,

在 t∈(0,1)上没有实根,…

∴不存在实数 a,使得



点评:本题重点考查利用导数研究函数的性质,利用函 数的性质解决不等式、方程问题.重 点考查学生的代数推理论证能力,分类讨论等综合解题能力,解题时要认真审题,注意导数性 质的合理运用.


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