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第49届IMO试题解答


2008年第9期

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第4 9届IMO试题解答
1.已知日是锐角△ABC的垂心,以边 BC的中点为圆心、过点Ⅳ的圆与直线BC交 于A。、A:两点;以边cA的中点为圆心、过点 开的且灯n+1,n+2,…,2,l是关的状态的 所有不同的操作序列的个数; 设肘是k次操作后使得灯l,2,…,n是 开的且灯n+l,n+2,…,2n是关的,但是灯 n+1,rt+2,…,2n始终没有被开过的所有 不同的操作序列的个数.


日的圆与直线必交于B。、日2两点;以边彻
的中点为圆心、过点日的圆与直线AB交于 Cl、C2两点.证明:A1、A2、Bl、B2、Cl、C2六 点共圆. (俄罗斯提供)

2.(1)设实数算、Y、彳都不等于1,满足 xyz=1.求证:
,2


求比值若.

(法国提供)

6.在凸四边形ABCD中,BA≠BC.圆0.1。
.,2 ,2

南+南+石希引;
(2)证明:存在无穷多组三元有理数组 (奥地利提供) 3.证明:存在无穷多个正整数n,使得 (立陶宛提供) 4.求所有的函数 厂:(0,+o。)+(0,+∞),

和叫:分别是△ABC和△ADC的内切圆.假

设存在一个圆cc,与射线尉相切(切点不在
线段嬲上),与射线BC相切(切点不在线段
BC上),且与直线AD和CD都相切.证明: 圆∞。、092的两条外公切线的交点在圆叫上. (俄罗斯提供)

(算,Y,z),戈、Y、g都不等于1,且1xyz=1,使得 上述不等式等号成立.

n2+l有一个大于2凡+√2凡的质因子.

参考答案
1.如图l,口。、co分别是边c4、他的中
点.设以日。为圆心、过点日的圆与以C。为 圆心、过点Ⅳ的圆的另一个交点为4
7.

满足对所有的正实数W、z、Y、Z,妣=yz,有

!』!丝2 2:±!』!兰2 2:一竺二±£
“Y2)+以石2)
一Y2+z2‘

(韩国

提供)

c。|’

5.设n和k是正整数,k≥n,且k—n是 一个偶数.2n盏灯依次编号为1,2,…,2n, 每一盏灯可以“开”和“关”.开始时,所有的灯 都是关的.对这些灯可进行操作:每一次操作 只改变其中一盏灯的开关状态(即开变成关, 关变成开).考虑长度为k的操作序列,序列 中的第i项就是第i次操作时被改变开关状 态的那盏灯的编号. 设J7、r是k次操作后使得灯l,2,…,n是

‘刃
7支 编 |


图1

芝:汝

则A 7日.LC。Bo.

万方数据

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中等数学

又因为B。、co分别是边翻、A曰的中 点,所以,c。风∥Bc.从而,A 7日j-日c.
于是,点A 7在朋上. 由切割线定理得
ACl’AC2=AA 7·A日=ABI‘AB2.

从而,命题得证. 3.设m(m≥20)是整数,P是(m!)2+1 的一个质因子.则P>mI>20.

令整数n满足0<n<娶,且
凡曼±m!(rood P).

故B。、曰2、C.、C2四点共圆. 分别作B。B:、C。C:的垂直平分线,设其 交点为D.则0是四边形日。占:c。c:的外接 圆圆心,也是△ABC的外心,且
OBI=OB2:OCI=OC2.

于是,0<n<P—n<P,且 凡2兰一1(mod P). ①

故(p一2n)2=P2—4m+4n2羞一4(删p).
贝Jl(p一2n)2≥p一4,
P≥2n+ ̄/P一4

同理,OAl-OA2=OBl=OB2. 因此,A。、A:、B。、曰:、C。、C2六点都是在 以D为圆心、OA,为半径的圆上. 故A.、A2、B.、B2、CI、C2六点共圆.

≥2n+以忑Z雨
>2n+/磊.
由式①、②知命题成立.




.2.(1)镐=口,南=6,刍=‘c.则


X—J

',一l

Z—I

4.令训=石=Y=Z=1.则

口 石2

i1,Y







(八1))2=∥1). 所以,八1)=1.
叉寸任意t>0,令训=t,z=1,Y=z=√t.

F1∥。i1‘

由xyz=1 jⅡbc:(o一1)(b二1)(c—1)
=争n+b+c—l=ab+6c+c0

则锄铲=等.
去分母整理得





2+b2+c2

=(o+b+C)2—2(曲+6c+ca) =(口+b+C)2—2(口+b+c—1) =(口+b+c一1)2+l

(以t)一1)(f(t)一t)=0.
所以,对每个t>0,

厂(£)=t或八t)=÷.
若存在b、C∈(0,+∞),使得



j南+南+南扎
有理数组(戈,Y,z)互不相同.此时,
Z2 V2 彳2

≥1

(2冷(x,y,z)=(一南加以等)
(后∈N+).则(z,Y,三)是三元有理数组,菇、Y、 z都不等于l,且对于不同的正整数k,三元

以b)≠b,f(c)≠÷,
则由结论①知b、c都不等于1,且

八6)三吉,以c)=c·
令tt7=b,x=c,Y=z= ̄/be.则



研+商+丽 2孺研+孺丽+‘(k2-k;1)2
k2

而2百’
萨+c
62+c2

(k—k2)2.

(k—1)2

。—1矿i了r叫·
后4—2k3+3后2—2k+1


故肚)=揣.一
因为,(6c)=be或/(6c)=瓦1.

万方数据

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若厂(6c)=bc,则


…,n的个数全为奇数,且n+1,n+2,…,2乃 的个数全为偶数. 于是,对任意的i∈{1,2,…,n},设b中 有bi个i.则a必须且只需满足:对任意的i ∈{1,2,…,n},b中是i的bi个元所在位上 在a中都是i或者n+i,且i有奇数个(自然 n+i就有偶数个). 由引理及乘法原理,b恰可对应

c+b2

c3

-∞2可矿了孬。
得b4c=c,b=1,矛盾.

若厂(∽=瓦1,则
l c+b2
c3

瓦2页矿i孬。
得b2c4=b2,C=1,矛盾.

所以,或者八石)=名,z∈(0,+∞);


TT2q~:2¨n
?-上

或者.厂(石)=土,算∈(0,+∞).


个不同的a,而每个A中的元a均有曰中一 元(唯一的一个元)b(它是把a的各位变成 它除以n的最小正余数)可以对应它. 从而,必有14I=2““IBI,即
N=2‘一“M.

经检验,以z)=算,石∈(0,+∞)和f(x)
=三,z∈(0,+00)均满足要求.


5.(张瑞祥的解答)所求的比值为2¨“. 引理设t是正整数,如果一个t元0,1 数组(al,a2,…,a。)(aI,a2,…,a。∈{O,1}) 其中共有奇数个0,那么,称其为“好的”.则 好数组共有2。1个. 引理的证明:事实上,对于相同的a., a:,…,a川,在a。取O,1时得到的两个数组 中的奇偶性不同,则恰好有一个为好的.于 是,可以将总共2‘个不同的可能数组两两配 对,每对数组仅有a。不同,则每对恰好有一 个好数组,故好数组占总体的一半,即2“1 个. 引理得证. 称k次操作后灯l,2,…,n是开的且灯 n+1,n+2,…。2n是关的状态的操作序列的 全体记为A类列;k次操作后灯l,2,…,/7,是

又易知M≠O(因为操作列(1,2,…,/l,, /'t,…,n)∈B),则

鱼一1^一。
M一‘



6.(牟晓生的解答)先证两个引理. 引理1 设四边形ABCD是凸四边形,

圆∞与射线鲋(不包括线段删)相切,与射
线BC(不包括线段BC)相切,且与直线AD 和CD都相切.则
AB+AD=CB+CD.

引理1的证明:如 图2,设直线AB、BC、 CD、DA分别与圆叫切 于点P、Q、R、S.则

茂B+心
=CB+CD

开的且灯n+1,n+2,…,2n是关的,但灯
n+1,n+2,…,2n始终没有被操作过的操 作序列的全体记为日类列. 对于任意一个日类列b,将有如下性质 的A类列a全部与它对应:“a的各元素在 模n的意义下对应相同”(例如,n=2,k=4 时,b=(2,2,2,1)可对应如a=(4,4,2,1), a=(2,2,2,1),a=(2,4,4,1)等).那么,由 于b是B类列,其中1,2,…,n的个数必定 全为奇数,而口是A类列,又要求a中1,2,

甘仰+(AD+DS)
=CB+(CD+DR

铮AB+AS
=CB+CR

图2

§佃+AP=CB+CQ
§BP=BQ.
从而,引理1得证. 引理2设00。、002、00,的半径两 两不等.则它们的外位似中心共线.

万方数据

中等数学

引理2的证明:设X,是O 0.与o 02的 外位似中心 (如图3),X: 是00,与003 的外位似中 心,X。是002 与O 0,的外 位似中心,^是00;(i=l,2,3)的半径. 由位似的性质知
0I X3 X3 02
7l 72

所以,△ABC的关于顶点曰的旁切圆∞3
与边AC的切点亦为V. 因此,叫:与叫,内切于点V,即V为叫z 与∞,的外位似中心. 设K是∞,与cc,:的外位似中心(即两条

图3

外公切线的交点),由引理2知,K、y、曰三点 共线. 完全类似可得K、D、U三点共线.

因为鲋≠BC,所以,U≠y(否则,由AV =CU知,U=y是边AC的中点,与肼≠BC
矛盾.). 因此,直线BV与DU不重合. 故K:8vN
DU.

这里的0。Xs表示有向线段0。X,.

同理,呈些:一一r2,—03—X2:一_r3.
Xl 03
73

X2 0l

7I

于是,只需证明直线BV与DU的交点在 圆叫上. 作圆∞的一条平行于AC的切线f(靠近 边AC的那条),设f与圆叫切于点r. 下证:曰、y、丁三点共线. 如图5,设Z 与射线BA、BC分

故些.些.一03X2
X302 X103 X20I

=(一三)(一罢)(一r3,,)=一·.
由梅涅劳斯定理知,xI-、x:、X,三点共 线. 如图4,设U、y分别是圆cU。、∞:与』4C 的切点.

别交于点A。、c。.

则圆叫是△尉。C。
的关于顶点B的 旁切圆,r是其与 A。C.的切点.而圆 叫、是△BAC关于

点B的旁切圆,圆
OJ3与AC切于点
图5

y.由A。c.//AC知,△BAC与△鲋。Cl以B 为中心位似,而y、r分别是对应旁切圆与对
应边的切点,因此,y、r是这一对位似形中 的对应点.而日是位似中心,故B、y、r三点 共线. 同理可证D、u、r三点共线. 从而,命题得证. (熊斌冯志刚提供)

则Ay=—AD—+A厂C-CD=丁AC+TAD-CD


图4

T+—丁
AC CB—AB

=塑等半(由引理1)=CU.
万方数据


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