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【新课标版】2014届高三下学期第四次二轮复习综合验收卷 数学文试题 Word版含答案


2013-2014 学年度下学期高三二轮复习

数学(文)验收试题(4) 【新课标】
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 U=R,集合 A={x|-l≤x≤3},集合 B=|x|log2x<2},则 A ? B= A.{x|1≤x≤3} B.{x|-1≤x≤3} C.{x| 0<x≤3} D.{x|-1≤x<0} 2 2.若复数 z=(a +2a -3)+(a-l)i 为纯虚数(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为 A.-3 B.-3 或 1 C.3 或-1 D.1 3.若 P : ?

? x ? 1, ? x ? y ? 2, q:? 则 p 是 q 成立的 ? y ? 1, ? x. y ? 1,
B.必要非充分条件 D.既不充分又不必要条件

A.充分非必要条件 C.充分必要条件

x2 4.椭圆 ? y2 ? 1 4
A.2 B.4 C. 2 3 D. 4 3

5.球 O 的表面积为 8? ,则球 O 的体积为 A. ?

4 3

B.

32 ? 3

C.

16 2 ? 3

D.

8 2 ? 3

6.已知向量 a,b 满足|a|=2, | b|=l,且(a+b)⊥b,则 a 与 b 的夹角为 A.

? 3
2 2

B.

2? 3

C.

? 2
2 2

D.

? 6

7.已知点 A(0,1) ,B(2,3) ,则以线段 AB 为直径的圆的方程为 A. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 C. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 8
2 2

B. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 D. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 8
2 2

8.如图给出的是计算 1 ?

1 1 1 的值的一个程序框图,则 ? ?? 3 5 2013

判断框内应填人的条件是 A.i≤1006 B.i> 1006 C.i≤1007 D.i> 1007 9.下列关于回归分析的说法中错误的是

A.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的 模型比较合适 B.残差点所在带状区域宽度越窄,说明模型拟合精度越高 C.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 D.甲、乙两个模型的 R2 分别约为 0.98 和 0.80,则模型乙的拟合效果更好 10 已知 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0) 将 f ( x) 的图象向右平移 于 y 轴对称,若将 f ( x) 的图象向左平移

? 个单位,得到的函数图象也关于 x 轴对称,则 4

? 个单位,得到的函数图象关 4

f ( x) 的解析式可以为
A. f ( x) =sinx B. f ( x) =sin2x C. f ( x) = sin

1 x 2

D. f ( x) =2sinx

11.一个棱长为 2 的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图 所示,则所得几何体的体积是

17 3 20 B. 3
A. C.

10 ? 2 6 3

D.7 12.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过其左焦点 F1 作 x 轴的垂线交双曲线于 A,B 两点, a 2 b2

若双曲线右顶点在以 AB 为直径 的圆内,则双曲线离心率的取值范围为 A. (2,+∞) B. (1,2) C. (

3 ,+∞) 2

D. (1,

3 ) 2

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答。 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a11=3a6-4,则则 Sn= 。

? x ? y ? 2 ? 0, ? 2 2 14.已知点(x,y)满足约束条件 ?3 x ? y ? 2 ? 0, 则 x ? y 的最小值是 ? x ? 3, ?



15.已知函数 f ( x) ? 1og a ( x ? b) ,设集合 p ? ? , 2 ? , Q ? ??2, 2? ,从集合 P 和 Q 中随机地 各取一个分数分别作为 a 和 b, 则函数 f ( x) 在区间 ( 0, ?? ) 上为增函数的概率为 16. 若 a>l, 设函数 f (x) =ax+x -4 的零点为 m, 函数 g (x) = logax+x-4 的零点为 n, 则 的最小值为 。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中角, A, B, C 所对的边分别为 a,b,c, 向量 m = (cos 且m ⊥n . ( I)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 CA ·CB ? 。

?1 ?2

? ?

1 1 ? m n

??

? C , 1) ,n = (一 l,sin (A+B) ) , 2

??

?

??? ? ??? ?

3 ,且 a+b =4,求 c. 2

18.(本小题满分 12 分) 为了解某校高三 1200 名学生的视力情况,随机抽查了该校 100 名高三掌生检查视力.检 查结果分为八个组,下面的频率分布直方图(部分数据已不慎被丢失)从左到右依次为 第一组、第二组、……、第八组,其中后五组的频数和为 62. (I)设第三组的频率为 a,求 a 的值; (Ⅱ)若后五组的频数是公比为

1 的等比数列,求这 100 名学生视力的中位数; 2

(Ⅲ)若视力在 5.0 以上为良好,在(Ⅱ)的条件下,求该校全体高三学生中视力良好的人 数

19. (本小题满分 12 分) 几何体 EFG —ABCD 的面 ABCD,ADGE,DCFG 均为矩形,AD=DC=l,AE= 2 。 (I)求证:EF⊥平面 GDB; (Ⅱ)求三棱锥 D—BEF 的体积。

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 E:y2= 4x,点 P(2,O) .如图所示,直线 l1 .过点 P 且与抛物线 E 交于 A(xl, y1) 、B( x2,y2)两点,直线 l 2 过点 P 且与抛物线 E 交于 C(x3, y3) 、D(x4,y4)两点.过 点 P 作 x 轴的垂线,与线段 AC 和 BD 分别交于点 M、N. (I)求 y1y2 的值; (Ⅱ)求证: |PM|=| PN|.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=1nx-a(x-l) ,a∈R (I)若曲线 y=f(x)在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y=2x,求实数 a 的值; ; (Ⅱ)若 x>0 时,不等式 f ( x) ? 0 恒成立, (i)求实数 a 的值; (ii)x>0 时,比较 a ( x ? ) 与 21nx 的大小。

1 x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时 请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙O 的直径, C、 E 为⊙O 上的点, CA 平分∠BAE, CF⊥AB, F 是垂足, CD⊥AE, 交 AE 延长线于 D. (I)求证:DC 是⊙O 的切线;

(Ⅱ)求证:AF.FB=DE.DA.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? 3 x ? 5? t ? ? 2 (t 为参数) 已知直线 l 的参数方程为 ? ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 ?y ? ? 3 ? 1 t ? ? 2
极轴 建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos(? ? (I)判断直线 l 与圆 C 的位置关系; (Ⅱ)若点 P(x,y)在圆 C 上,求 3 x +y 的取值范围.

?
3

).

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 1og3 (| x ? 1| ? | x ? 4 | ?a), a ? R 。 ( I)当 a=-3 时,求 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)当 f(x)定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围

参考答案

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)第一组、第二组的频数分别为 100 ? 0.5 ? 0.1 ? 5,100 ?1.1? 0.1 ? 11

?第三组的频数为 100 ? 5 ?11 ? 62 ? 22 , 22 ? 0.22 . ?a ? 100
(Ⅱ)第四组的频数记为 a1 ,

……4 分

1 ……6 分 (1 ? ( ) 5 ) ? 62, ? a1 ? 32 1 2 1? 2 ?第四组、第五组、第六组、第七组、第八组的频数分别为 32,16,8,4,2 ?前三组共有 5 ? 11 ? 22 ? 38 人,

?后五组的频数和为 62,公比为 , ?

1 2

a1

12 ……10 分 ? 4.7375 32 6 (Ⅲ)由(Ⅱ)知视力良好的频数为 2 ? 4 ? 6 , 1200 ? ? 72 , 100 ……12 分 ?该校全体高三学生中视力良好的人数为 72 人.

?这 100 名学生视力的中位数为: 4.7 ? 0.1?

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)? AE // GD, AE ? GD, CF // GD, CF ? GD,? AE // CF 且 AE ? CF ,

? AEFC 为平行四边行,? EF // AC ,

在正方形 ABCD 中, AC ? BD ,? EF ? BD

……2 分

由 GD ? CD, GD ? DA, AD, DC ? 面 ABCD ,又 AD ? DC ? D,?GD ? 面 ABCD ,

AC ? 面 ABCD ,?GD ? AC ,?GD ? EF
? EF ? BD, EF ? GD, BD ? GD ? D ,? EF ? 面 BDG .

……4 分 ……6 分

(Ⅱ)设 EF 的中点为 M,连 GM、BM,则 GM//DB,?GM 与 DB 共面 由(Ⅰ)知 EF ? 平面 GDBM,又 EF ? 平面 BEF ,?平面 BEF ? 平面 GDBM,交线为 BM, 过点 D 作 DO ? BM 于点 O,则 DO ? 平面 BEF,即 DO 为三棱锥 D-BEF 的高 ……8 分

? S?MBD ?

2 ? 2 2 10 1 1 ? DB ? GD ? MB ? DO ,? OD ? 5 2 2 10 2

……10 分

?BE=BF= 3 ,EF= 2 ,
?BM=
3 ?(
2

2 2 10 1 1 10 5 ) ? ? S?BEF ? ? EF ? BM ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 2
……12 分

1 1 2 10 5 2 ?VD ? BEF ? S?BEF ? OD ? ? ? ? . 3 3 5 2 3
20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)令直线 AB : x ? my ? 2, ?

? x ? my ? 2
2 ? y ? 4x

? y 2 ? 4my ? 8 ? 0 ,? y1 y2 ? ?8 . ……6 分

y1 ? y3 y12 4 (x ? ) ( x ? x1 ) ,即 AC : y ? y1 ? (Ⅱ)直线 AC : y ? y1 ? y1 ? y3 4 x1 ? x3
当 x ? 2 时 yM ? y1 ?

y y ?8 y2 4 (2 ? 1 ) ? 1 3 , y1 ? y3 4 y1 ? y3

……8 分

同理 y N ?

y2 y4 ? 8 , y3 y4 ? ?8 y2 ? y4
y1 y3 ? 8 y2 y4 ? 8 y1 y2 ( y3 ? y4 ) ? y3 y4 ( y1 ? y2 ) ? 8 ? y1 ? y2 ? +8 ? y3 ? y4 ? ? ? y1 ? y3 y2 ? y4 ? y1 ? y3 ? ? ? y2 ? y4 ?

? yM ? y N ?

=

-8( y3 ? y4 )-8( y1 ? y2 ) ? 8 ? y1 ? y2 ? +8 ? y3 ? y4 ?

? y1 ? y3 ? ? ? y2 ? y4 ?


=0
……12 分

? PM = PN

21. (本小题满分 12 分)

1 ? a( x ? 0) ,由条件 f ' (1) ? 2,?1 ? a ? 2,?a ? ?1 , x 经检验,此时曲线 y ? f ( x) 在点 (1,0) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 2 ,与直线 y ? 2 x 平行,

解: (Ⅰ) f ' ( x) ?

故 a ? ?1 . (Ⅱ) (ⅰ) ?

……3 分

x ? 0 时,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,
……5 分

? f (2) ? 0,?ln 2 ? a ? 0,?a ? ln 2 (或证 a ? 0 时不符合条件)

? f ' ( x) ?

1 1 ? ax ?a 1 ?a? ? ( x ? )( x ? 0, a ? ln 2) x x x a

1 1 ? (0, ) 上 f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; ( ,??) 上 f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减 a a
1 ? (0,??) 上 f ( x) m ax ? f ( ) ? a ? 1 ? ln a a

?

x ? 0 时,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,?a ? 1 ? ln a ? 0 恒成立①

……7 分

?a ? 1 时, ?x ? 0, f ( x) ? ln x ? ( x ? 1) ? f (1) ? 0, ?a ? ln 2 时,? ln a ? (a ? 1) ? 0 恒成立② 由①②, ? ln a ? (a ? 1) ? 0 ,即 a ? 1 .
1 (ⅱ)由(ⅰ)知 a ? 1 ,记 g ( x) ? ( x ? ) ? 2 ln x x
x 又 g(1) ? 0 ,? (0,1) 上 g( x) ? 0 , (1,??) 上 g( x) ? 0 g ' ( x) ? 1 ? 1
2

……9 分

?

2 1 ? ( ? 1) 2 ? 0 ,? g ( x) 在 (0,??) 上单调递增 x x

……10 分

故, 0 ? x ? 1 时, x ?
x ? 1 时, x ? x ? 1 时, x ?

1 ? 2 ln x ; x

1 ? 2 ln x ; x
1 ? 2 ln x . x

……12 分

22. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)连结 OC , ?DAC ? ?FAC, ?FAC ? ?ACO ??DAC ? ?ACO ,? AD // OC

? ?ADC ? 90? ,??OCD ? 90? ? DC 为圆 O 的切线
2 2

……5 分

(Ⅱ) ?ADC 与 ?AFC 全等,? DC ? CF , CF ? AF ? FB, DC ? DE ? DA

? AF ? FB ? DE ? DA
23. (本小题满分 10 分)
2 2

……10 分

( Ⅰ ) 直 线 l : x ? 3 y ? 2 ? 0 , 圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 4 , 圆 心 C 到 直 线 的 距 离

d?

1? 3 ? 2 ? 1 ? 2 ? r ,?相交 2

……5 分

(Ⅱ)令 ?

? ? x ? 1 ? 2 cos ? (? 为参数) ? ? y ? 3 ? 2sin ?

? 3x ? y ? 3(1 ? 2cos ? ) ? 3 ? 2sin ? ? 2sin ? ? 2 3 cos ? ? 2 3

? 4sin( x ? ) ? 2 3 ? ?1 ? sin( x ? ) ? 1 , 3 3
? ? 3x ? y 的取值范围是 ? ? 2 3 ? 4, 2 3 ? 4 ?
24. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) a ? ?3 时, x ? 1 ? x ? 4 ? 3 ? 9,? x ? 1 ? x ? 4 ? 6 ①当 x ? 4 时 2 x ? 5 ? 6,? x ? . ……10 分

?

?

②当 1 ? x ? 4 时 3 ? 6 ,不成立 ③当 x ? 1时 5 ? 2 x ? 6,? x ? ? 综上,不等式的解集为 x x ?

11 2 1 2
……5 分

?

11 1? 或x ? ? ? 2 2?

(Ⅱ)即 x ? 1 ? x ? 4 ? a 恒成立, x ? 1 ? x ? 4 ? ( x ? 1) ? ( x ? 4) ? 3 , 当且仅当 1 ? x ? 4 时取等,?a ? 3 ,即 a 的取值范围是 (??,3) . ……10 分


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