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2015北京各区期末考试解析几何分类汇编理


解析几何(理)分类 一、选择题 1.(海淀 1)抛物线 x ? ?2 y 的焦点坐标是(
2

) (C) (0, ? )

(A) (?1, 0) 答案:C

(B) (1, 0)

1 2

(D) (0, )

1 2

2. (朝阳 2)过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点.若 AB 中点 M 到 抛物线准线的距离为 6,则线段 AB 的长为 A. 6 答案 C 3. (石景山 3)点 (1, 2) 与圆 ? A.点在圆内 C.点在圆上 答案:A B. 9 C. 12 D.无法确定

? x ? ?1 ? 3cos ? , 的位置关系是( ? y ? 3sin ?



B.点在圆外 D.与 ? 的值有关

4.(海淀 4)已知直线 l1 : ax ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 2 ? 0 . 若 l1 ? l2 ,则实数 a 的值 是( (A) 0 ) (B) 2 或 ?1 (C) 0 或 ?3 (D) ?3

答案:C 5. (西城 7)已知抛物线 C : y 2 ? 4x ,点 P(m,0) ,O 为坐标原点,若在抛物线 C 上存在一点

Q ,使得 ? OQP
(A) (4,8) (C) (0, 4)

90o ,则实数 m 的取值范围是(



(B) (4, + (D) (8, +

) )

答案:B 6(丰台 8) .在平面直角坐标系 xOy 中,如果菱形 OABC 的边长为 2,点 B 在 y 轴上,则菱 形内(不含边界)的整点(横纵坐标都是整数的点)个数的取值集合是 (A) {1,3} (B) {0,1,3} (C) {0,1,3,4} (D) {0,1,2,3,4} 答案:D 7. (东城 8) 已知圆 C : x ? y ? 2 , 直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 , 点 P( x0 , y0 ) 在直线 l 上. 若
2 2

存在圆 C 上的点 Q ,使得 ?OPQ ? 45 ( O 为坐标原点) ,则 x0 的取值范围是

(A) [0,1] 答案:B 二、填空题

(B) [0,

8 ] 5

(C) [ ?

1 ,1] 2

(D) [? , ]

1 8 2 5

1.(东城 9)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点到其准线的距离为1 ,则该抛物线的方程为 . 答案: y 2 ? 2 x

x2 y 2 ? 1(a ? 0) 的左、右焦点,点 P 为双曲线 C 上一 2. (西城 10)设 F1 , F2 为双曲线 C: 2 ? a 16
点,如果 | PF1 | ? | PF2 |? 4 ,那么双曲线 C 的方程为____;离心率为____. 答案:

x2 y 2 ? ?1 4 16

5
;渐近线方程

2 2 3. (朝阳 10 )双曲线 C : x ? y ? ? ( ? ? 0 )的离心率是





答案: 2 ; y ? ? x
2 4.(海淀 11)若双曲线 x ?

y2 ? 1的一条渐近线的倾斜角为 60 ? ,则 m ? m

.

答案:3 5. (石景山 12 ) . 若抛物线 y ? ax 的焦点与双曲线
2

y2 ? x 2 ? 1 的焦点重合,则 a 的值 3

为 答案: ?



1 8

6. (丰台 13)过点

M ( 3, y0 ) 作圆 O: x2 ? y 2 ? 1的切线,切点为 N ,如果 y0 =0 ,那么
?OMN ?

?
6 ,那么 y0 的取值范围是 .

切线的斜率是 ;如果

?
答案:

2 2 ; ?1 ? y0 ? 1
2

y2 ? 1 (m ? 0) 的离心率是 2,则 m ? ________ , 以该双曲 7.(昌平 13). 已知双曲线 x ? m
线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 .

答案: 3 ; ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 三、解答题 1.(海淀 18) 已知椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1, 点 F1 ,C 分别是椭圆 M 的左焦点、 左顶点, 过点 F1 的直线 l(不 4 3

与 x 轴重合)交 M 于 A, B 两点. (Ⅰ)求 M 的离心率及短轴长; (Ⅱ)是否存在直线 l ,使得点 B 在以线段 AC 为直径的圆上,若存在,求出直线 l 的 方程;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)由

x2 y 2 ? ? 1 得: a ? 2, b ? 3 . 4 3
………………2 分

所以 椭圆 M 的短轴长为 2 3 . 因为 c ? a ? b ? 1,
2 2

所以 e ?

c 1 1 ? ,即 M 的离心率为 . a 2 2

………………4 分

?) (? 2 0x? , 2 ( Ⅱ ) 由 题 意 知 : C (?2,0), F1 (?1,0) , 设 B( 0x , 0y 则)
2 x0 y2 ? 0 ? 1. 4 3

………………7 分

因为 BF 1 ? BC ? (?1 ? x0 , ? y0 ) ? (?2 ? x0 , ? y0 )
2 2 ? 2 ? 3x0 ? x0 ? y0

………………9 分

? π 2

1 2 x0 ? 3 x0 ? 5 ? 0 , 4

………………11 分

所以 ?B ? (0, ) . 所以 点 B 不在以 AC 为直径的圆上,即:不存在直线 l ,使得点 B 在以 AC 为直径的圆上. ………………13 分

另解:由题意可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 由? 4 可得: (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 . 3 ? x ? my ? 1 ?
所以 y1 ? y2 ?

6m ?9 , y1 y2 ? . 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

………………7 分

所以 CA ? CB ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 )

? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1
? (m2 ? 1) ?9 6m ? m? 2 ?1 2 3m ? 4 3m ? 4
………………9 分

?
因为 cos C ?

?5 ?0. 3m 2 ? 4

CA ? CB CA ? CB

? (?1, 0) ,

所以 ?C ? ( , π ) .

π 2

………………11 分

所以 ?B ? (0, ) . 所以 点 B 不在以 AC 为直径的圆上,即:不存在直线 l ,使得点 B 在以 AC 为直径的圆上. ………………13 分

π 2

2..(丰台 19) 已知椭圆 C : 椭圆 C 上.

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F ( 3,0) ,点 M (? 3, ) 在 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l 过点 F ,且与椭圆 C 交于 A , B 两点,过原点 O 作直线 l 的垂线,垂足 为 P ,如果△ OAB 的面积为

? | AB | ?4
2 | OP |

( ? 为实数) ,求 ? 的值.

解: (Ⅰ)由题意知: c =

3.

根据椭圆的定义得: 2a = 即a= 2. 所以 b2 = 4 - 3 = 1 . 所以椭圆 C 的标准方程为

(-

3-

1 1 3) 2 + ( ) 2 + , 2 2
……………2 分 ……………3 分

x2 ? y 2 ? 1. ……………4 分 4 1 ? | AB | ?4 (Ⅱ)由题意知,△ABC 的面积 S?ABC = | AB | ? | OP | = , 2 2 | OP | 4 2 整理得 ? = |OP | ? . ……………5 分 | AB |
① 当直线 l 的斜率不存在时, l 的方程是 x ? 3 . 此时 | AB |= 1 , | OP |? 3 ,所以 ? = | OP | ?
2

4 = ?1 . | AB |

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k ( x 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

3) ,

ì ? x2 2 ? ? + y =1 由 í 4 可得 (4k 2 + 1) x2 - 8 3k 2 x + 12k 2 - 4 = 0 . ? ? ? ? ? y =k ( x - 3) ì ? 8 3k 2 ? x1 + x2 = , ? 2 ? 4 k + 1 ? 显然 ? > 0 ,则 í ……………9 分 ? 12k 2 - 4 ? ? x1 x2 = . ? 4k 2 + 1 ? ?
因为 y1 =k ( x1 所以 | AB |=

3) , y2 =k ( x2 -

3) ,
(k 2 + 1)( x1 - x2 ) 2

( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 = (k 2 + 1)[( x1 + x2 ) 2 - 4 x1 x2 ]

=
= 4 k2 + 1 . 4k 2 + 1

……………11 分

2 所以 | OP | = (

|-

3k | k2 + 1

)2 =

3k 2 , k2 + 1

3k 2 4k 2 ? 1 ? = ?1 . 此时, ? = 2 k ?1 k 2 ?1
综上所述, ? 为定值 ?1 . ……………14 分

3.(东城 19) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴长为 2 ,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点, 过 P 作斜率为 求证: | PA |2 ? | PB |2 为定值. 解(Ⅰ)设椭圆 C 的标准方程为

3 . 2

1 的直线 l 交椭圆 C 于 A ,B 两点, 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 ?c 由题意知 ? ? ,解得 a ? 2 . 2 ?a ?b ? 1 ?
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1.……………………………5 分 4
1 ( x ? m) . 2

(Ⅱ)设 P(m , 0) ( ? 2 ? m ? 2 ) ,由已知,直线 l 的方程是 y ?

1 ? y ? ( x ? m), ? ? 2 2 2 由? 2 消 y 得 2 x ? 2mx ? m ? 4 ? 0 (*) . x ? ? y 2 ? 1, ? ?4
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 、 x2 是方程(*)的两个根, 所以 x2 ? x2 ? m , x1 x 2 ?
2 2

m2 ? 4 . 2
2 2 2 2

所以 | PA | ? | PB | ? ( x1 ? m) ? y1 ? ( x2 ? m) ? y2

1 1 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 4 4 5 ? [( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ] 4
5 2 ? [ x12 ? x2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m 2 ] 4 5 ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2m 2 ] 4

5 ? [m 2 ? 2m 2 ? (m 2 ? 4) ? 2m 2 ] ? 5 (定值) . 4
所以 | PA | 2 ? | PB | 2 为定值. 4.. (西城 19) 已知椭圆 C: ………………………………13 分

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F,右顶点为 A,离心率为 e,点 P(m,0)( m ? 4) 满 16 12

足条件

| FA | ?e. | AP |

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ) 设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M, N 两点, 记 ?PMF 和 ?PNF 的面积分别为 S1 ,

S2 ,求证:

S1 | PM | . ? S2 | PN |
x2 y 2 ? ? 1, 16 12
………………2

(Ⅰ)解:因为椭圆 C 的方程为

所以 a ? 4 , b ? 2 3 , c ? a2 ? b2 ? 2 , 分 则 e? 因为

c 1 ? ,| FA |? 2 ,| AP |? m ? 4 . a 2

………………3 分

| FA | 2 1 ? ? , | AP | m ? 4 2
………………5

所以 m ? 8 . 分

(Ⅱ)解:若直线 l 的斜率不存在, 则有 S1 ? S 2 , | PM |?| PN | ,符合题意. ………6 分 若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .
? x2 y2 ? ? 1, 由 ? ? 16 12 ? ? y ? k ( x ? 2),

得 (4k 2 ? 3) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ? 48 ? 0 , 可知 ? ? 0 恒成立,且 x1 ? x2 ?

…………… 7 分 …………… 8 分

16k 2 16k 2 ? 48 , . x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

因为 k PM ? k PN ?

y1 y k ( x1 ? 2) k ( x2 ? 2) ? 2 ? ? x1 ? 8 x2 ? 8 x1 ? 8 x2 ? 8
k ( x1 ? 2)(x2 ? 8) ? k ( x2 ? 2)(x1 ? 8) ( x1 ? 8)(x2 ? 8) 2kx1 x2 ? 10k ( x1 ? x2 ) ? 32k ( x1 ? 8)(x2 ? 8)
2k ? 16k 2 ? 48 16k 2 ? 10 k ? ? 32k 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ? 0, ( x1 ? 8)(x2 ? 8)

…………… 10 分

?

?

?

所以 ?MPF ? ?NPF . 因为 ?PMF 和 ?PNF 的面积分别为 S1 ?

…………… 12 分

1 | PF | ? | PM | ? sin ?MPF , 2
…………… 13 分

1 S2 ? | PF | ? | PN | ? sin ?NPF , 2
所以

S1 | PM | . ? S2 | PN |

5. (朝阳 19) 已知椭圆 C : 条斜率乘积为 ?

x2 y 2 3 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,离心率为 .过椭圆右顶点 A 的两 2 a b 2 2
1 的直线分别交椭圆 C 于 M , N 两点. 4

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 MN 是否过定点 D ?若过定点 D ,求出点 D 的坐标;若不过,请说明理由.

? c 3 ? ? ?a 2 ? 4 ? a 2 解: (Ⅰ)由已知得 ? , 解得 ? 2 . ?b ?1 ? 1 ? 3 ?1 ? ? a 2 4b 2
所以椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

……………..4 分

(Ⅱ)直线 MN 过定点 D (0, 0) . 说明如下: 由(Ⅰ)可知椭圆右顶点 A(2, 0) . 由题意可知,直线 AM 和直线 AN 的斜率存在且不为 0 .

设直线 AM 的方程为 y ? k ( x ? 2) .

? x2 ? 4 y2 ? 4 由? 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 . y ? k ( x ? 2) ?

? ? 256k 4 ?16(1 ? 4k 2 )(4k 2 ?1) ? 16 ? 0 成立,
所以 2 ? xM ?

16k 2 ? 4 8k 2 ? 2 x ? .所以 . M 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
8k 2 ? 2 ?4k ? 2) ? . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

所以 yM ? k ( xM ? 2) ? k (

于是,点 M (

8k 2 ? 2 ?4k , ). 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2
1 , 故 可 设 直 线 AN 的 方 程 为 4

因 为 直 线 AM 和 直 线 AN 的 斜 率 乘 积 为 ?

y??

1 (x ? 2 ) . 4k

1 2 ) ?2 2 ? 8k 2 4k 同理,易得 xN ? . ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4(? ) 4k 8(?
所以点 N (

2 ? 8k 2 4k , ). 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
1 2k 时, k MN ? . 2 1 ? 4k 2

所以,当 xM ? xN 时,即 k ? ? 直线 MN 的方程为 y ? 整理得 y ?

4k 2k 2 ? 8k 2 ? (x ? ). 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

2k x. 1 ? 4k 2

显然直线 MN 过定点 D (0, 0) . (点 M , N 关于原点对称) 当 xM ? xN ,即 k ? ?

1 时,直线 MN 显然过定点 D (0, 0) . 2
……………..14 分

综上所述,直线 MN 过定点 D (0, 0) . 6.(石景山 19)

x2 y 2 3 1) . 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 B(0 , a b 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)直线 l : y ? k ( x ? 2) 交椭圆于 P、Q 两点,若点 B 始终在以 PQ 为直径的圆内,求实 数 k 的取值范围.

?b ? 1 ? ?a ? 2 c 3 ? ? ?e ? ? a 2 ,解得 ?b ? 1 , 解: (Ⅰ)由题意知 ? 2 2 2 ? ? ?a ? b ? c ?c ? 3
x2 ? y2 ? 1 . 椭圆的标准方程为: 4
(Ⅱ)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ………………4 分

? y ? k ( x ? 2) ? 联立 ? x 2 ,消去 y ,得: (1 ? 4k 2 ) x 2 ?16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0.(?) ……6 分 2 ? ? y ?1 ?4
依题意:直线 l : y ? k ( x ? 2) 恒过点 (?2,0) ,此点为椭圆的左顶点, 所以 x1 ? ?2 , y1 ? 0 ----①, 由(*)式, x1 ? x2 ? ?

16k 2 -------② , (1 ? 4k 2 )

可得 y1 ? y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k ---- ③, ………………8 分 由① ② ③ , x2 ?

2 ? 8k 2 4k , y2 ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k

………………10 分

由点 B 在以 PQ 为直径的圆内,得 ?PBQ 为钝角或平角,即 BP ? BQ ? 0 .

? BP ? BQ ? ?2 x2 ? y2 ? 1 ? 0 . BP ? (? 2, ?1 ), BQ ? (x2,y2 ? 1 )


…12 分

4 ? 16k 2 4k ? ? 1 ? 0 ,整理得 20k 2 ? 4k ? 3 ? 0 . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
3 1 , ). 10 2
………………14 分

解得: k ? ( ?

7..(昌平 19) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 经过点 P (1, . ) ,离心率是 2 a b 2 2

(I) 求椭圆 C 的方程; (II) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆过椭圆右顶点 M ,求证:

直线 l 恒过定点.

3 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 3 ? ?a ? 2 3 ?c 解: (I)由 ? ? ,解得 ? , 2 ?b ? 1 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
x2 ? y2 ? 1 . 所以椭圆 C 的方程是 4
(II)方法一 (1)由题意可知,直线 l 的斜率为 0 时,不合题意. (2)不妨设直线 l 的方程为 x ? ky ? m .
? x ? ky ? m ? 由 ? x2 , 2 ? ? y ?1 ?4

.…………………5 分

消去 x 得 (k 2 ? 4) y 2 ? 2kmy ? m2 ? 4 ? 0 .

……………7 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? y2 ? ?

m2 ? 4 2km ……① , ………② y y ? 1 2 k2 ? 4 k2 ? 4 ………………… 8 分

因为以 AB 为直径的圆过点 M ,所以 MA ? MB ? 0 . 由 MA ? ( x1 ? 2, y1 ), MB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,得 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 . 将 x1 ? ky1 ? m, x2 ? ky2 ? m 代入上式, 得 (k 2 ? 1) y1 y2 ? k (m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (m ? 2)2 ? 0 . ……… 分 将①②代入③,得 解得 m ? ③ ……………………12

5m2 ? 16m ? 12 ? 0 , k2 ? 4

6 或 m ? 2 (舍) . 5 6 综上,直线 l 经过定点 ( ,0). …………………14 分 5

方法二 证明: (1) 当 k 不存在时,易得此直线恒过点 ( , 0) .

6 5

…………………7 分

(2)当 k 存在时.设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , M (2,0) .

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 由? 4 ,可得 (4k ? 1) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 . ? y ? kx ? m ?

? ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0
x1 ? x2 ? ?8km , ……① 4k 2 ? 1
……. ② …………………9 分

4m 2 ? 4 x1 x2 ? 4k 2 ? 1
由题意可知

MA ? MB ? 0 , MA ? ( x1 ? 2, y1 ), MB ? ( x2 ? 2, y2 ),
y1 ? kx1 ? m, y2 ? kx2 ? m.
可 得 …………………10 分

( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 .
12k 2 ? 16km ? 5m 2 ? 0, 4k 2 ? 1
6 k. 5

整理得 (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? (k 2 ? 1) x1x2 ? 4 ? m2 ? 0 ③ 把①②代入③整理得 由题意可知

12k 2 ? 16km ? 5m2 ? 0,

解得 m ? ?2k , m ? ?

( i ) 当 m ? ?2k时,即y ? k ( x ? 2) , 直 线 过 定 点 ( 2,0 ) 不 符 合 题 意 , 舍 掉. ……………12 分 (ii) m ? ?

6 6 6 k时 ,即 y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0) ,经检验符合题意. 5 5 5
6 5
.…………………14 分

综上所述,直线 l 过定点 ( , 0)


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