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2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(新课标I卷)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学 (新课标 I 卷)
使用省份:河北、河南、山西

第 I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? x x ? 2 x ? 0 , B ? x ? 5 ? x ? 5 ,则(

?

?

?

?

) D. A ? B

A. A

B??

B. A

B?R

C. B ? A )

2.若复数 z 满足 ? 3 ? 4i ? z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为( A. ?4 B. ?

4 5

C.4

D.

4 5

3.为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经 了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下 面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ) A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样 4.已知双曲线 C : C.按学段分层抽样 D.系统抽样 )

5 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0 , b ? 0 ? 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 2 a b
B. y ? ?

A. y ? ?

1 x 4

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2


D. y ? ? x

3 ,则输出的 s 属于( 5.执行如面的程序框图,如果输入的 t ? ?1, 4 A. ?3 ,

?

?

?

?

2 B. ?5 ,

?

?

3 C. ?4 ,

?

?

5 D. ?2 ,

?

?

开始 输入 t 是 t<1 s=3t s = 4t-t2 否

输出 s 结束
第 1 页,共 5 页

第 5 题图 第 6 题图 第 8 题图 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器 注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如不计容器的厚度,则球的体积为( A. ) D.

500π 3 cm 3

B.

866π 3 cm 3

C.

1372π cm 3 3

2048π 3 cm 3


7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sm?1 ? ?2 , Sm ? 0 , Sm?1 ? 3 ,则 m ? ( A.3 B.4 C.5 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. 16 ? 8π 9.设 m 为正整数,? x ? y ? B. 8 ? 8π
2m

D.6 D. 8 ? 16π
2 m ?1

C.16 ? 16 π

展开式的二项式系数的最大值为 a ,? x ? y ? ) C.7

展开式的二项式系数的

最大值为 b ,若13a ? 7b ,则 m =( A.5 B.6 10.已知椭圆 E :

D.8

x2 y 2 0) ,过点 F 的直线交椭圆 E 于 A ,B 两 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F (3 , a 2 b2


? 1? ,则 E 的方程为( 点.若 AB 的中点坐标为 ?1,
x2 y 2 ? ?1 A. 45 36 x2 y 2 ? ?1 B. 36 27

x2 y 2 ? ?1 C. 27 18
若 f ? x ? ? ax ,则 a 的取值范围是(

x2 y 2 ? ?1 D. 18 9


11.已知函数 f ? x ? ? ?

? ? x2 ? 2 x , ? 0,
1? B. ? ?? ,

x 0, ?ln( x ? 1) ,>

0? A. ? ?? ,

1? C.? ?2 ,

0? D. ? ?2 ,

3, bn , cn ,?An BnCn 的面积为 Sn ,n ? 1 ,2 , 12. 设 ?An BnCn 的三边长分别为 an , …. 若b1 ? c1 ,

b1 ? c1 ? 2a1 , an?1 ? an , bn ?1 ?
A. ?Sn ? 为递减数列

cn ? an bn ? an , cn ?1 ? ,则( 2 2



B. ?Sn ? 为递增数列 D.?S2n?1? 为递减数列,?S2 n ? 为递增数列

C. ?S2n?1? 为递增数列, ?S2 n ? 为递减数列

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生依据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60° , c ? ta ? ?1 ? t ? b .若 b ? c ? 0 ,则 t ? __________.

第 2 页,共 5 页

14.若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ?

2 1 an ? ,则数列?an ? 的通项公式 an ? ____________. 3 3

15.设当 x ? θ 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos ? =____________.
2 16.若函数 f ? x ? ? 1 ? x

?

?? x

2

? ax ? b ? 的图像关于直线 x ? ?2 对称,则 f ( x) 的最大值为_________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图,在 △ABC 中, ?ABC ? 90? , AB ? 3 , BC ? 1 , P 为 △ABC 内一点, ?BPC ? 90? . (Ⅰ)若 PB ?

1 ,求 PA ; 2

C

(Ⅱ)若 ?APB =150° ,求 tan ?PBA .

P A B

18. (本小题满分 12 分)

CA ? CB , AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60? . 如图,三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,
(Ⅰ)证明 AB ⊥ AC ; 1 C B C1

AB ? CB , (Ⅱ)若平面 ABC ⊥平面 AA 1B 1B ,
求直线 AC 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 1 A

B1

A1

第 3 页,共 5 页

19. (本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的 件数记为 n . 如果 n ? 3 , 再从这批产品中任取 4 件作检验, 若都为优质品, 则这批产品通过检验; 如果 n ? 4 , 再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过 检验.假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为 相互独立. (Ⅰ)求这批产品通过检验的概率; (Ⅱ)已知每件产品检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需 的费用记为 X (单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望.

1 ,且各件产品是否为优质品 2

20. (本小题满分 12 分)
2 2 已知圆 M : ? x ? 1? ? y ? 1 ,圆 N :? x ? 1? ? y ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切,圆心 2 2

P 的轨迹为曲线 C .
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交 于 A , B 两点,当圆 P 的半径最长时,求 AB .

y
P M ON

第 4 页,共 5 页

x

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? b , g ? x ? ? e
2 x

?cx ? d ? .若曲线 y ? f ? x? 和曲线 y ? g ? x? 都过点

P ?0 , 2? ,且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 .
(Ⅰ)求 a , b , c , d 的值; (Ⅱ)若 x ? ?2 时, f ? x ? ? kg ? x ? ,求 k 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框 涂黑.按所涂题号进行评分,多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B ,点C 在圆上,∠ ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E , DB 垂 直 BE 交圆于 D . (Ⅰ)证明: DB ? DC ; (Ⅱ)设圆的半径为 1, BC ? 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F ,求 D B

△BCF 外接圆的半径.
E A C
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