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暑期班第11讲.平面向量的概念、线性运算与基本定理.学生版


第 11 讲 平面向量的概念、线性运算与 基本定理

高考要求

平面向量

平面向量的相关概念 向量加法与减法

B C C B A B C C C C B C B

向量的线性运算

向量的数乘 两个向量共线 平面向量的基本定理

平面向量的正交分解及其坐标表示 平面向量 平面向量的基本 定理及坐标表示 用坐标表示平面向量的加法、 减法与数乘运算 用坐标表示的平面向量共线的条件 数量积 平面向量的数量 数量积的坐标表示 积 向量的应用 用数量积表示两个向量的夹角 用数量积判断两个平面向量的垂直关系 用向量方法解决简单的问题

1. 理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示. 2. 掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义;掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量 共线的条件. 3. 了解向量的线形运算性质及其几何意义. 4. 了解平面向量的基本定理及其几何意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量 的加、减与数乘向量运算;会用坐标表示平面向量共线的条件. 5. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义;知道平面向量数量积与向量投影的关系; 6. 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的坐标运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用 数量积判断两个平面向量的垂直关系

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知识精讲

板块一:向量的线性运算 (一)知识内容
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性运算. 1.向量的概念: ⑴ 向量的概念:在高中阶段,我们把具有大小和方向的量称为向量. 有些向量不仅有大小和方向, 而且还有作用点. 例如, 力就是既有大小和方向, 又有作用点的向量. 有 些量只有大小和方向,而无特定的位置.例如,位移、速度等,通常把后一类向量叫做自由向量.高 中阶段学习的主要是自由向量,以后我们说到向量,如无特别说明,指的都是自由向量.是可以任 意平行移动的.向量不同于数量,数量之间可以进行各种代数运算,可以比较大小,两个向量不能 比较大小.
A B

P

D
C

F H B

C

B

O

G O A

A

E

D

E

⑵ 向量的表示:①几何表示法:用有向线段表示向量,有向线段的方向表示向量
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??? ? 的方向,线段的长度表示向量的长度.②字母表示法: AB ,注意起点在前, 终点在后. ⑶ 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量,或相等向量. ??? ? ??? ? ⑷ 向量共线或平行:通过有向线段 AB 的直线,叫做向量 AB 的基线.如果向量的基线互相平行或 ? ? ? ? 重合,则称这些向量共线或平行.向量 a 平行于向量 b ,记作 a ∥ b . 说明:共线向量的方向相同或相反, 注意:这里说向量平行,包含向量基线重合的情形,与两条直线平行的概念有点不同.事实上,在 高等数学中,重合直线是平行直线的特殊情形. ? ⑸ 零向量:长度等于零的向量,叫做零向量.记作: 0 .零向量的方向不确定,零向量与任意向 量平行. ? ??? ? ? ⑹ 用向量表示点的位置:任给一定点 O 和向量 a ,过点 O 作有向线段 OA ? a ,则点 A 相对于点 O 位 ? ??? ? 置被向量 a 所唯一确定,这时向量 OA 又常叫做点 A 相对于点 O 的位置向量.

2.向量的加法:
D a a+b a C b B

b a+b a
C c

b
b b A a

a

a+b+c O a+b a

b+c

B b A

⑴ 向量加法的三角形法则: ? ? ??? ? ? ??? ? ? ???? ???? ? ? 已知向量 a, b ,在平面上任取一点 A ,作 AB ? a , BC ? b ,再作向量 AC ,则向量 AC 叫做 a 和 b 的 ? ? ? ? ??? ??? ???? ? ? 和(或和向量) ,记作 a ? b ,即 a ? b ? AB ? BC ? AC . ⑵ 向量求和的平行四边形法则: ? ? ??? ? ? ???? ? ??? ? ???? ① 已知两个不共线的向量 a , b ,作 AB ? a , AD ? b ,则 A , B , D 三点不共线,以 AB , AD 为 ???? ? ? 邻边作平行四边形 ABCD ,则对角线上的向量 AC ? a ? b ,这个法则叫做向量求和的平行四边形法 则. ② 向量的运算性质: ? ? ? ? 向量加法的交换律: a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? 向量加法的结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ? ? ? ? ? ? 关于 0 : a ? 0 ? 0 ? a ? a ⑶ 向量求和的多边形法则: 已知 n 个向量,依次把这 n 个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第 n 个向量的终点为终点 的向量叫做这 n 个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.
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3.向量的减法:
d

d c
B a-b b a A

a

b

c

a+b+c+d a

b

O

? ? ? ⑴ 相反向量:与向量 a 方向相反且等长的向量叫做 a 的相反向量,记作 ? a . 零向量的相反向量仍是零向量. ⑵ 差向量定义:如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被 减向量的终点为终点的向量. ??? ? ??? ? 推论:一个向量 BA 等于它的终点相对于点 O 的位置向量 OA 减去它的始点相对于点 O 的位置向量 ??? ? OB ,或简记“终点向量减始点向量”. ⑶ 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量 4.数乘向量: ? ? ? ? ? 定义:实数 ? 和向量 a 的乘积是一个向量,记作 ? a ,且 ? a 的长 ? a ? ? a

判断正误:已知 ? , ? R . ? ? ? ? ? ① ? ( a ? b) ? ? a ? ? b ; (√) ? ? ③ ? (? a) ? (?? )a ; (√) 5.向量共线的条件

? ? ? ② (? ? ? )a ? ? a ? ? a ; (√) ? ? ? ? ④ ? a ? ? b ? (? ? ? )(a ? b) . ) (×

? ? ? ? ? ? ? ? ⑴ 平行向量基本定理:如果 a ? ? b ,则 a ∥ b ;反之,如果 a ∥ b ,且 b ? 0 ,则一定存在唯一的一 ? ? 个实数 ? ,使 a ? ? b . ? ? ? ⑵ 单位向量:给定一个非零向量 a ,与 a 同方向且长度等于 1 的向量,叫做向量 a 的单位向量.如 ? ? ? ? ?? ? ?? a ?? ? ? 果 a 的单位向量记作 a0 ,由数乘向量的定义可知 a ? a a0 或 a0 ? ? . a

(二)典例分析
??? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ???? 【例1】 ⑴ 已知 □ ABCD 的两条对角线交于点 O ,设 AB ? a , AD ? b ,用向量 a 和 b 表示向量 BD , AO . ???? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ⑵ 已知 □ ABCD 的两条对角线交于点 O ,设对角线 AC = a , BD = b ,用 a , b 表示 BC , AB .

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??? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ???? 【例2】 设 P 是正六边形 OABCDE 的中心,若 OA ? a , OE ? b ,试用向量 a , b 表示 OB 、 OC 、 OD



【例3】 如图, M 、 N 分别是 ?ABC 的边 AB 、 AC 的靠近 A 的三等分点. 1 求证: MN ? BC ,且 MN ∥ BC . 3
M

A

N

B

C

?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? 【例4】 ⑴已知 3(m ? a) ? 2(m ? 2a) ? 4(m ? a ? b) ? 0 ,则 m ? ? ? ? ? ? ? ⑵已知 a , b 方向相同,且 a ? 3 , b ? 7 ,则 2a ? b ?

? ? ? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? 【例5】 已知矩形 ABCD 中,宽为 2 ,长为 2 3 , AB ? a , BC ? b , AC ? c ,试作出向量 a ? b ? c ,并求其 长度.

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【例6】 下列命题中正确的有: ( ) ??? ???? ? ⑴四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB ? DC ; ??? ? ??? ? ⑵向量 AB 与 BA 是两平行向量; ? ??? ? ??? ⑶向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A , B , C , D 四点必在同一直线上; ⑷单位向量不一定都相等; ? ? ? ? ? ? ⑸ a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线; ⑹平行向量的方向一定相同;

【例7】 如图所示, A1 , A2 , A3 ,…, A8 是 ? O 的 8 个等分点,以 A1 , A2 ,…, A8 及 O 这 9 个点中任意两 个为起始点和终点的向量中,模等于半径 2 倍的向量有多少个?
A1 A8 O A2 A3

A7

A6 A5

A4

【例8】 (第 14 届“希望杯”全国数学邀请赛) 已知正六边形 ABCDEF ,在下列表达式: ??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ? ???? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ① BC ? CD ? EC ;② 2BC ? DC ;③ FE ? ED ;④ 2ED ? FA 中,与 AC 等价的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

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?? ?? ? ??? ? ?? ?? ??? ?? ?? ??? ? ? ? ? ?? ?? ? 【例9】 设 e1 , e2 是不共线的向量,已知向量 AB ? 2e1 ? ke2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、 、 三点共线, B D 求 k 的值.

? ? ? ? ? ? ? ? ? 【例10】 设 a , b , c 为非零向量,其中任意两个向量不共线,已知 a ? b 与 c 共线,且 b ? c 与 a 共线,则 ? ? ? . b?a?c?

??? ??? ???? ? ? 【例11】 证明: 若向量 OA, OB, OC 的终点 A、B、C 共线, 当且仅当存在实数 ?, ? 满 ???? ??? ? ??? ? 足等式 ? ? ? ? 1 ,使得 OC ? ? OB ? ? OA .

A

B

O

C

【例12】 (2007 年江西) 如图,在 △ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB , AC 于不同的两点 M,N , ??? ? ???? ? ???? ???? 若 AB ? mAM , AC ? nAN ,则 m ? n 的值为 . A

N B O C

M
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【例13】 (2008 年全国Ⅰ) ??? ? ???? ? ? ??? ? ???? ???? 在 △ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? ( ) 2? 1? 5? 2? 2? 1? 1? 2? A. b ? c B. c ? b C. b ? c D. b ? c 3 3 3 3 3 3 3 3 ⑵(2009 安徽高考卷) ???? ??? ? ??? ? 在平行四边形 ABCD 中, E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点.若 AC ? ? AE ? ? AF ,其中 ? , ? ?R , 则??? ? .

BF a DE b 【例14】 在平行四边形 ABCD 中, E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的点.且 , , ? ? FC 1 ? a EC 1 ? b ???? ??? ? ??? ? 若 AC ? ? AE ? ? AF ,其中 ? , ? ?R ,则 ? ? ? ? .

【例15】 (2008 湖南)

???? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? 设 D , E , F ,分别是 ?ABC 的三边 BC 、 CA 、 AB 上的点,且 DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则 ???? ??? ??? ? ? ??? ? AD ? BE ? CF 与 BC ( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

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板块二:向量的分解与基本定理 (一)知识内容
?? ?? ? ? 1.平面向量基本定理:如果 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量 a , ?? ?? ? ? 存在唯一的一对实数 a1 , a2 ,使 a ? a1 e1 ? a2 e2 . ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? a 2. 基底: 我们把不共线向量 e1 , 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底, 记作 e1 , e2 . 1 e1 ? a2 e2 e ?? ?? ? ? 叫做向量 a 关于基底 e1 , e2 的分解式.

?

?

?

?

说明:

?? ?? ? ⑴ 定理中 e1 , e2 是两个不共线向量; ? ⑵ a 是平面内的任一向量,且实数对 a1 , a2 是惟一的;

⑶ 平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底. <教师备案> ⑴ 平面向量基本定理的证明: ? ??? ? ???? ?? ????? ?? ? ? 在平面内任取一点 O ,作 OE1 ? e1 , OE2 ? e2 , OA ? a . ?? ?? ? 由于 e1 与 e2 不平行,可以进行如下作图: 过点 A 作 OE2 的平行(或重合)直线,交直线 OE1 于点 M , 过点 A 作 OE1 的平行(或重合)直线,交直线 OE2 于点 N ,

N A

E2 e2 O e1 E 1

M

于是依据平行向量基本定理,存在两个唯一的实数 a1 和 a2 ???? ? ?? ???? ?? ? ? ??? ???? ???? ? ? ?? ?? ? 分别有 OM ? a1 e1 , ON ? a2 e2 ,所以 a ? OA ? OM ? ON ? a1 e1 ? a2 e2 ??? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? 证明表示的唯一性:如果存在另对实数 x , y 使 OA ? xe1 ? ye2 ,则 a1 e1 ? a2 e2 ? xe1 ? ye2 , ?? ?? ? ? ?? ?? ? 即 ( x ? a1 )e1 ? ( y ? a2 )e2 ? 0 ,由于 e1 与 e2 不平行,如果 x ? a1 与 y ? a2 中有一个不等于 0 , ?? ? x ? a1 ?? 不妨设 y ? a2 ? 0 ,则 e2 ? ? e1 , y ? a2 ?? ?? ? 由平行向量基本定理,得 e1 与 e2 平行,这与假设矛 盾,因此 x ? a1 ? 0 , y ? a2 ? 0 ,即 x ? a1 , y ? a2 . ⑵ 证明 A , B , P 三点共线或点在线上的方法: 已知 A 、 B 是直线 l 上的任意两点, O 是 l 外一点,则对直线 l 上任意一点 P ,存在实数 t , ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 使 OP 关于基底 OA, OB 的分解式为 OP ? (1 ? t )OA ? tOB ……①,并且满足①式的点 P 一

?

?

定在 l 上. l 证明:设点 P 在直线 l 上,则由平行向量定理知,存在实数 P ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? B t ,使 AP ? t AB ? t (OB ? OA) , ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ∴ OP ? OA ? AP ? OA ? tOB ? tOA ? (1 ? t )OA ? tOB M ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 设点 P 满足等式 OP ? (1 ? t )OA ? tOB ,则 AP ? t AB ,即 P 在 A l 上. O 1 其中①式可称为直线 l 的向量参数方程式,当 t ? 时, 2 ??? ? ???? 1 ??? ??? ? ? ? 点 M 是 AB 的中点,则 OM ? (OA ? OB) ,这是向量 AB 的中点的向量表达式.可推广到 2 ???? 1 ??? ??? ? ? ? ?OAB 中,若 M 为边 AB 中点,则有 OM ? (OA ? OB) 存在. 2
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(二)典例分析
【例16】 已知 □ ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交 E , O 是任意一点. ??? ??? ???? ???? ? ? ??? ? 求证: OA + OB + OC + OD = 4OE

【例17】 如图,已知 ?ABC 的面积为 14cm2 , D 、 E 分别为边 AB 、 BC 上的点, 且 AD : DB ? DE : CE ? 2:1 , AE 、 CD 交于点 P ,求 ?APC 的面积.
C E P

A

D

B

??? ? ? 【例18】 如图,平行四边形 ABCD 中, E、F 分别是 BC、DC 的中点, G 为 DE、BF 的交点,若 AB = a , ? ? ???? ? ???? ??? ? ???? AD = b ,试以 a , b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG .
D F G A B E C

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【例19】 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.

【例20】 已知五边形 ABCDE , M 、 N 、 P 、 Q 分别是边 AB 、 CD 、 BC 、 DE 的中点, K 、 H 分别是 MN 1 和 PQ 的中点,求证: KH 平行且等于 AE . 4
A M B K P C H N D Q E

【例21】 四边形 ABCD 中, E , F , M , N 分别为 BC , AD , BD , AC 的中点, O 为 MN 的中点,试用 向量的方法证明: O 也是 EF 的中点.

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【例22】 ⑴(2008 年广东高考) 在平行四边形 ABCD 中, 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, 的延长线与 CD 交于点 F . 若 AC AE ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ) A a , BD ? b ,则 AF ? ( C ? 1? 1? 2? 1? A. a ? b B. a ? b 4 2 3 3 C 1? 1? 1? 2? D C. a ? b D. a ? b 45? 2 4 3 3 E ⑵(2009 年湖南高考) 60? 如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若 ???? ??? ? ???? , y= . A D ? x A B y A, 则 x ? ? C A
B

【例23】 (2009 年天津高考改编)
???? ???? 1 ??? 2 ??? ? ? ? 若 等 边 ?ABC 的 边 长 为 2 3 , 平 面 内 一 点 M 满 足 CM ? CB ? CA , 则 MA ? 6 3 ??? ??? ? ? ???? . (用 CB , CA 向量表示) MB ?



家庭作业

习题1.

根据图示填空: ? ? ? ? ? ? ⑴ a?b ? ;⑵ e ? b ? d ?


D e B

A a b m c E d C

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习题2.

化简下列各式: ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ⑴ 7(a ? b) ? 8(a ? b) ;⑵ 2(a ? 2b ? c) ? (4a ? 3b ? 2c) 6

习题3.

??? ? ⑴ 设向量 AB ? (2, 3) ,且点 A 的坐标为 (1, 2) ,则点 B 的坐标为. ? ? ? ? ⑵ 已知 a ? ( x ? 2, 3), b ? (1, y ? 2) ,若 a ? b ,则 x ? ,y?



习题4.

? ? ⑴ 已知 a ? (4, 2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为 ; ? ? ? ? ⑵ 若 a ? (2, 1) , b ? (?3, 4) 则 3a ? 4b 的坐标为_________.

月测备选

习题1.

??? ? 已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A , C ) ,则 AP 等于( ) ??? ???? ? A. ? ( AB ? AD) , ? ? (0, 1) ??? ??? ? ? ? 2? B. ? ( AB ? BC ) , ? ? ? 0, ? ? 2 ? ? ? ??? ???? ? ? 2? C. ? ( AB ? AD) , ? ? ? 0, ? ? 2 ? ? ? ??? ??? ? ? ? 2? D. ? ( AB ? BC ) , ? ? ? 0, ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a ? b ? 2 ,则 a ? b 等于( )
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⑴(2003 年河南)

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A. 1

B. 2

C. 5

D. 6

习题2.

已知:四点 A(5, 1) , B(3, 4) , C (1, 3) , D(5, ? 3) .求证:四边形 ABCD 是梯形.

习题3.

如图, E 、 F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AD 、CD 的中点,BE 、BF 与对角线 AC 分别交于点 R 和点 T .求证 AR ? RT ? TC . (向量法)
D E R A B F T

C

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