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2010年全国高中数学联赛二试试题及答案解析


2010 年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准(A 卷)
说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分 标准适当划分档次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次。 一、 (本题满分 40 分) 如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点) ,D 是线 段 AK 延长线上一点, 直线 BD 与 AC 交于点 N, 直线 CD 与 AB 交于点 M. 求证: 若 OK⊥MN, 则 A,B,D,C 四点共圆. 证明:用反证法.若 A,B,D,C 不四点共圆,设 A 三角形 ABC 的外接圆与 AD 交于点 E,连接 BE 并延长交 直线 AN 于点 Q, 连接 CE 并延长交直线 AM 于点 P, 连接 PQ. 因为 PK = P 的幂(关于⊙O)+ K 的幂(关于⊙O)
2

O

= ( PO ? r
2

2

) + ( KO
2 2 2

2

? r ),
2 2

B

EK D

C

同理 所以 故

QK = ( QO ? r
2 2

) + ( KO
2

?r
2

2

),
M

P

Q

N

PO ? PK = QO ? QK ,
OK ⊥ PQ .
由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是

(10 分)

AQ AP = . QN PM
由梅内劳斯(Menelaus)定理,得



NB DE AQ ? ? = 1, BD EA QN
MC DE AP ? ? = 1. CD EA PM
由①,②,③可得





NB MC , = BD CD
所以

(30 分)

ND MD , 故△DMN ∽ △DCB, 于是 ∠DMN = ∠DCB , 所以 BC∥MN, 故 OK⊥BC, = BD DC
(40 分)

即 K 为 BC 的中点,矛盾!从而 A, B, D, C 四点共圆.

注 1:“ PK = P 的幂(关于⊙O) + K 的幂(关于⊙O)”的证明:延长 PK 至点 F,使
2



PK ? KF = AK ? KE ,
则 P,E,F,A 四点共圆,故



∠PFE = ∠PAE = ∠BCE ,
从而 E,C,F,K 四点共圆,于是

PK ? PF = PE ? PC ,
⑤-④,得



PK 2 = PE ? PC ? AK ? KE
= P 的幂(关于⊙O) + K 的幂(关于⊙O) .

注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似.
A

O F B EK D P C

Q

N M

二、 (本题满分 40 分) 设 k 是给定的正整数, r = k +

1 (l ) (1) .记 f ( r ) = f ( r ) = r ? ?r ? ? , f (r ) = 2

f ( f (l ?1) (r )), l ≥ 2 .证明:存在正整数 m,使得 f ( m ) (r ) 为一个整数.这里, ? ? x? ? 表示不小
于实数 x 的最小整数,例如: ? ? = 1 , ? ?1? ? = 1. 2 则当 m = v2 ( k ) + 1 时, f 证明: 记 v2 ( n) 表示正整数 n 所含的 2 的幂次. 下面我们对 v2 ( k ) = v 用数学归纳法. 当 v = 0 时, k 为奇数,k + 1 为偶数, 此时 f (r ) = ? k + 整数. 假设命题对 v ? 1(v ≥ 1) 成立. 对于 v ≥ 1 ,设 k 的二进制表示具有形式
(m)

?1? ? ?

(r ) 为整数.

? ?

1?? 1? ? 1? ? ? k + ? = ? k + ? ( k + 1) 为 2?? 2? ? 2?
(10 分)

k = 2v + α v +1 ? 2v +1 + α v + 2 ? 2v + 2 + " ,

这里, α i = 0 或者 1, i = v + 1, v + 2, " . 于是

(20 分)

1?? 1? ? 1? ? f (r ) = ? k + ? ? k + ? = ? k + ? ( k + 1) 2?? 2? ? 2? ? 1 k + + k2 + k 2 2 1 = + 2v ?1 + (α v +1 + 1) ? 2v + (α v +1 + α v + 2 ) ? 2v +1 + " + 22 v + " 2 1 ① = k′ + , 2 =

这里 k ′ = 2

v ?1

显然 k ′ 中所含的 2 的幂次 + (α v +1 + 1) ? 2v + (α v +1 + α v + 2 ) ? 2v +1 + " + 22v + " .

为 v ? 1 .故由归纳假设知, r ′ = k ′ + 个整数,这就完成了归纳证明. 三、 (本题满分 50 分)

1 ( v +1) 经过 f 的 v 次迭代得到整数,由①知, f (r ) 是一 2
(40 分)

给定整数 n > 2 ,设正实数 a1 , a2 , " , an 满足 ak ≤ 1, k = 1, 2, " , n ,记

Ak =
求证:

a1 + a2 + " + ak , k = 1, 2, " , n . k
n n

∑ ak ? ∑ Ak <
k =1 k =1

n ?1 . 2

证明:由 0 < ak ≤ 1 知,对 1 ≤ k ≤ n ? 1 ,有

0 < ∑ ai ≤ k ,
i =1

k

0<

i = k +1

∑a

n

i

≤ n?k .

(10 分)

注意到当 x, y > 0 时,有 x ? y < max { x, y} ,于是对 1 ≤ k ≤ n ? 1 ,有

1 n ?1 1? k An ? Ak = ? ? ? ∑ ai + ∑ ai n i = k +1 ? n k ? i =1
=

1 n ?1 1? k ai ? ? ? ? ∑ ai ∑ n i = k +1 ? k n ? i =1

?1 n ?1 1? k ? < max ? ∑ ai , ? ? ? ∑ ai ? ? k n ? i =1 ? ? n i = k +1 ?1 ?1 1? ? ≤ max ? (n ? k ), ? ? ? k ? ?k n? ? ?n

= 1?
n n

k , n
n

(30 分)



∑ ak ? ∑ Ak = nAn ? ∑ Ak
k =1 k =1 k =1

=

∑( A
k =1

n ?1

n

? Ak ) ≤ ∑ An ? Ak
k =1

n ?1

n ?1 ? k ? n ?1 < ∑ ?1 ? ? = . 2 n? k =1 ?

(50 分)

四、 (本题满分 50 分) 一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A1 A2 " An 的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中的一 个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中 至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置? 解:对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们 所在的边上标上 a,如果颜色不同,则标上 b,如果数字和颜色都相同,则标上 c.于是对 ,按照边上的字母可以依次确定点 A2 , A3 , " , An 上的设 于给定的点 A1 上的设置(共有 4 种) 置.为了使得最终回到 A1 时的设置与初始时相同,标有 a 和 b 的边都是偶数条.所以这种 密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记 a,b,c,使得标有 a 和 b 的边都是偶 数条的方法数的 4 倍. 设标有 a 的边有 2 i 条,0 ≤ i ≤ ? ? ,标有 b 的边有 2 j 条,0 ≤ j ≤ ? 2
2i 2j

(20 分)

?n? ? ?

? n ? 2i ? .选取 2 i ? 2 ? ?

条边标记 a 的有 Cn 种方法,在余下的边中取出 2 j 条边标记 b 的有 Cn ? 2i 种方法,其余的边 标记 c.由乘法原理,此时共有 Cn Cn ? 2i 种标记方法.对 i,j 求和,密码锁的所有不同的密 码设置方法数为
2i 2j

4∑
i =0

?n? ?2? ? ?

? n ?2i ? ? ? ? ? ? 2i ? 2 ? 2 j ? ? Cn ∑ C n ? 2 i ? . j =0 ? ? ? ?



这里我们约定 C0 = 1 .
0

(30 分)

当 n 为奇数时, n ? 2 i > 0 ,此时

? n ? 2i ? ? ? ? 2 ?


j =0

2j n ? 2 i ?1 . Cn ? 2i = 2



代入①式中,得

4∑
i =0 n

?n? ?2? ? ?

? n ? 2i ? ?n? ?n? ? ? ? 2 ? ?2? ?2? ? ? ? ? ? ? ? 2i 2j ? 2 i n ? 2 i ?1 C C 4 C 2 2 = = ( ) ( Cn2i 2n?2i ) ∑ ∑ ∑ n n ? 2 i n ? ? j =0 i =0 i =0 ? ? ? ? n

k n?k k n?k = ∑ Cn 2 + ∑ Cn 2 (?1) k = (2 + 1) n + (2 ? 1) n k =0 k =0

= 3n + 1 .
当 n 为偶数时,若 i <

(40 分)

n n ,则②式仍然成立;若 i = ,则正 n 边形的所有边都标记 a, 2 2

此时只有一种标记方法.于是,当 n 为偶数时,所有不同的密码设置的方法数为

4∑
i =0

?n? ?2? ? ?

n? ? n ? 2i ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? 2i ? 2 i n ? 2 i ?1 ? 2j ? )? ? Cn ∑ C n ? 2 i ? = 4 × ? 1 + ∑ ( Cn 2 j =0 i =0 ? ? ? ? ? ? ? ? ?n? ?2? ? ? i =0

2 i n ? 2 i ?1 = 2 + 4 ∑ ( Cn 2 ) = 3n + 3 .

综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当 n 为奇数时有 3 + 1 种;当
n

n 为偶数时有 3 + 3 种.
n

(50 分)


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