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概率统计2-1选修1


12-1 选修 1
时间:60 分钟 满分:100 分 一、选择题(8×5=40 分) 1.某校高三年级有男生 500 人,女生 400 人.为了解该年级学生的健康情况,从男生 中任意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20 人进行调查,这种抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样法 B.抽签法 C.随机数表法 D.分层抽样法 命题立意:本题主要考查分层抽样. 答案:D 50

0 25 解析: = ,根据分层抽样的定义可知,该抽样为按比例的抽样. 400 20 2.(2009·湖北省部分重点中学高三第二次联考)某大型超市销售的乳类商品有四种:液 态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉,且液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有 40 种、10 种、30 种、20 种不同的品牌,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行三聚氰胺安全 检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案:C 解析: ∵乳类商品品牌总数为 40+10+30+20=100 种, ∴用分层抽样方法抽取一个容 10 20 量为 20 的样本,则应抽取酸奶和成人奶粉:20×( + )=6 种,故选 C. 100 100 3.从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用下面的方法选取,先用简单随机抽 样法从 2004 人中剔除 4 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率 ( ) A.不全相等 B.均不相等 25 1 C.都相等且为 D.都相等且为 1002 40 答案:C 解析:抽样的原则是每个个体被抽到的概率都相等,所以 25 每人入选的概率为 . 1002 4.(2009·山东青岛一模)学校为了调查学生在课外读物方面 的支出情况,抽出一个容量为 n 的样本,其频率分布直方图如 右图所示,其中支出在[50,60)元的同学有 30 人,则 n 的值为 ( ) A.90 B.100 C.900 D.1000 答案:B 解析:由频率分布直方图可知支出在[50,60)元的频率为: 10×(1-0.01-0.024-0.036)=0.3, 30 所以 0.03×10= ?n=100. n 5.(2009·山东潍坊一模)某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为 9.4、9.4、9.4、9.6、 9.7,则该射手成绩的方差是 ( ) A.0.127 B.0.016 C.0.08 D.0.216 答案:B 9.4+9.4+9.4+9.6+9.7 解析:均值: X = =9.5, 5

3 1 1 方差 D(X)=(9.4-9.5)2× +(9.6-9.5)2× +(9.7-9.5)2× =0.016. 5 5 5 6.(2009·江西南昌一模)某小组共有 8 名同学,其中男生 6 人,女生 2 人,现从中按性 别分层随机抽取 4 人参加一项公益活动,则不同的抽取方法有 ( ) A.40 种 B.70 种 C.80 种 D.240 种 答案:A 3 1 解析:8 名同学中男生占 ,女生占 ,所以按性别分层随机抽取 4 人,应抽取男生 3 人, 4 4 女生 1 人,不同的抽取方法有: C3C1=40(种). 6 2 7.某鱼贩一次贩运草鱼、青鱼、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼各有 80 条、20 条、40 条、40 条、 20 条,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行重量检测,若采用分层抽样的方法抽取样本, 则抽取的青鱼与鲤鱼共有 ( ) A.6 条 B.8 条 C.10 条 D.12 条 答案:A 20+40 x 解析: = ?x=6, 20 80+20+40+40+20 故选 A. 8.(2009·南昌市高三年级调研测试卷)为了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图),那么 在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是 ( )

A.30 B.60 C.70 D.80 答案:C 解析:依题意得在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是 100×(0.01+0.02+ 0.04)×10=70,选 C. 二、填空题(4×5=20 分) 9.(2009·黑龙江大庆一模)某校有教师 200 名,男学生 1800 名,女学生 1600 名,现用 分层抽样的方法从所有师生中抽出一个容量为 n 的样本,已知女学生中抽出的人数为 80, 则 n=________. 答案:180 1600 80 解析: = ?n=180. 200+1800+1600 n 10.如图是一个容量为 200 的样本的频率分布直方图,请根据图形中的数据填空:

(1)样本数据落在范围[5,9)的频率为________; (2)样本数据落在范围[9,13)的频数为________. 答案:(1)0.32 (2)72 频率 解析:频率= ×组距=0.32;频数=频率×样本总数=72. 组距

11.用简单随机抽样方法从含有 n 个个体的总体中,逐个抽取一个容量为 3 的样本, 对 1 其中个体 a 在第一次就被抽到的概率为 , 那么 n=__________, 且在整个抽样过程中个体 a 8 被抽到的概率为__________. 3 答案:8 8 1 1 解析:由已知得 = ?n=8. n 8 C1C2 3 a 被抽到的概率为 1 3 7= . C8 8 12.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中 位数为 10.5,若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是____________. 答案:10.5、10.5 解析:∵总体的个体数是 10,且中位数是 10.5, a+b ∴ =10.5,即 a+b=21. 2 ∴总体的平均数是 10. 要使总体的方差最小,只要(a-10)2+(b-10)2 最小, a+b-20 2 1 即(a-10)2+(b-10)2≥2( )= , 2 2 当且仅当 a=b 时取“=”,∴a=b=10.5. 三、解答题(4×10=40 分) 13.某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加 其中一组.在参加活动的职工中,青年人占 42.5%,中年人占 47.5%,老年人占 10%.登山组 1 的职工占参加活动总人数的 ,且该组中,青年人占 50%,中年人占 40%,老年人占 10%. 4 为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度, 现用分层抽样方法从参加活动的 全体职工中抽取一个容量为 200 的样本.试确定 (1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数. 解析:(1)设登山组人数为 x,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 a、 x·40%+3xb x·10%+3xc b、c,则有 =47.5%, =10%,解得 b=50%,c=10%.故 a=100%- 4x 4x 50%-10%=40%,即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 40%、50%、10%. 3 (2) 游 泳 组 中 , 抽 取 的 青 年 人 数 为 200× ×40% = 60( 人 ) ; 抽 取 的 中 年 人 数 为 4 3 3 200× ×50%=75(人);抽取的老年人数为 200× ×10%=15(人). 4 4 14.(2009·天津,18)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方 法从 A,B,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查.已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂. (1)求从 A,B,C 区中应分别抽取的工厂个数; (2)若从抽得的 7 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比,用列举法计算这 2 个 工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率. 命题意图: 本小题主要考查分层抽样、 用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件 发生的概率等基础知识,考查运用统计、概率知识解决简单的实际问题的能力. 7 1 解析:(1)工厂总数为 18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数的比为 = ,所以 63 9 从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2. (2)设 A1,A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂,B1,B2,B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂,C1, C2 为在 C 区中抽得的 2 个工厂.在这 7 个工厂中随机地抽取 2 个,全部可能的结果有:(A1, A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,

C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3, C1),(B3,C2),(C1,C2),共有 21 种. 随机抽取的 2 个工厂至少有 1 个来自 A 区的结果(记为事件 X)有:(A1,A2),(A1,B1), (A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2), 11 共有 11 种.所以这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率为 P(X)= . 21 15.(2009·山东潍坊一模)从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高, 据测量被测学生身高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第 一组[155,160);第二组[160,165);…;第八组[190,195).如下图是按上述分组方法得到的频 率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次 构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别 为 x、y,求满足:“|x-y|≤5”的事件概率.

解析:(1)由频率分布直方图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5= 0.82,后三组频率为 1-0.82=0.18,人数为 0.18×50=9(人). 这所学校高三年级全体男生身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 800×0.18=144(人). (2)由频率分布直方图得第八组频率为 0.008×5=0.04,人数为 0.04×50=2(人), 设第六组人数为 m,则第七组人数为 9-2-m=7-m,又 m+2=2×(7-m), ∴m=4,所以第六组人数为 4 人,第七组人数为 3 人,频率分别为 0.08,0.06. 频率 分别为 0.016,0.012,(画图如图). 组距

(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为 4 人,分别设为 a、b、c、d,身高在[190,195]内 的人数为 2 人,设为 A、B, 若 x、y∈[180,185)内时,有 ab,ac,ad,bc,bd,cd 共 6 种情况; 若 x、y∈[190,195)内时,有 AB 1 种情况; 若 x、y 分别 bB,在[180,185)和[190,195]内时,有 aA,bA,cA,dA,aB,cB,dB 共 8

种情况.所以基本事件总数为 6+1+8=15 种, 7 . 15 16.(2009·山东青岛一模)育新中学的高二一班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师 按照分层抽样的方法组成了一个 4 人的课外兴趣小组. (1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出 2 名同学做某项试验,方法是先 从小组里选出 1 名同学做试验, 该同学做完后, 再从小组内剩下的同学中选一名同学做试验, 求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率; (3)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为 68,70,71,72,74,第二次做试验 的同学得到的试验数据为 69,70,70,72,74,请问哪位同学的试验更稳定?并说明理由. n 4 1 解析:(1)P= = = , m 60 15 1 ∴某同学被抽到的概率为 . 15 45 x 设有 x 名男同学,则 = ,∴x=3. 60 4 ∴男、女同学的人数分别为 3,1. (2)把 3 名男同学和 1 名女同学记为 a1、a2、a3、b,则选取两名同学的基本事件有 事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件个数有 6+1=7 种,∴P(|x-y|≤5)= (a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b), (b,a1),(b,a2),(b,a3)共 12 种,其中有一名女同学的有 6 种, 6 1 ∴选出的 2 名同学中恰有一名女同学的概率为 P= = . 12 2 68+70+71+72+74 (3) x1 = =71, 5 x2 =69+70+70+72+74=71, 5 2 2 2 2 =(68-71) +(70-71) +(71-71) s1 5 2 (72-71) +(74-71)2 + =4, 5 (69-71)2+(70-71)2+(70-71)2 s2= 2 5 (72-71)2+(74-71)2 + =3.2, 5 ∴第二次做试验的同学的试验更稳定.


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