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河南省郑州市届高三数学第三次模拟考试试题理-精


2016 年高中毕业年级第三次质量预测 理科数学试题卷
一、 选择题 1. 设复数 A. 1 答案:A

i?2 ? a ? bi (a, b ? R) 则 a+b=() 1? i
B. 2 C. -1 D. -2

解析: z ? ?

1 3 ? i ? a ?b ?1 2 2
x

/>
2. 命题“ ?x0 ? R, 2 0 ? 0 ”的否定是( ) A.不存在 x0 ? R, 2 0 ? 0
x

B.存在 x0 ? R, 2 0 ? 0
x

C. ?x0 ? R, 2 0 ? 0
x

D. ?x0 ? R, 2 0 ? 0
x

答案:D 解析:考查存在量词的否定 3. 已知集合 M ? {x | y ? lg A. (0,1) 答案:C 解析:M 集合求函数定义域 0 ? x ? 1 ,N 集合求函 数值域 y ? 2 4. 下列说法中正确的是 ①设随机变量 X 服从二项分布 B(6, ) ,则 P ( X ? 3) ? B. [1, ??)

1? x } , N ? {y | y ? x2 ? 2 x ? 3} ,则 (CR M) ? N ? ( ) x
C. [2, ??) D. (??, 0]U[1, ??)

1 2

5 16

②已知随机变量 X 服从正态分布 N (2, ? 2 ) 且 P( X ? 4) ? 0.9, 则 P(0 ? X ? 2) ? 0.4 ③

?

0

?1

1 ? x 2 dx ? ?

1

0

1 ? x 2 dx ?

?
4

④ E (2 X ? 3) ? 2E ( X ) ? 3; D(2 X ? 3) ? 2 D( X ) ? 3 A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①③ 答案:A 解析:考查二项分布、正态分布以及定积分的几何意义 只有④中方差的计算有误 5. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3 C. 2? ?

2 3 3

D. 4? ?

2 3 3

答案:C 解析:这是正四棱锥和圆柱的组合体 6. 已知 P 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1上任意一点,过点 P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为 A,B, 3
1

则 PA ? PB 的值是() A. ?

3 8

B.

3 16

C. ?

3 8

D. 不能确定

答案:A 解析:点 P 选取双曲线的顶点,则顶点到渐近线的距离均为 b/e

b2 1 1 ? ? ? tan ? ? ? 2? ? ,因此两垂线夹角 120 度 2 a 3 3 3
数量积 PA ? PB ? ( ) cos
2

b e

2? 3 ?? 3 8

7. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 值是() A.1007 B.2015 C.2016 D.3024 答案:D 解析: S ? 2016 ? 2 ? 6 ? ... ? 2014 ? 4 ? 8 ? ... ? 2016 ? 3024

?x ? y ?1 ? 0 1 2 1 ? 2 8. 若不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的区域为Ω , 不等式 ( x ? ) ? y ? 表示的区 2 4 ? y ? 1/ 2 ? 0 ?
域为Γ ,向Ω 区域均匀随机撒 360 颗芝麻,则落在Γ 区域中芝麻数约为 A.114 B.10 C.150 D.50 答案:A 解析:考查几何概型,绘图求出面积比 Ω 区域面积 S1 ?

1 3 ? 1 3? ? ? ? 23 4 22 8 16 1 3? 9 3? ? 2 ): ? 入选概率为面积比 ( ? 8 16 4 36 9. 已知球的直径 CS=4,A,B 在球面上,AB=2, ?CSA ? ?CSB ? 45? 则棱锥 S-ABC 的体积为( )
Γ 区域与Ω 区域的公共面积 S 2 ? A.

3 3 9 ? ? 2 2 4

3 3

B.

2 3 3

C.

4 3 3

D.

5 3 3

答案:C 解析:考查二面角 如图 所示,OA=OB=AB=2,且 SC⊥OAB 平面 因此体积 V ?

1 3 2 4 3 ? ?2 ?4 ? 3 4 3

10. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这 3 种题型进行改编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( ) A.150 B.180 答案:A 解析:考查鸽巢问题 11. 已知函数 f ( x ) ? sin( C. 200 D.280

?
3

? x) 则要得到其导函数的图像,只需将函数 f(x)的图像
2

A. 向左平移 C. 向左平移 答案:C

? 个单位 2

2? 个单位 3

B. 向右平移 D. 向右平移

? 个单位 2

2? 个单位 3

解析:导函数 f '( x) ? ? cos(

?

? x) ? sin( ? x ? ) 3 3 2

?

?

? 2x ? 1 x?0 x 12. 已知函数 f ( x) ? ? ,把函数 g ( x ) ? f ( x) ? 的偶数零点按从小到大的顺序排列成 2 ? f ( x ? 2) ? 1 x ? 0
一个数列,该数列的前 10 项的和等于 A. 45 答案:C B. 55
x

C. 90

D. 110

解析:当 x ? 0 时,令 2 ? 1 ? x / 2 解得 x=-1 或 0,按要求取偶数零点 a1 ? 0 当 x>0 时, f ( x ? 2) ? 1 ? x / 2 解得 x=2, a2 ? 2 ,依次类推 an ? 2(n ? 1) 因此这是首项为 0,公差为 2 的等差数列 故有 S10 ? na1 ? 二、 填空题 13. 若 (2 ? x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ... ? a5 x5 则 a1 ? a2 ? ... ? a5 ? ___ 答案:-31 解析:令 x=0 取首项 32 令 x=1 取前 n 项和为 1,作差得解 14. 已知为数列 {an } , {bn } 满足 a1 ?

n(n ? 1) d ? 90 2

1 bn , an ? bn ? 1 , bn ?1 ? , n ? N * ,则 b2016 ? ___ 2 2 1 ? an

答案:

2016 2017 1 2

解析:首先确定首项 a1 ? b1 ? 其次换元 an ? 1 ? bn , bn ?1 ? 因此 bn ?

bn 1 ? 2 1 ? (1 ? bn ) 2 ? bn

n n ?1 a 2 x ? x ? 1 有两个极值点,则 a 的取值范围为___ 2

15. 函数 f ( x) ? x ln x ? 答案: (0,1/ e)

1 ? a ? 0 得一阶导函数有极大值点 x ? 1/ a x 1 1 由 于 f '(0) ? ??, f '(??) ? ?? ,因此原函数要有两个极值点,只要 f '( ) ? ln ? 1 ? 0 a a
解析:求导 f '( x) ? ln x ? ax ,二阶导 f ''( x ) ?
3

解得 0 ? a ?

1 e

16. 设函数 f ( x) ? 3 sin 答案: m ? 3
2

?x
m

2 ,若存在 f(x)的极值点满足 x0 ? [ f ( x0 )]2 ? m2 ,则 m 的取值范围是______

解析: f '( x) ?

? 3
m

cos

?x
m

,存在极值点满足 cos
2 2 2

? x0
m

?0

2 因此 m2 ? [ x0 ? f 2 ( x0 )]min ,即 m ? x0 ? 3sin

? x0
m

2 ? x0 ? 3(1 ? cos 2

? x0
m

2 ) ? x0 ?3

三、 解答题 17. 设函数 f ( x) ? 2sin x cos
2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x=π 处取得最小值,

且满足 cos 2C ? cos 2 A ? 2sin( (1)求 φ 的值;

?

? C ) sin( ? C ) . 3 3

?

(2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 解析:(1)首先化简原函数

2, f ( A) ?

3 ,求角 C. 2

f ( x) ? sin x(1 ? cos ? ) ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
由 f (? ) ? sin(? ? ? ) ? ? sin ? ? ?1 ,解得 ? ? (2) f ( A) ? sin( A ?

?
2

?
2

) ? cos A ?

3 ? ? A? 2 6

由正弦定理得 当B ?

a b b sin A 2 ? ? sin B ? ? sin A sin B a 2

?

4 4 6 3? 3? ? ? ? ? 当B ? 时C ? ? ? 4 4 6 12

时, C ? ? ?

?

?

?

?

7? 12

18. 某电视台推出一档游戏类综艺节目,选手面对 1-5 号五扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一 段音乐,选手需正确回答这首歌的名字,回答正确,大门打开,并获得相应的家庭梦想基金,回答每 一扇门后,选手可自由选择带着目前奖金离开,还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金,但是 一旦回答错误,游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零;整个游戏过程中,选手有一次求助机会, 选手可以询问亲友团成员以获得正确答案. 1-5 号门对应的家庭梦想基金依次为 3000 元,6000 元,8000 元、12000 元、24000 元(以上基金金额为打 开大门后的累积金额)设某选手正确回答每扇门的歌曲名字的概率均为 Pi 且 P i ?

6?i (i ? 1, 2,...,5) ,亲 7?i

友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为 1/5,该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面 的门的概率均为 1/2; (1)求选手在第三扇门使用求助且最终获得 12000 元家庭梦想基金的概率;
4

(2)若选手在整个游戏过程中不使用求助,且获得的家庭梦想基金数额为 X 元,求 X 的分布列和数学期望。 解析:(1)记事件“选手正确回答第 i 扇门歌曲”为 Ai 记事件“亲友团正确回答歌曲名字”为 B 记事件“回答正确后选择继续挑战”为 C 则对应事件的概率分别为 P( A1 ) ?

5 4 3 2 1 , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? , P( A4 ) ? , P( A5 ) ? 6 5 4 3 2

1 1 P( B) ? , P(C ) ? 5 2
因此题目所求概率为 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A4 ) P ( B ) P (C ) ?
4

54121 1 1 ? 4 654352 720

注意:第三扇门选手答不出才求助 (2)X 可能的取值有:0,3000,6000,8000,12000,24000

51 5 54 1 1 543 1 1 ? P ( X ? 6000) ? ? P( X ? 8000) ? ? 2 3 6 2 12 652 6 6 5 4 2 16 5432 1 1 54321 1 1 P( X ? 12000) ? ? P( X ? 24000) ? ? 6 5 4 3 24 48 6 5 4 3 2 24 96 31 P( X ? 0) ? 1 ? P(3000) ? P(6000) ? P(8000) ? P(12000) ? P(24000) ? 对立事件 96 P ( X ? 3000) ?
因此 X 的分布列为 X P 0 31/96 3000 5/12 6000 1/6 8000 1/16 12000 1 /48 24000 1/96

故有 EX ? 3250 注意:最后一次答对无需再选择 19. 如图,四棱柱 ABCD-A’B’C’D’中,侧棱 AA’⊥ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA’=AB=2,E 为棱 AA’的中点. (1)求证:B’C’⊥CE; (2)求二面角 B’-CE-C’的余弦值; (3)设点 M 在线段 C’E 上,且直线 AM 与平面 ADD’A’所成角的正弦值为 线段 AM 的长. 解析:(1)依题意得,直四棱柱的底面为直角梯形 以 A 为原点建系,则有

2 ,求 6

B '(0, 2, 2),C'(1, 2,1),C(1,0,1), E(0,1,0) B ' C ' ? (1,0, ?1), CE ? (?1,1, ?1) ,由数量积为 0,垂直得证
(2)设平面 B’CE 法向量为 m,满足

?m ? B ' C ? 0 ?m ? (1, ?2, ?1) ? 0 解得 m ? (?3, ?2,1) ?? ? ?m ? CE ? 0 ?m ? (?1,1, ?1) ? 0
由(1)知 B’C’⊥CE,且 B’C’⊥CC’,故 B’C’是平面 C’CE 的一个法向量 二面角余弦值 cos ? m, B ' C ' ??

?3 ? 1 2 ?? 2 14 7

5

(3)设 EM ? ? EC ' ? (? , ? , ? ), ? ?[0,1] ,则 AM ? AE ? EM ? (0,1,0) ? (? , ? , ? ) ? (? ,1 ? ? , ? ) 平面 ADD’A’的一个法向量为 n=(0,0,1),故

cos ? n, AM ??

?
2? ? (1 ? ? )
2 2

?

2 6

整理得 (3? ? 1)(5? ? 1) ? 0 取? ?

1 1 4 1 , | AM |?| ( , , ) |? 2 3 3 3 3

y 2 x2 20. 已知 F1,F2 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上下焦点 ,其中 F1 也是抛物线 x2 ? 4 y 的焦点,点 M a b
是椭圆与抛物线在第二象限的交点,且 MF1=5/3. (1)求椭圆的方程; (2)已知点 P(1,3)和圆 O : x 2 ? y 2 ? b2 ,过点 P 的动直 线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A,B,在线段 AB 取一 点 Q,满足 AP ? ?? PB , AQ ? ?QB , ? ? 0且? ? ?1 ,探究是否存在一条直线使得点 Q 总在该直线上, 若存在求出该直线方程。 解析:(1)焦点 F1 (0,1) ,设交点 M ( x0 , y0 ) ,则

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

MF1 ? y0 ? 1 ?

5 2 8 2 ? y0 ? ,代入抛物线方程得 M (? , ) 3 3 3 3

a 2 ? b2 ? 1 且

4 8 x2 y 2 ? ? 1 ? ?1 解得 9a 2 3b 2 4 3

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), Q( x, y) ,则 由 AP ? ?? PB 得 1 ? x1 ? ? (1 ? x2 ) 和 3 ? y1 ? ? (3 ? y2 ) 由 AQ ? ?QB 得 x ? x1 ? ? ( x2 ? x) 和 y ? y1 ? ? ( y2 ? y) 整理得 ?

? x1 ? ? x2 ? 1 ? ? ? x1 ? ? x2 ? (1 ? ? ) x 和? ? y1 ? ? y2 ? 3(1 ? ? ) ? y1 ? ? y2 ? (1 ? ? ) y

2 2 2 2 ? ? x1 ? ? x2 ? (1 ? ? ) x 两式相乘得 ? 2 2 2 2 ? ? y1 ? ? y2 ? 3 y (1 ? ? )

两式求和得 x1 ? y1 ? ? ( x2 ? y2 ) ? (1 ? ? )( x ? 3 y)
2 2 2 2 2 2

A,B 两点均满足 x ? y ? 3 ,故有 x ? 3 y ? 3
2 2

即点 Q 总在该直线上
6

21. 设函数 f ( x) ? x ?

1 ? 2m ln x(m ? R ) x

(1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有两个极值点是 x1 , x2 ,过点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为 k,问是否存在 m 使得 k=2-2m?若存在,求出 m 的值,若不存在,说明理由。 解析:(1)首先确定定义域 x>0

f '( x) ?

x 2 ? 2mx ? 1 ,令 h( x) ? x2 ? 2mx ? 1 x2
f '( x) ? 0 ,原函数在定义域上单调递增

当 ? ? 0 时,即 m ? [?1,1]

当 m<-1 时, ? ? 0 ,两根均为负,原函数在定义域上单调递增 当 m>1 时, ? ? 0 ,两根均为正,故 ( x1 , x2 ) ? ,其余区间均单调递增 (2)由(1)知函数有两个极值点时 m>1 且 x1 ? x2 ? 2m, x1 x2 ? 1 AB 斜率 k ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ln x1 ? ln x2 ? 2 ? 2m x2 ? x1 x1 ? x2 ln x1 ? ln x2 ?1 x1 ? x2

若 k=2-2m 则

两根均为正且 x1 x2 ? 1 ,若 x1 ? x2 ,则 x1 ? 1, x2 ? 1 消元得 ln

1 1 ? ln x2 ? ? x2 x2 x2

整理得 x2 ? 1/ x2 ? 2ln x2 ? 0 由(1)知 f ( x) ? x ?

1 ? 2 ln x 在区间 (1, ??) 上单调递增 x

因此 f ( x) ? f (1) ? 0 ,函数没有零点,故这样的 m 值不存在 四、 选作题(极坐标与参数方程) 22. 如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接图于 F,G 两点,若 CF//AB. (1)证明 CD=BC; (2) ?BCD ? ?GBD 证明 (1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以 DE∥BC.又已知 CF∥AB,故四边形 BCFD 是平行四边 形,所以 CF=BD=AD.而 CF∥AD,连结 AF,所以四边形 ADCF 是平行四边形,故 CD=AF. 因为 CF∥AB,所以 BC=AF,故 CD=BC.———————5 分 (2)因为 FG∥BC,故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF,所以 GB=BD.所以∠BGD=∠BDG.
7

由 BC=CD 知∠CBD=∠CDB. 而∠DGB=∠EFC=∠DBC, 故△BCD∽△GBD.———————10 分 23. 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为 (2, 0), (

? x ? 2 ? 2 cos ? 2 3 ? ? . , ) ,圆 C 的参数方程为 ? 3 2 ? ? y ? ? 3 ? 2sin ?

(1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 解析:(1)极坐标与直角坐 标相互转换

M (2, 0), N (0,

2 1 ) ,因此 MN 中点 (1, ) 3 3

故直线 OP 的直角方程为 3 y ? x

(2)由截距式得到直线 MN 的方程为

x 3y ? ?1 2 2

圆的直角方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4

3 |1 ? ? 1| 3 2 圆心 (2, ? 3) 到直线 MN 的距离 d ? ? 2 1 3 ? 4 4
由于 d<r,因此直线 l 与圆 C 相交 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|3x-1|+ax+3. (1)若 a=1,解不等式 f(x)≤4; (2)若函数 f(x)有最小值,求实数 a 的取值范围. 24. (1)a ? 1时,f ( x) ? 3 x ? 1 ? x ? 3.

1 1 1 时,f ( x) ? 4 ?? 3 x ? 1 ? x ? 3 ? 4,解得 ? x ? , 3 3 2 1 1 当x ? 时,f ( x) ? 4 ?? ?3 x ? 1 ? x ? 3 ? 4,解得0 ? x ? , 3 3 1 综上,原不等式的解集为[0, ]. --------------5分 2 当x ?

8

? 1 (3 ? a)x ? 2, x ? , ? ? 3 (2)f ( x) ? 3 x ? 1 ? ax ? 3 ? ? ?(a ? 3)x ? 4, x ? 1 , ? ? 3
?a ? 3 ? 0, ? 函数f ( x) 有最小值的充要条件为 ? ? ?3 ? a ? 3. ?a ? 3 ? 0

综上,所求a的取值范围为[-3,3]. --------------10分

9


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