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2016-2017 智高点学校模拟考试排列组合及二项式定理


............o............. o............. o.............外.............o..............o..............o...........装.............o.............o............. o............订.............o........

.....o............. o............线.............o.............o.............o.............

...............o............. o............. o.............内.............o..............o..............o...........装.............o.............o............. o............订.............o.............o............. o............线.............o.............o.............o..........

绝密★启用前

2016-2017 智高点学校模拟考试排列组合及二项式定理

6. [2016· 原创信息卷]为了支援 8· 12 天津港危险品爆炸救灾,某省决定从 5 支消防支队中选调 3 支 队伍,同时从 4 家三甲医院中选派 3 支医疗队,组建成 3 支兼有医疗和消防的救援队伍赴天津进行 救灾工作.若消防支队甲和医疗队乙被选派前往,但不分在同一救援队,问不同的组建情况有( ) A. 60 种 B. 72 种
1

试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 学校: 题号 得分 一 姓名: 二 班级: 三 考号: 总分

C. 48 种

D. 90 种
( )

7. 若二项式 3 + 2 A. 3 B. 5

的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为

C. 7

D. 10


学校:____________姓名:___________班级:____________考号:____________

8. 从长度分别为 1,2,3,4 的四条线段中,任取三条的不同取法共有 n 种.在这些取法中,以取出的三条
线段为边可组成的三角形的个数为 m,则 等于 ( )

A. 2 评卷人 得 分 一、选择题 1. [2016· 原创信息卷]已知 n∈N ,n≥2, 3- 3
式中的常数项是( )
*

1

B. 3

1

C. 4

1

D. 5

1

1 2



9. 从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有一 人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有( )
的展开式中各项系数的绝对值之和为 1024,则展开

A. 120 种

B. 96 种

C. 60 种

D. 48 种

A. 270

B. -270

C. 90

D. -90

10. 为完成海上军事训练准备将 8 艘不同型号的舰船分配给 5 个海域,其中 A,B 两个海域每个至少 分配 2 个舰船,其他海域至少分配 1 个舰船,则不同的分配方案共有 ( ) A. 6 720 种 B. 15 120 种 C. 20 800 种 D. 21 840 种

2. [2016· 原创信息卷]在一场开幕式的文艺汇演中,有五个主持人甲、乙、丙、丁、戊,主持人依次 出场,其中甲不能第一个出场,戊不能在最后一个出场,则这两个人出场顺序不相邻的总数有( ) A. 35 B. 42 C. 49
2

D. 63 +3
2

11. [2010· 高考四川卷,10]如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要 求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有( )
*

3. [2016· 原创信息卷]在二项式
开式中的常数项是( )

(其中 n∈N )的展开式中,第 5 项的二项式系数最大,则展

A. 1972

B. 448

C. 896 + 3
3

D. 224
的展开式中存在常数项,则自然数 n 的最小值及相应的常数项

4. [2016· 原创信息卷]若
分别为( )

A. 288 种

B. 264 种

C. 240 种
2 2

D. 168 种

12. [2012· 高考四川卷,11]方程 ay=b x +c 中的 a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3},且 a,b,c 互 不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 ( ) D. 5,270
)

A. 6,280

B. 6,270

C. 5,280

A. 60 条 评卷人 得

B. 62 条 分

C. 71 条

D. 80 条

5. [2016· 原创信息卷] A. 180 B. -180

2 10 - 4 的展开式中常数项为(

C. 360

D. -360

二、填空题 13. [2016· 原创信息卷]在(1-x) =a0+a1x+a2x +…+anx 中,若 2a2+an-3=0,则自然数 n 的值为 14. [2016· 原创信息卷] (2x+ 2 ) 展开式中 x 的系数为
3
4 3 n 2 n

.

.

第 1 页 共 10 页…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….第 2 页 共 10 页

15. [2016· 原创信息卷]已知(x +ax+1) 展开式中 x 项的系数与 x 项的系数比为 ,则 a 的值 2
为 .
5 3

2

6

2

7

1. 【答案】D【解析】本题考查二项式定理的相关计算.∵ 3- 3
对值之和与 3 + 3
n

1 2

1

的展开式中各项系数的绝


16. (x+1)(1-2x) 展开式中,x 的系数为_________(用数字作答). 评卷人 得
7

1 2



的展开式中各项系数的和相等,∴在 3 + 3
5
3 5-r

2 2 3

中,令 x=1,得
1 2 5

分 三、解答题
7 6

4 =1024,∴n=5,设 3- 3
2

1 2

展开式中的常数项为C5 (3x) (- 3 ) ,则 5-r- r=0,得 r=3,∴ 3- 3
r

-

2



3 开式中的常数项为C5 3 (-1) =-90,选 D.

17. 已知(3x-1) =a0x +a1x +…+a6x+a7. (1)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值; (2)求 a1+a3+a5+a7 的值. 18. (12 分)已知( +3x ) 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 19. 把 1,2,3,4,5 这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列. (1)43251 是这个数列的第几项? (2)这个数列的第 96 项是多少? 20. 如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.
3 1 3 1 3 3 甲、戊两个人出场顺序不相邻的方法总数有 m=A3 3 + A3 + A2 A3 + A3 A3 =7A3 =42. 3 (4)当甲在⑤号位上出场,则戊有①②③三个号位出场,即A1 3 =3 种,其余三人有A3 =6 种出场方法.故
2 3
2 n

2. 【答案】B【解析】本题考查分类加法计数原理及排列组合的计算.如图所示,
① ② ③ ④ ⑤



对甲的出场顺序分类:(1)当甲在②号位出场,则戊只能在④号位上出场,其余三人有A3 3 =6 种出场方 法;

封 线

(2)当甲在③号位上出场,则戊只能在①上出场,其余三人有A3 3 =6 种出场方法;



3 (3)当甲在④号位上出场,则戊有①②两个号位出场,即A1 2 =2 种,其余三人有A3 =6 种出场方法;

不 要 答 题

【知识拓展】①在使用分类加法计数原理时,遵循“不重复,不遗漏”的原则,对于限制条件较多的分 类,可以借助示意图分析.②牢记适用古典概型的两个条件:基本事件总数是有限个的;每一个基本事 件都是等可能的.

21. 用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数, (1)可组成多少个不同的四位数? (2)可组成多少个四位偶数? (3)将第 1 问中的四位数按从小到大的顺序排成一数列,问第 85 项是什么? 22. (1)一条长椅上有 9 个座位,3 个人坐,若相邻 2 人之间至少有 2 个空椅子,共有几种不同的坐法? (2)一条长椅上有 7 个座位,4 个人坐,要求 3 个空位中,恰有 2 个空位相邻,共有多少种不同的坐法?
参考答案

3. 【答案】B【解析】本题考查二项式定理的应用.由题知,n=8,则 Tk+1=C 8
8

8- 2

2
3





= C 2 8·

2k-

·

8-

4 3

6 .令 8- =0,得 k=6.故展开式中的常数项是C8 × 2 =448,选 B .
4 n n-r r

【知识拓展】在二项式定理(a+b) 的通项公式 Tr+1=C · a · b 中,a,b 的次数和是 n,所以可以先观察

4 3

a,b 的次数比,再决定把 n 如何分配到 a,b 上,进行求解.

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4. 【答案】D【解析】本题考查二项式定理的应用,考查二项展开式的通项公式的应用.由
Tr+1=C ( ) · 3
n-r

2 分步:①先从 8 艘不同型号的舰船中选出 2 艘分配给 A 海域,有8 种分配方法;

3



= C · 3·
r

3 -5 6

,由于存在常数项,因此
3

3 -5 =0,即 6

3n=5r,因为 n,r∈N ,得最小的
2 ②再从剩余 6 艘不同型号的舰船中选出 2 艘分配给 B 海域,有6 种分配方法;

*

3 自然数 n=5,此时 r=3,那么,相应的常数项为C5 · 3 =270.

5. 【答案】A【解析】本题考查二项式定理和组合数公式等知识,属于基础题. (解法一)根据二项
式定理知,展开式的第 r+1 项 Tr+1=C10 x ·10-r

学校:____________姓名:___________班级:____________考号:____________

- 4

2 10

2 4

= 10 (-2) x

r 10-5r

2 ,令 r=2,得 T3=C10 (-2) =180,所以
2

2 1 ③接着从剩余 4 艘不同型号的舰船中选出 2 艘分配给剩下 3 个海域中的某一个,有4 3 种分配方 法;

的展开式中常数项为 180,故答案为 A.
2 10 - 4

(解法二)因为

=

-

2 10 的展开式中常数项为 4

( 5 -2)10 5 10 ,所以(x -2) 展开式中含 40

④最后将剩余 2 艘不同型号的舰船分配给剩下 2 个海域中进行全排列,有2 2 种分配方法.
2 x 项为 T3=C10 (x ) (-2) =180x ,所以
40 5 8 2 40

180,故答案为 A.

2 2 2 1 2 故第一类共有不同的分配方案8 6 4 3 2 =15 120 种.

6. 【答案】B【解析】本题考查排列组合,属于难题.先挑选消防队和医疗队,再进行组建,选择消防 2 队,由于甲队必须在,只需要从剩下的四支队伍中再选两支即可,共有4 =6,医疗队乙一定选派去,另 2 两支医疗队从剩下的三支队伍中任选两支,共有3 =3,所以共有 3× 6=18 种选派形式,再考虑每一种 情况下队伍的组建情况,不妨设三支消防队为甲、丙、丁,三支医疗队为乙,A,B,所以符合题意的组 建形式有:甲与 A 一组,此时丙丁与乙 B 可以相互配对,共有 2 种情况;甲与 B 一组,此时丙丁与乙 A 可以相互配对,共有 2 种情况.所以共有 4 种组建情况,因此不同的组建情况共有 18× 4=72 种.故选 B.

(二)A,B 两个海域,其中一个分配 3 个舰船,另外一个分配 2 个舰船;剩余三个海域各分配 1,1,1 个舰 船:
1 3 分步:①先从 A,B 两个海域中选一个分配 3 个舰船,有2 8 种分配方法;

2 ②再从剩余 5 艘不同型号的舰船中选出 2 艘分配给 A,B 两个海域中未分配的那个海域,有5 种分 配方法;

7. 【答案】B【解析】因为二项式 3 + 2

1



展开式的通项公式是 Tr+1= x

3n-3r -2r

x = x

3n-5r

,且展开

③最后将剩余 3 艘不同型号的舰船分配给剩下 3 个海域中进行全排列,有3 3 种分配方法.

式中含有非零常数项,则有 3n-3r-2r=0,即 n= (r=0,1,2,…,n),所以当 r=3 时, n 的最小值是 5.选 B.
1 3 2 3 故第二类共有不同的分配方案2 8 5 3 =6720 种.综上,不同的分配方案共有 15120+6720=21840 种.

5 3

8. 【答案】C【解析】从所给的四条长度不同的线段中任取三条,共有 4 种不同的取法,即 (1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4).其中除了最后一种能构成三角形外,其它三种都不能构成三角
形.所以可以构成三角形的有 1 种,故 n=4,m=1,


= 4.

1

11. 【答案】B【解析】不同的涂色方法分两类.一类选 3 色涂上:共有3 2 种涂法;一类选 4 色涂 4× 3 1 上:共有4 · 3 × (1+2)种涂法,∴共有 264 种涂法.

1 2 1 9. 【答案】C【解析】星期五有5 种选法,星期六有4 种选法,星期日有2 种选法.所以总选法有 1 2 1 5 · 4 · 2 =60 种.

10. 【答案】D【解析】先分类:(一)A,B 两个海域各分配 2 个舰船,剩余三个海域各分配 1,1,2 个舰 船:

12. 【答案】B【解析】本小题主要考查计数原理及抛物线定义等知识.由题意要想表示不同的抛 1 1 物线,则 a,b 不能为 0,考虑到 c 可以等于 0,因此可以分为两类:(1)当 c=0 时,共有5 · 4 1 1 1 6=14 种;(2)当 c≠0 时,共有5 · 4 · 3 -12=48 种,所以共有 62 条,故选 B. 【失分警示】对分类计数原理掌握不熟,情况讨论不清易失分.

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13. 【答案】8
2 3 2 3 【解析】a2=C ,an-3=(-1) C =(-1) C ,又 2a2+an-3=0,∴2C +(-1) C =0,所以 n 为偶数,即
n-3 n-3 n-3

-3

∵n=5,展开式共 6 项, ∴二项式系数最大的项为第三、四两项.
2 3 即 T3=5 ( ) (3x ) =90x ,
3 2 2 6

2 3 2C ? C =0,解得 n=8.

2

14. 【答案】8
4- =3,得 3 4 【解析】本题考查二次展开式通项的运用能力.展开式通项为C r 4 (2x) ( 2 ) =C4 2 3 .由题意
4-r 3 r 4-r

2 3 T4=5 ( ) (3x ) =270 3 .
2 2 3

2

22



【解析】20. 【答案】设展开式中第 r+1 项系数最大,则 Tr+1=5 ( 3 ) · (3x ) =3 5
5-r 2 r r

2

10+4 3

,

3 r=3,∴x 项系数为C4 × 2=8.
3



3 5 ≥ 3 -1 5 , +1 3 5 ≥ 3 +1 5 , 7 2 9 2

-1

解得 ≤r≤ ,

15. 【答案】a=1 或 a=5 【解析】本题考查二项式定理,属于中等题.根据二项式定理可知,(x +ax+1) 展开式中 x 项的系
1 2 1 数为C6 + C6 a =6+15a ,x 项的系数为C6 a=6a,所以
2 2 2 6 2

2



6+15 2 6

= 2,所以 a=1 或 a=5.

7

2

∴r=4,
4 3 即展开式中第 5 项系数最大,T5=5 ( )(3x ) =405 3 .
2 4



2

26

【解析】 16. 【答案】-40 5 k k 2 2 2 2 3 【解析】二项式(1-2x) 的展开式的通项公式为 Tk+1=5 (-2) x ,所以 T3=5 (-2) x =40x ,T4=5 (2) x =-80x ,因为求(x+1)(1-2x) 展开式中,x 的系数,所以 x 的系数为 40-80=-40.
3 3 3 5 3 3

线 内

1 4 21. 【答案】当首位是 1,2,3 其中一个时,共有3 4 =72 个; 1 3 当首位是 4,第二位为 1 或 2 时,共有2 · 3 =12 个;

不 要

17. 【答案】x 的偶次项前面乘的是-1 的奇数次幂,所以 a1,a3,a5,a7 为负值.
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7| =a0-a1+a2-…-a7 =-(-a0+a1-a2+…+a7) =-[3× (-1)-1] =4 . 7 【解析】18. 【答案】令 f(x)=(3x-1) ,则 f(1)=a0+a1+a2+a3+…+a7, f(-1)=-a0+a1-a2+a3+…+a7, 所以 2(a1+a3+a5+a7)=f(-1)+f(1)=2 -4 , 所以 a1+a3+a5+a7=2 -2 =-8 128.
6 13 7 7 7 7

当首位是 4,第二位是 3,第三位是 1 时,共有2 2 =2 个;

答 题

当首位是 4,第二位是 3,第三位是 2 时,共有 1 个.
1 4 1 3 所以 43251 的前面共有3 4 + 2 3 + 2 2 +1=87 个,

所以 43251 是第 88 项.

【解析】22. 【答案】由第 1 题知 43251 为第 88 项. 当首位为 4,第二位为 3,第三位为 5 时,共有2 2 =2 个.

【解析】
当首位为 4,第二位是 5 时,共有3 3 =6 个.

19. 【答案】先求各项系数的和,令 x=1,则展开式中各项系数和为(1+3) =2 , n 又展开式中二项式系数和为 2 , 2n n ∴2 -2 =992, ∴n=5.

n

2n

此时共有 96 个, 所以,第 96 项是 45321.

【解析】

第 7 页 共 10 页............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................................................................................................... 第 8 页 共 10 页

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学校:____________姓名:___________班级:____________考号:____________

23. 【答案】解法一:分为两大步进行,第一步先将四棱锥一侧面三顶点染色,第二步分类考虑另外 两顶点的染色数,由分步乘法原理即可得出结论.由题知四棱锥 S-ABCD 的三个顶点 S,A,B 所染的颜 色互不相同,它们共有 5× 4× 3=60 种染色方法; 当 S,A,B 染好时,设颜色分别为 1,2,3,当 C 染 2 时, D 可染 3 或 4 或 5,共有 3 种染法;当 C 染 4 时, D 可染 3 或 5,有 2 种染色;当 C 染 5 时, D 可染 3 或 4,有 2 种染法.所以,当 S,A,B 已染好时,C,D 还有 7 种染法,所以共有 60× 7=420 种不同的染色方法. 解法二:按点 S,A,B,C,D 的顺序分步染色. 第一步:S 点染色,共有 5 种方法; 第二步:A 点染色,与 S 点不同,共有 4 种方法; 第三步:B 点染色,与 S,A 点不同,共有 3 种方法; 第四步:C 点染色,也有 3 种方法,但因为 D 点与 S,A,C 相邻,所以需要针对 A 与 C 是否同色进行分类, 当 A 与 C 同色时,D 点有 3 种染色方法;当 A 与 C 不同色时,因为 C 与 S,B 也不同色,所以 C 点有 2 种染色方法,D 点也有 2 种染色方法. 所以共有 5× 4× 3(1× 3+2× 2)=420 种不同的染色方法. 解法三:按所用颜色种数分类. 第一类,当 5 种颜色全用时,共有5 5 种不同的方法;
第二类,当有 4 种颜色使用时,必有某两个顶点同色(A 与 C,或 B 与 D),共有 2× 4 5 种不同的方法;

下面再看另一种构造方法:
2 排法,再将 4 张空椅子中的每两张插入每两人之间,只有 1 种插法,所以所求的坐法种数为3 5 2 =60. 2 先将 3 人与 2 张空椅子排成一排,从 5 个位置中选出 3 个位置排人,另 2 个位置排空椅子,有3 5 2 种

一个是单独的空位)插入 4 个人形成的 5 个“空当”之间,有2 5 种插法,所以所求的坐法种数为
2 4 4 5 =480. 【解析】

(2)可先让 4 人坐在 4 个位置上,有4 4 种排法,再让 2 个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位,另

第三类,当有 3 种颜色使用时, A 与 C,B 与 D 必定同色,共有3 5 种不同的方法.

3 所以共有5 4 5 + 5 =420 种不同的染色方法. 5 +2×

【解析】

3 3 4 24. 【答案】1 5 5 =300 或6 ? 5 =300(间接法). 1 2 1 【解析】25. 【答案】3 5 + 2 4 4 =156.

【解析】26. 【答案】千位是 1 的四位数有3 5 =60 个,千位是 2、百位是 0 或 1 的四位数有 2 24 =24 个,所以第 85 项是 2 301. 【解析】

27. 【答案】(1)先将 3 人(用× 表示)与 4 张空椅子(用□表示)排列,如图(×□□×□□×),这时共占据了 7 张椅子,还有 2 张空椅子,一是分开插入,如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓),从 4 个空当中选 2 个插入, 2 1 有4 种插法;二是 2 张同时插入,有4 种插法,再考虑 3 人可交换有3 3 种方法. 3 2 1 所以,共有3 (4 + 4 )=60(种). 第 9 页 共 10 页…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….第 10 页 共 10 页


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第十三章 排列组合及二项式定理习题及答案
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