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2016届安徽省合肥八中高三上学期第一次段考数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年安徽省合肥八中高三 (上) 第一次段考数学试卷 (文科)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.答案填涂到答题卡上. 1.在复平面内,复数 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.设全集 U=R,集合 A={x|1<x<4},B={1,2,3,4,5},则(CUA)∩B=( A.{2,3} B.{1,2,3,4} C.{5} D.{1,4,5}



3.若等差数列{an}的前三项和 S3=9 且 a1=1,则 a2 等于( A.3 B.4 C.5 D.6



4.阅读右面的程序框图,则输出的 S 等于(



A.40

B.20

C.32

D.38

5.已知 x>0,y>0,若

恒成立,则实数 m 的取值范围是( D.﹣4<m<2



A.m≥4 或 m≤﹣2 B.m≥2 或 m≤﹣4 C.﹣2<m<4

6.若变量 x,y 满足约束条件 A.4 B.3 C.2 D.1

,则 z=x﹣2y 的最大值为(



7.函数 f(x)=2x﹣1+log2x 的零点所在的一个区间是( A.( , ) B.( , )



C.( ,1) D.(1,2)

8.在△ ABC 中,AC= A. B. C.

,BC=2,B=60°则 BC 边上的高等于( D.



9.已知 c>0,设 p:函数 y=cx 在 R 上单调递减;q:函数 g(x)=lg(2cx2+2x+1)的值域为 R,如 果“p 且 q”为假命题,“p 或 q 为真命题,则 c 的取值范围是( A. B. C. ) D.(﹣∞,+∞)

10.给定条件 p:|x+1|>2,条件 q: A.充要条件 B.必要而不充分条件

>1,则?q 是?p 的(



C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

11.已知函数 f(x+1)是偶函数,当 1<x1<x2 时,[f(x2)﹣f(x1)](x2﹣x1)>0 恒成立,设 a=f (﹣ ),b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c )

12.已知 log

(x+y+4)<log

(3x+y﹣2),若 x﹣y<λ 恒成立,则 λ 的取值范围是( D.(10,+∞)



A.(﹣∞,10]

B.(﹣∞,10) C.[10,+∞)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 13.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则 a,b 的值分别为 .

14.在等差数列{an}中,a5=3,a6=﹣2,则 a3+a4+…+a8=



15.三角形△ ABC 的外接圆半径为 1,圆心 O,已知 3

+4

+5

= ,则

?

=



16.若△ ABC 的面积为

,BC=2,C=60°,则边 AB 的长度等于



17.已知 的值是

,各项均为正数的数列{an}满足 a1=1,an+2=f(an),若 a2010=a2012,则 a20+a11 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.本大题共 5 小题,共 65 分 18.已知函数 f(x)=2sin( x﹣ (1)求 f( )的值; ],f(3α+ )= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ),x∈R

(2)设 α,β∈[0,

19.已知函数 y= (1)求 a 的取值范围. (2)若函数的最小值为

的定义域为 R.

,解关于 x 的不等式 x2﹣x﹣a2﹣a<0.

20.设函数 f(x)=x3﹣3ax+b(a≠0). (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间与极值点.

21.已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=﹣10 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{ }的前 n 项和.

22.已知函数 f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e]上的最小值为﹣2,求 a 的取值范围; (3)若对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且 f(x1)+2x1<f(x2)+2x2 恒成立,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年安徽省合肥八中高三(上)第一次段考数学试 卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.答案填涂到答题卡上. 1.在复平面内,复数 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题. 【分析】根据 1=﹣i2 将复数 所在的位置. 【解答】解: = =﹣i+2 进行化简成复数的标准形式,得到复数所对应的点,从而得到该点

所对应的点为(2,﹣1),该点位于第四象限 故选 D. 【点评】本题主要考查了复数代数形式的运算,复数和复平面内的点的对应关系,属于基础题.

2.设全集 U=R,集合 A={x|1<x<4},B={1,2,3,4,5},则(CUA)∩B=( A.{2,3} B.{1,2,3,4} C.{5} D.{1,4,5}



【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】找出全集 R 中不属于 A 的部分,求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的公共部分,即可确定 出所求的集合. 【解答】解:∵全集 U=R,集合 A={x|1<x<4}, ∴CUA={x|x≤1 或 x≥4}, ∵B={1,2,3,4,5},

则(CUA)∩B={1,4,5}. 故选 D 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.

3.若等差数列{an}的前三项和 S3=9 且 a1=1,则 a2 等于( A.3 B.4 C.5 D.6



【考点】等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 【专题】计算题;方程思想. 【分析】根据等差数列的前 n 项和公式,结合已知条件,先求出 d,再代入通项公式即可求解. 【解答】解:∵S3=9 且 a1=1, ∴S3=3a1+3d=3+3d=9, 解得 d=2. ∴a2=a1+d=3. 故选 A. 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式与前 n 项和公式,注意方程思想的应用.

4.阅读右面的程序框图,则输出的 S 等于(



A.40

B.20

C.32

D.38

【考点】程序框图. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】结合流程图写出前几次循环的结果,经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件,直到 不满足条件输出 s 结束循环,得到所求.

【解答】解:根据程序框图,运行结果如下: S 第一次循环 第二次循环 第三次循环 此时退出循环 故选 D. 【点评】本题为程序框图题,考查对循环结构的理解和认识,按照循环结构运算后得出结果.属于 基础题 20 32 38 i 3 2 1

5.已知 x>0,y>0,若

恒成立,则实数 m 的取值范围是( D.﹣4<m<2



A.m≥4 或 m≤﹣2 B.m≥2 或 m≤﹣4 C.﹣2<m<4 【考点】基本不等式. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先利用基本不等式求得 <8,进而求得 m 的范围. 【解答】解: 若 ≥2 =8

的最小值,然后根据

恒成立,求得 m2+2m

恒成立,则使 8>m2+2m 恒成立,

∴m2+2m<8,求得﹣4<m<2 故选 D 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.考查了学生分析问题和解决问题的能力, 属于基础题.

6.若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣2y 的最大值为(



A.4

B.3

C.2

D.1

【考点】简单线性规划的应用. 【专题】计算题;数形结合.

【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=x﹣2y 表示直线在 y 轴上的截距, 只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可. 【解答】解:画出可行域(如图),z=x﹣2y?y= x﹣ z, 由图可知, 当直线 l 经过点 A(1,﹣1)时, z 最大,且最大值为 zmax=1﹣2×(﹣1)=3. 故选:B.

【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力,以及利用几何意义求最值, 属于基础题.

7.函数 f(x)=2x﹣1+log2x 的零点所在的一个区间是( A.( , ) B.( , )



C.( ,1) D.(1,2)

【考点】函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数 f(x)=2x﹣1+log2x,在(0,+∞)单调递增,f(1)=1,f( )=﹣1,可判断 分析. 【解答】解:∵函数 f(x)=2x﹣1+log2x,在(0,+∞)单调递增. ∴f(1)=1,f( )=﹣1, ∴根据函数的零点的判断方法得出:零点所在的一个区间是( 故选:C. 【点评】本题考查了函数的性质,函数的零点的判断方法,属于容易题. ),

8.在△ ABC 中,AC= A. B. C.

,BC=2,B=60°则 BC 边上的高等于( D.



【考点】解三角形. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】在△ ABC 中,由余弦定理可得,AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB 可求 AB=3,作 AD⊥BC, 则在 Rt△ ABD 中,AD=AB×sinB 【解答】解:在△ ABC 中,由余弦定理可得,AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB 把已知 AC= ,BC=2 B=60°代入可得,7=AB2+4﹣4AB×

整理可得,AB2﹣2AB﹣3=0 ∴AB=3 作 AD⊥BC 垂足为 D Rt△ ABD 中,AD=AB×sin60°= 即 BC 边上的高为 故选 B ,

【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,解答本题的关键是求出 AB,属于基础试题

9.已知 c>0,设 p:函数 y=cx 在 R 上单调递减;q:函数 g(x)=lg(2cx2+2x+1)的值域为 R,如 果“p 且 q”为假命题,“p 或 q 为真命题,则 c 的取值范围是( A. B. C. ) D.(﹣∞,+∞)

【考点】复合命题的真假;指数函数的单调性与特殊点;对数函数的值域与最值. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】如果 P∧Q 为假命题,P∨Q 为真命题,则“p”、“q”中一个为真命题、一个为假命题.然后再 分类讨论即可求解.

【解答】解:∵如果 P∧Q 为假命题,P∨Q 为真命题, ∴p、q 中一个为真命题、一个为假命题 ①若 p 为真命题,q 为假命题 则 0<c<1 且 c> , 即 <c<1 ②若 p 为假命题,q 为真命题 则 c>1 且 c≤ , 这样的 c 不存在 综上, <c<1 故选 A. 【点评】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断,反之根据复合命题 的真假也可以判断简单命题的真假.假若 p 且 q 真,则 p 真,q 也真;若 p 或 q 真,则 p,q 至少有 一个真;若 p 且 q 假,则 p,q 至少有一个假.可把“p 或 q”为真命题转化为并集的运算;把“p 且 q” 为真命题转化为交集的运算.

10.给定条件 p:|x+1|>2,条件 q: A.充要条件 B.必要而不充分条件

>1,则?q 是?p 的(



C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可. 【解答】解:由|x+1|>2 得 x>1 或 x<﹣3,?p:﹣3≤x≤1, 由 >1,得 ﹣1= = >0,

解得 2<x<3,即¬q:x≥3 或 x≤2, 则¬q 是¬p 的必要不充分条件, 故选:B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质求出等价条件是解决本题的 关键.

11.已知函数 f(x+1)是偶函数,当 1<x1<x2 时,[f(x2)﹣f(x1)](x2﹣x1)>0 恒成立,设 a=f (﹣ ),b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 【考点】函数奇偶性的性质;函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据条件求出函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性,然后根据函数 f(x+1)是偶函数,利 用单调性即可判定出 a、b、c 的大小. 【解答】解:解:∵当 1<x1<x2 时,[f(x2)﹣f(x1)](x2﹣x1)>0 恒成立, ∴当 1<x1<x2 时,f (x2)﹣f (x1)>0, 即 f (x2)>f (x1), ∴函数 f(x)在(1,+∞)上为单调增函数, ∵f(1+x)=f(1﹣x), ∴函数 f(x)关于 x=1 对称, ∴a=f(﹣ )=f( ), 又函数 f(x)在(1,+∞)上为单调增函数, ∴f(2)<f( )<f(3), 即 f(2)<f(﹣ )=<f(3), ∴a,b,c 的大小关系为 b<a<c. 故选:A. 【点评】本题考查了函数性质的应用,主要考查了函数单调性的判断以及运用单调性比较函数值的 大小,同时考查了函数的对称性的应用,是函数性质的一个综合考查.属于基础题. )

12.已知 log

(x+y+4)<log

(3x+y﹣2),若 x﹣y<λ 恒成立,则 λ 的取值范围是( D.(10,+∞)



A.(﹣∞,10]

B.(﹣∞,10) C.[10,+∞)

【考点】简单线性规划.

【分析】根据已知得出 x,y 的约束条件

,画出满足约束条件的可行域,再用角

点法,求出目标函数 z=x﹣y 的范围,再根据最值给出 λ 的最大值.

【解答】解:由题意得

,即



画出不等式组

表示的可行域如下图示:

在可行域内平移直线 z=x﹣y, 当直线经过 3x+y﹣2=0 与 x=3 的交点 A(3,﹣7)时, 目标函数 z=x﹣y 有极大值 z=3+7=10. z=x﹣y 的取值范围是(﹣∞,10). 若 x﹣y<λ 恒成立,则 λ≥10, ∴λ 的取值范围是[10,+∞). 故选 C.

【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键, 可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就 题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优 解.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 13.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则 a,b 的值分别为 1,1 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的概念及应用;直线与圆. 【分析】求出函数的导数,求得切线的斜率,由已知切线方程,可得切线的斜率和切点,进而得到 a,b 的值. 【解答】解:y=x2+ax+b 的导数为 y′=2x+a, 即曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线斜率为 a, 由于在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0, 则 a=1,b=1, 故答案为:1,1. 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为 曲线在该点处切线的斜率,注意切点在切线上,也在曲线上,属于基础题.

14.在等差数列{an}中,a5=3,a6=﹣2,则 a3+a4+…+a8= 3 . 【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】利用等差数列的性质:下标之和相等的两项的和相等及等差中项的性质即可解决. 【解答】解:∵{an}为等差数列,a5=3,a6=﹣2, ∵m+n=p+q(m、n、p、q∈N),am+an=ap+aq, ∴a3+a4+…+a8=(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=3(a5+a6)=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查等差数列的性质,考查学生理解应用等差数列性质的能力,属于基础题.

15.三角形△ ABC 的外接圆半径为 1,圆心 O,已知 3 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】把已知的向量等式变形,两边平方后得到 答案.

+4

+5

= ,则

?

=



,把

代入

?

后展开得

【解答】解:∵3 ∴ ∴ 则 = 故答案为:﹣ . ? = ,

+4

+5

= ,∴5

=﹣(3

+4

), ,

,即 25=25+24

=﹣ (3 .

+4

)?(



【点评】本题考查平面向量的数量积运算,解答此题的关键是把已知的向量等式变形,是中档题.

16.若△ ABC 的面积为 【考点】正弦定理. 【专题】解三角形.

,BC=2,C=60°,则边 AB 的长度等于 2 .

【分析】利用三角形面积公式列出关系式,把已知面积,a,sinC 的值代入求出 b 的值,再利用余弦 定理求出 c 的值即可. 【解答】解:∵△ABC 的面积为 ∴ absinC= ,即 b=2, ,BC=a=2,C=60°,

由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=4+4﹣4=4, 则 AB=c=2, 故答案为:2 【点评】此题考查了余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

17.已知 的值是

,各项均为正数的数列{an}满足 a1=1,an+2=f(an),若 a2010=a2012,则 a20+a11 .

【考点】数列与函数的综合. 【专题】综合题;压轴题.

【分析】 根据 ,a7= , 得到 a20= 【解答】解:∵ ∴a1=1, ∵a2010=a2012, ∴ ∴a2010= , ,

an+2=f , 各项均为正数的数列{an}满足 a1=1, (an) , 可确定 a1=1, ,利用 a2010=a2012,可得 a2010=



(负值舍去),依次往前推

,由此可得结论. ,各项均为正数的数列{an}满足 a1=1,an+2=f(an), ,a7= , ,

(负值舍去),由 a2010=

得 a2008=



依次往前推得到 a20= ∴a20+a11= 故答案为: 【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件 an+2=f(an),是 解决问题的关键,本题综合性强,运算量较大,属于中高档试题.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.本大题共 5 小题,共 65 分 18.已知函数 f(x)=2sin( x﹣ (1)求 f( )的值; ],f(3α+ )= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ),x∈R

(2)设 α,β∈[0,

【考点】两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数. 【专题】三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】(1)把 x= 应的函数值; (2) 分别把 x=3α+ 和 x=3β+2π 代入 f (x) 的解析式中, 化简后利用诱导公式即可求出 sinα 和 cosβ 代入函数 f(x)的解析式中,化简后利用特殊角的三角函数值即可求出对

的值,然后根据 α 和 β 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 和 sinβ 的值,然后把所求 的式子利用两角和的余弦函数公式化简后,将各自的值代入即可求出值.

【解答】解:(1)把 x= f( )=2sin( × )= ﹣

代入函数解析式得: )=2sin = ;

(2)由 f(3α+ 2sin[ (3α+ sinα=

,f(3β+2π)= ,代入得: ]=2sinα= ,2sin[ (3β+2π)﹣ ], ]=2sin(β+ )=2cosβ=

)﹣

,cosβ= ,又 α,β∈[0, ,sinβ= ,

所以 cosα=

则 cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ=

× ﹣

× =



【点评】此题考查学生掌握函数值的求法,灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求 值,是一道中档题.

19.已知函数 y= (1)求 a 的取值范围. (2)若函数的最小值为

的定义域为 R.

,解关于 x 的不等式 x2﹣x﹣a2﹣a<0.

【考点】一元二次不等式的解法;函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(1)由函数 y= 围; (2)由题意得 ax2+2ax+1 的最小值是 ,求出 a 的值,代入不等式 x2﹣x﹣a2﹣a<0,求解集即可. 【解答】解:(1)函数 y= ∴ax2+2ax+1≥0 恒成立, 当 a=0 时,1>0 恒成立,满足题意; 当 a≠0 时,须 , 的定义域为 R, 的定义域是 R,得出 ax2+2ax+1≥0 恒成立,求出 a 的取值范

即 解得 0<a≤1;



综上,a 的取值范围是{a|0≤a≤1}; (2)∵函数 y 的最小值为 ∴ ≥ ,

,a∈[0,1];

∴ax2+2ax+1≥ ; 当 a=0 时,不满足条件; 当 1≥a>0 时,ax2+2ax+1 的最小值是 = ,∴a= ;

∴不等式 x2﹣x﹣a2﹣a<0 可化为 x2﹣x﹣ <0, 解得﹣ <x< ; ∴不等式的解集是{x|﹣ <x< }. 【点评】本题考查了函数的性质与应用以及不等式的解法与应用问题,解题时应根据题意,适当地 转化条件,从而获得解答问题的途径,是综合性题目.

20.设函数 f(x)=x3﹣3ax+b(a≠0). (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间与极值点. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)已知函数的解析式 f(x)=x3﹣3ax+b,把点(2,f(2))代入,再根据 f(x)在点 (2,f(2))处与直线 y=8 相切,求出 a,b 的值; (2)由题意先对函数 y 进行求导,解出极值点,然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减 区间; 【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=3x2﹣3a, ∵曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切, ∴

(Ⅱ)∵f′(x)=3(x2﹣a)(a≠0), 当 a<0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,此时函数 f(x)没有极值点.

当 a>0 时,由 当 当 当 ∴此时

, 时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, 时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减, 时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, 是 f(x)的极大值点, 是 f(x)的极小值点.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和 解决问题的能力.

21.已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=﹣10 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{ }的前 n 项和.

【考点】等差数列的通项公式;数列的求和. 【专题】综合题. 【分析】(I) 根据等差数列的通项公式化简 a2=0 和 a6+a8=﹣10,得到关于首项和公差的方程组,求出方程组的解 即可得到数列的首项和公差,根据首项和公差写出数列的通项公式即可; (II) 把(I)求出通项公式代入已知数列,列举出各项记作①,然后给两边都除以 2 得另一个关系式记作 ②,①﹣②后,利用 an 的通项公式及等比数列的前 n 项和的公式化简后,即可得到数列{ 的前 n 项和的通项公式. 【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得 , }

解得:



故数列{an}的通项公式为 an=2﹣n; (II)设数列{ }的前 n 项和为 Sn,即 Sn=a1+ +…+ ①,故 S1=1,

=

+

+…+

②,

当 n>1 时,①﹣②得: =a1+ +…+ ﹣

=1﹣( + +…+

)﹣

=1﹣(1﹣

)﹣

=



所以 Sn= 综上,数列{



}的前 n 项和 Sn=



【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值,会利用错位相减法求数列的和,是 一道中档题.

22.已知函数 f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e]上的最小值为﹣2,求 a 的取值范围; (3)若对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且 f(x1)+2x1<f(x2)+2x2 恒成立,求 a 的取值范围. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲 线上某点切线方程. 【专题】计算题;函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】(1)求出导数,求出 f(1)及 f′(1)的值,代入点斜式方程即可得到答案; (2)确定函数的定义域,求导函数,分类讨论,确定函数的单调性,利用函数 f(x)在区间[1,e] 上的最小值为﹣2,即可求 a 的取值范围; (3)设 g(x)=f(x)+2x,则 g(x)=ax2﹣ax+lnx,对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且 f(x1) +2x1<f(x2)+2x2 恒成立,等价于 g(x)在(0,+∞)上单调递增,由此可求 a 的取值范围. 【解答】解:(1)当 a=1 时,f(x)=x2﹣3x+lnx,f′(x)=2x﹣3+ , 因为 f'(1)=0,f(1)=﹣2,

所以切线方程为 y=﹣2; (2)函数 f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx 的定义域为(0,+∞), 当 a>0 时,f′(x)=2ax﹣(a+2)+ (x>0),

令 f'(x)=0,即 f′(x)=

,所以 x= 或 x= .

当 0< ≤1,即 a≥1 时,f(x)在[1,e]上单调递增, 所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f(1)=﹣2; 当 1< <e,即 <a<1 时,f(x)在[1,e]上的最小值是 f( )<f(1)=﹣2,不合题意; 当 ≥e,即 0≤a≤ 时,f(x)在(1,e)上单调递减, 所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f(e)<f(1)=﹣2,不合题意. 综上可得 a≥1; (3)设 g(x)=f(x)+2x,则 g(x)=ax2﹣ax+lnx, 对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且 f(x1)+2x1<f(x2)+2x2 恒成立, 等价于 g(x)在(0,+∞)上单调递增. 而 g′(x)=2ax﹣a+ = ,

当 a=0 时,g′(x)= ,此时 g(x)在(0,+∞)单调递增; 当 a≠0 时,只需 g'(x)≥0 在(0,+∞)恒成立, 因为 x∈(0,+∞),只要 2ax2﹣ax+1≥0,则需要 a≥0, 对于函数 y=2ax2﹣ax+1,过定点(0,1),对称轴 x= , 只需△ =a2﹣8a≤0,即 0<a≤8. 综上可得 0≤a≤8. 【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查导数的几何意义,考查恒成立 问题,正确求导是关键.


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