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高中数学常用公式及结论


高中数学常用公式及结论
1 元素与集合的关系: x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2 集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2 n ? 1 个;非空子集有 2 n ? 1 个; 非空的真子集有 2n ? 2 个. 3 二次函数的解析式的三种形式: (1) 一般式 f ( x) ? ax2

? bx ? c(a ? 0) ; (2) 顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ;(当已知抛物线的顶点坐标 ( h, k ) 时,设为 此式) (3) 零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) ;(当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为

( x1,0),( x2 ,0) 时,设为此式)
(4)切线式: f ( x) ? a( x ? x0 )2 ? (kx ? d ), (a ? 0) 。(当已知抛物线与直线

y ? kx ? d 相切且切点的横坐标为 x0 时,设为此式)
4 真值表: 同真且真,同假或假

5 常见结论的否定形式; 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ,成立 对任何 x ,不成 立 6 四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同 假.) 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x ,不成立 存在某 x ,成立 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个

p 或q p 且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

充要条件:

(1)、 p ? q ,则 P 是 q 的充分条件,反之,q 是 p 的必要条件; (2)、 p ? q ,且 q ≠> p,则 P 是 q 的充分不必要条件; (3)、p ≠> p ,且 q ? p ,则 P 是 q 的必要不充分条件; (4)、p ≠> p ,且 q ≠> p,则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。

7 函数单调性: 增函数:(1)、文字描述是:y 随 x 的增大而增大。 (2)、数学符号表述是:设 f(x)在 x ? D 上有定义,若对任意的

x1 , x2 ? D, 且x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则就叫 f(x)在 x ? D 上是增函数。D 则就是 f(x)
的递增区间。 减函数:(1)、文字描述是:y 随 x 的增大而减小。 (2)、数学符号表述是:设 f(x)在 x ? D 上有定义,若对任意的

x1 , x2 ? D, 且x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则就叫 f(x)在 x ? D 上是减函数。D 则就是 f(x)
的递减区间。 单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数;(2)、减函数+减函数=减函数; (3)、增函数-减函数=增函数;(4)、减函数-增函数=减函数;

注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的 交集。 复合函数的单调性: 函数 内层函数 外层函数 复合函数 等价关系: (1)设 x1, x2 ??a, b? , x1 ? x2 那么 单调 单调性 ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ ↓

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2

(2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果

f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数.
8 函数的奇偶性:(注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称) 奇函数: 定义:在前提条件下,若有 f (? x) ? ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0 , 则 f(x)就是奇函数。 性质:(1)、奇函数的图象关于原点对称; (2)、奇函数在 x>0 和 x<0 上具有相同的单调区间; (3)、定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0 . 偶函数: 定义:在前提条件下,若有 f (? x) ? f ( x) ,则 f(x)就是偶函数。 性质:(1)、偶函数的图象关于 y 轴对称;

(2)、偶函数在 x>0 和 x<0 上具有相反的单调区间; 奇偶函数间的关系: (1)、奇函数·偶函数=奇函数; (2)、奇函数·奇函数=偶函数;

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; (4)、奇函数±奇函数=奇函数(也有例外得偶函 数的) (5)、偶函数±偶函数=偶函数; (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么 这个函数是偶函数. 9 函数的周期性: 定义:对函数 f(x),若存在 T ? 0,使得 f(x+T)=f(x),则就叫 f(x)是周期函 数,其中,T 是 f(x)的一个周期。 周期函数几种常见的表述形式: (1)、f(x+T)= - f(x),此时周期为 2T ;
(2) 、 f(x+m)=f(x+n) ,此时周期为 2 m ? n ;

(3)、 f ( x ? m) ? ? 10 常见函数的图像:
y

1 ,此时周期为 2m 。 f ( x)

y

y

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

y=ax
0<a<1 1
o x

a>1

a>0

y=kx+b
y

y=ax2+bx+c

y=logax
0<a<1
o

1 a>1

x

11 对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴是

x?

a?b b?a ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 对称. 2 2

12 分数指数幂与根式的性质: (1) a n ? n a m ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ). (2 ) a
? m n
m

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

(3) ( n a )n ? a . (4)当 n 为奇数时, n an ? a ;当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ?

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

13 指数式与对数式的互化式: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 指数性质: (1)1、 a ? p ?

1 ap



(2)、 a0 ? 1 ( a ? 0 ) ; (3)、 amn ? (am )n
m

(4)、 ar ? a s ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) ; (5)、 a n ? n a m ; 指数函数: (1)、 y ? a x (a ? 1) 在定义域内是单调递增函数; (2)、 y ? a x (0 ? a ? 1) 在定义域内是单调递减函数。注: 指数函数图象都恒 过点(0,1) 对数性质: (1)、 loga M ? loga N ? loga (MN ) ;(2)、 log a M ? log a N ? log a (3)、 loga bm ? m ? loga b ;(4)、 log am b n ? (6)、 loga a ? 1 对数函数: (1)、 y ? loga x(a ? 1) 在定义域内是单调递增函数; (2)、 y ? loga x(0 ? a ? 1) 在定义域内是单调递减函数;注: 对数函数图象都 恒过点(1,0) ; (7)、

M ; N

n ? log a b ; (5)、 loga 1 ? 0 m

a loga b ? b

(3)、 loga x ? 0 ? a, x ? (0,1)或a, x ? (1, ??) (4)、 loga x ? 0 ? a ? (0,1)则x ? (1, ??) 或 a ? (1, ??)则x ? (0,1) 14 对数的换底公式 : log a N ?

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a

对数恒等式: a loga N ? N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). 推论 log a m b n ?

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). m

15 对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ; (3) log a M n ? n log a M ( n ? R) ; (2) log a

M ? log a M ? log a N ; N n log a N ( n, m ? R) 。 m

(4) log am N n ?

16 平均增长率的问题(负增长时 p ? 0 ): 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有

y ? N (1 ? p) x .
17 等差数列: 通项公式: (1) an ? a1 ? (n ?1)d ,其中 a1 为首项,d 为公差,n 为项数, an 为 末项。 (2)推广: an ? ak ? (n ? k )d (3) an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) (注:该公式对任意数列都适用) 前 n 项和: (1) S n ?

n(a1 ? an ) ;其中 a1 为首项,n 为项数, an 为末项。 2
n(n ? 1) d 2
(注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用)

(2) Sn ? na1 ?

(3) Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2) (4) Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an

常用性质:(1)、若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? ap ? aq ;

注:若 am是an , a p 的等差中项,则有 2 am ? an ? a p ? n、m、p 成 等差。 (2)、若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?an ? bn ? 为等差数列。 (3)、 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 也成等差数列。 (4)、 ap ? q, aq ? p, 则ap?q ? 0 ; (5) 1+2+3+…+n= 等比数列: 通项公式:(1) an ? a1q n ?1 ? 公比。 (2)推广: an ? ak ? qn?k (3) an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) (注:该公式对任意数列都适用)

n( n ? 1) 2

a1 n ? q (n ? N * ) ,其中 a1 为首项,n 为项数,q 为 q

前 n 项和:(1) Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2) (注:该公式对任意数列都适用) (2) Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an (注:该公式对任意数列都适用)

? na1 ? (3) S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1)

常用性质:(1)、若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? a p ? aq ; 注:若 am是an , a p 的等比中项,则有 am2 ? an ? ap ? n、m、p 成等比。 (2)、若 ?an ? 、 ?bn ? 为等比数列,则 ?an ? bn ? 为等比数列。 18 分期付款(按揭贷款) :每次还款 x ?

ab(1 ? b)n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 (1 ? b)n ? 1

b ).
19 三角不等式:

(1)若 x ? (0, ) ,则 sin x ? x ? tan x .

?

2

(2) 若 x ? (0, ) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 .

?

2

(3) | sin x | ? | cos x |? 1 . 20 同角三角函数的基本关系式 : sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? = 21 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 22 和角与差角公式

sin ? , cos ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? )
(辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ? 23 二倍角公式及降幂公式

b ). a

sin 2? ? sin ? cos ? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ?

1 ? tan 2 ? . 1 ? tan 2 ?

tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

tan ? ?

sin 2? 1 ? cos 2? ? 1 ? cos 2? sin 2?

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , cos 2 ? ? 2 2

24 三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A ≠0)的周期 T ?

2? ? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? , k ? Z (A,ω , ? 为常数, 2 |? |

且 A≠0)的周期 T ?

? . |? |

三角函数的图像:

y=sinx
-π/2 -2π -3π/2 -π

y
1

o
-1

π/2

π

3π/2 2π

x

y=cosx
-2π -3π/2 -π -π/2

y
1

o
-1

π/2

π

3π/2



x

25 正弦定理



a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C

? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C
26 余弦定理:

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
27 面积定理: (1) S ? (2) S ?

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2
1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB ) 2 . 2

(3) S ?OAB ?

r?内切圆 ?

a ? b-c斜边 2S? , r直角?内切圆 ? a?b?c 2

28 三角形内角和定理 : 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

29 实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么: (1) 结合律:λ(μ a )=(λμ ) a ; (2)第一分配律:(λ+μ ) a =λ a +μ a ; (3)第二分配律:λ ( a + b )=λ a +λ b . 30 a 与 b 的数量积(或内积): a · b =| a || b | cos ? 。

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

?

?

31 平面向量的坐标运算: (1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a = ( x, y), ? ? R ,则 ? a = (? x, ? y ) . (5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a · b = ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 32 两向量的夹角公式:

? ?

? ?

? ? ? ?

??? ? ??? ? ??? ?

?

?

?

?

? ?

? ? a ?b cos ? ? ? ? ? | a |?|b |

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

( a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ).

?

?

33 平面两点间的距离公式:

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
34 向量的平行与垂直 :设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则:

?

?

?

?

? ? ? ? a || b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .(交叉相乘差为零)
? ? ? ? ? ? a ? b ( a ? 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .(对应相乘和为零)

? 是实 35 线段的定比分公式 :设 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P( x, y ) 是线段 PP 1 2 的分点,
? x1 ? ? x2 ???? ???? x? ??? ? ???? ? ??? ? OP ? ? OP ? 1? ? 2 数,且 PP ? OP ? 1 1 ? ? PP 2 ,则 ? y ? ? y 1 ? ? 2 ?y ? 1 ? 1 ? ? ?

??? ? ??? ? ???? 1 ). ? OP ? tOP 1 ? (1 ? t )OP 2 (t ? 1? ?
36 三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、

C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐标是 G (
37 三角形五“心”向量形式的充要条件:

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则 (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC .

??? ?2

??? ?2

??? ?2

(2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . (5) O 为 ?ABC 的 ? A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC . 38 常用不等式: (1) a, b ? R ? a 2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). (2) a, b ? R ? ?

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ?
??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?
?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2

(3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0). (4) a ? b ? a ? b ? a ? b . (5)

2ab a ?b a 2 ? b2 (当且仅当 a=b 时取“=”号)。 ? ab ? ? a?b 2 2

39 极值定理:已知 x , y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 (3)已知 a, b, x, y ? R? ,若 ax ? by ? 1则有

1 2 s . 4

1 1 1 1 by ax ? ? (ax ? by )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) 2 。 x y x y x y
(4)已知 a, b, x, y ? R? ,若

a b ? ? 1 则有 x y

a b ay bx x ? y ? ( x ? y )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b )2 x y x y
40 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) ,如果 a 与

ax 2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在
两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.即:

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .

41 含有绝对值的不等式 :当 a> 0 时,有

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a .

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
42 斜率公式 :

k?

y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1

43 直线的五种方程:

k (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ).
(2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1

( x1 ? x2 , y1 ? y2 )). 两点式的推广: ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( x ? x1 ) ? 0 (无任何限制条件!) (4)截距式

x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a ? 0、b ? 0 ) a b

(5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 直线 Ax ? By ? C ? 0 的法向量: l ? ? ( A, B) ,方向向量: l ? ( B, ? A) 44 夹角公式: (1) tan ? ?|

?

?

k2 ? k1 | . ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1 A1B2 ? A2 B1 | .( l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1 B2

(2) tan ? ?|

A1 A2 ? B1B2 ? 0 ).
直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 45 l1 到 l2 的角公式: (1) tan ? ?

? . 2

k2 ? k1 .( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1

(2) tan ? ?

A1B2 ? A2 B1 .( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2

A1 A2 ? B1B2 ? 0 ).
直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是 46 点到直线的距离 : d ? 47 圆的四种方程: (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F >0). (3)圆的参数方程 ?

? . 2

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?

(4)圆的直径式方程 ( x ? x1)( x ? x2 ) ? ( y ? y1)( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、

B( x2 , y2 ) ).
48 点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:
2 2 若 d ? (a ? x0 ) ? (b ? y0 ) ,则 d ? r ? 点 P 在圆外;

d ? r ? 点 P 在圆上;

d ? r ? 点 P 在圆内.

49 直线与圆的位置关系:直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关 系有三种( d ?

Aa ? Bb ? C A ?B
2 2

):

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2,

O1O2 ? d ,则:
d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线;

d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;

内含

内切 r2-r1

相交

外切 相离 r1+r2

d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线;

o

d

d

d

d

0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
51 椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 离心率 2 a b ? y ? b sin ? c b2 ? 1? 2 , a a
a2 b2 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p ? 。 c c

e?

准线到中心的距离为

b2 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为: 2? . a
52 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: a 2 b2 a2 a2 ) ? a ? ex , PF2 ? e( ? x) ? a ? ex ; c c ?F PF ? c | yP |? b 2 tan 1 。 2

PF1 ? e( x ?
S?F1PF2

53 椭圆的的内外部:
2 2 x0 y0 x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 2 ? 2 ? 1 . a b a b 2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ?1. 的外部 a 2 b2 a 2 b2

(2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 54 椭圆的切线方程: (1) 椭圆

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b

(2)过椭圆

(3)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 a 2 b2 A2 a 2 ? B2b2 ? c 2 .

55 双曲线

x2 y 2 c b2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的离心率 ,准线到中心的距离为 e ? ? 1 ? a 2 b2 a a2 a2 b2 ,焦点到对应准线的距离 ( 焦准距) p ? 。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经, c c b2 其长度为: 2? . a
焦半径公式 PF1 ?| e( x ?

a2 a2 ) |?| a ? ex | , PF2 ?| e( ? x) |?| a ? ex | , c c
?F1 PF 。 2

两焦半径与焦距构成三角形的面积 S ?F1PF2 ? b 2 cot

56 双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? ?0? y?? x. 渐近线方程: ? a 2 b2 a a2 b2 x y x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b
2 2

(2)若渐近线方程为 y ? ?

x2 y2 x2 y2 (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? a b a b
( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). (4) 焦点到渐近线的距离总是 b 。 57 双曲线的切线方程: (1)双曲线

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b

x2 y 2 (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b
(3)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A2 a 2 ? B2b2 ? c 2 . a 2 b2

58 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式:

抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? 过焦点弦长 CD ? x1 ?

p . 2

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2

59 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ?

b 2 4ac ? b2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: 2a 4a

(1)顶点坐标为 (?

b 4ac ? b2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ) ;(2)焦点的坐标为 (? , ); 2a 4a 2a 4a

4ac ? b 2 ? 1 (3)准线方程是 y ? . 4a
2 2 60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )



AB ? (1 ? k 2 )[( x2 ? x1 ) 2 ? 4 x2 ? x1 ] ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?
(弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方程 ?

?y ? kx ? b 消去 y 得到 ax2 ? bx ? c ? 0 ?F( x, y) ? 0

? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率, | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 .
61 证明直线与平面的平行的思考途径: (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 62 证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63 证明平面与平面的垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面角;

(2)转化为线面垂直; (3) 转化为两平面的法向量平行。 64 向量的直角坐标运算: 设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) 则: (1) a + b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2) a - b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a = (?a1 , ?a2 , ?a3 ) (λ ∈R); (4) a · b = a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; 65 夹角公式: 设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos ? a, b ?? 66 异面直线间的距离 :

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

.

??? ? ?? ? ? | CD ? n | ? ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 是 l1 , l2 上任一点, d 为 d? |n|

l1 , l2 间的距离).
67 点 B 到平面 ? 的距离:

??? ? ?? ? | AB ? n | ? ? ( n 为平面 ? 的法向量, A ? ? , AB 是 ? 的一条斜线段). d? |n|
68 球的半径是 R,则其体积 V ? 69 球的组合体: (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球 的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为

4 ? R 3 ,其表面积 S ? 4? R2 . 3

6 a 12

(正四面体高

1 3 6 6 6 a 的 ),外接球的半径为 a (正四面体高 a 的 ). 4 4 3 4 3

70 分类计数原理(加法原理): N ? m1 ? m2 ? ? ? mn . 分步计数原理(乘法原理): N ? m1 ? m2 ??? mn .
m 71 排列数公式 : An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) =

n! .( n , m ∈N*,且 m ? n ).规定 (n ? m)!

0! ? 1 .
m 72 组合数公式: C n =

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! = = ( n ∈N*, m ? N ,且 m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am

m ? n ).
m n?m m m?1 m 0 组合数的两个性质:(1) C n = Cn ;(2) C n + Cn = Cn ?1 .规定 C n ? 1 .
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n 73 二项式定理 (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ;

r n ?r r 二项展开式的通项公式 Tr ?1 ? Cn 1, 2?,n) . a b (r ? 0,

f ( x) ? (ax ? b)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn 的展开式的系数关系:

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? f (1) ; a0 ? a1 ? a2 ? ?? (?1)n an ? f (?1) ; a0 ? f (0) 。
74 互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B).

n 个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+
P(An). 75 独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率:P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An).
k k n ?k 76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率: P . n (k ) ? Cn P (1 ? P)

77 数学期望: E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ? ? ? xn P n ?? 数学期望的性质 (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b . (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np .
k ?1

(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? q
2 2

p ,则 E? ?
2

1 . p

78 方差: D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ? 标准差: ?? = D? .
方差的性质:

(1) D ? a? ? b? ? a D? ;
2

(2)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1 ? p) .
(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(?

? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 D? ?
2

q . p2

2 方差与期望的关系: D? ? E? ? ? E? ? .

79 正态分布密度函数: f ? x ? ?

式中的实数μ , ? ( ? >0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差. 对于 N (?, ? 2 ) ,取值小于 x 的概率: F ? x ? ? ? ?

? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? ,

P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ?
80 f ( x) 在 x0 处的导数(或变化率):

? x?? ? ?. ? ? ?

f ?( x0 ) ? y?

x ? x0

? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t
?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t

瞬时速度: ? ? s?(t ) ? lim

瞬时加速度: a ? v?(t ) ? lim 81

函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率

f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .
82 几种常见函数的导数: (1) C ? ? 0 (C 为常数).(2) ( x n )? ? nxn?1 (n ? Q) .(3) (sin x)? ? cos x . (4) (cosx)? ? ? sin x . (5) (ln x )? ?

1 1 ; (log a x)? ? log a e . x x

(6) (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a . 83 导数的运算法则: (1) (u ? v)' ? u ' ? v' .(2) (uv)' ? u 'v ? uv' .(3) ( )' ? 84 判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法: 当函数 f ( x) 在点 x0 处连续时,

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

(1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 85 复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 86 复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 87 复平面上的两点间的距离公式:

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).
88 实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 , ①若 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

②若 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ?

③若 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 共轭复数根 x ? (b ? 4ac ? 0) . 2a


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