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高一(下)第一次段考数学试卷(解析版)


高一(下)第一次段考数学试卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若 =(2,4), =(1,3),则 B.(﹣1,﹣1) =( ) C.(3,7) D.(﹣3,﹣7) =( )

A.(1,1)

2.若向量 、 满足| |=|

|=1, 与 的夹角为 60°,则

A.

B.

C.

D.2 与 垂直,则 λ 是( )

3.已知平面向量 =(1,﹣3), =(4,﹣2),

A.﹣1 4.若 A.15°

B.1

C.﹣2 ,且 ,则锐角 α=(

D.2 ) D.60° )

B.30°

C.45°

5.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 6.将函数 y=sin(2x﹣ B.直角三角形 D.等边三角形 )的图象先向左平移

,然后将所得图象上所有点的横坐标变为 ) D.y=sinx ) D.33 ) D.192 ,则 tan(π+a6)的值为( )

原来的 2 倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应的函数解析式为( A.y=cosx B.y=sin4x = C.y=sin(x﹣ )

7.已知数列{an}中,a1=1,且 A.28 B.

+3(n∈N*),则 a10=( C.

8.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,{an}的前 4 项和为( A.81 B.120 C.168

9.若{an}为等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 S11=

A.﹣ 10.已知 A. 11.设 a= cos6°﹣

B. ,则 cos2α=( B. sin6°,b=

C. ) C. ,c=

D.﹣

D. ,则有( )

A.a>b>c

B.a<b<c

C.b<c<a

D.a<c<b

12.已知数列{an},如果 a1,a2﹣a1,a3﹣a2,…,an﹣an﹣1,…,是首项为 1,公比为 的等 比数列,则 an=( A. (1﹣ ) ) B. (1﹣ ) C. (1﹣ ) D. (1﹣ )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答卷相应的横线上.

13.△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知 则 b 的值为 . .

,a=2b,

14.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项 an=

15.如图,点 P 是单位圆上的一个顶点,它从初始位置 P0 开始沿单位圆按逆时针方向运动 角 α( 的横坐标为 )到达点 P1,然后继续沿单位圆逆时针方向运动 ,则 cosα 的值等于 . 到达点 P2,若点 P2

16.将数列{2n﹣1}按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下: (1), (3,5), (7,9,11),…, 则第 100 组中的第三个数是 .

三、解答题.本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.在答题区域作答. 17.已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)求 + +…+ 的值.

18.已知函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π),x∈R 的最大值是 1,其图象经过 点 .

(1)求 f(x)的解析式; (2)已知 ,且 , ,求 f(α﹣β)的值.

19.已知数列{an}的首项为 6,且满足 an=3an﹣1﹣6(n>2). (1)求证数列{an﹣3}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式. (2)设 bn=an+2n﹣3,求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Tn. 20.已知在△ABC 中, (1)求 tan2A; (2)若 ,求△ABC 的面积. )海里的两个观测点,现位于 A 点北 ,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.

21.如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+

偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点 相距 20 海里的 C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到

达 D 点需要多长时间?

22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=

+pn,{bn}的前 n 项和为 Tn=2n﹣1,且 a4=b4.

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;

(2)若对于数列{cn}有,cn=2(an﹣4)bn,请求出数列{cn}的前 n 项和 Rn.

2015-2016 学年广东省佛山市南海区桂城中学高一(下) 第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若 =(2,4), =(1,3),则 B.(﹣1,﹣1) =( ) C.(3,7) D.(﹣3,﹣7)

A.(1,1)

【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】根据 【解答】解: 故选 B. 【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算.属基础题. 即可得到答案. .

2.若向量 、 满足| |=| |=1, 与 的夹角为 60°,则

=(



A.

B.

C.

D.2

【考点】数量积表示两个向量的夹角;平面向量数量积的运算. 【分析】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算,由| |=| |=1, 与 的夹角为 60°, 故 案. 【解答】解:∵| |=| |=1, 与 的夹角为 60°, ∴ =| |2+| || |cos60° =| |2+| || |cos60°,将| |=| |=1, 与 的夹角为 60°,代入即可得到答

=1+ = 故选 B 【点评】向量的数量积运算中,要熟练掌握如下性质: = = ,

3.已知平面向量 =(1,﹣3), =(4,﹣2),

与 垂直,则 λ 是(



A.﹣1

B.1

C.﹣2

D.2

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【分析】由于 理得 λ=﹣1. 【解答】解:∵ ∴ , , ,所以 ,即(λ+4)﹣3(﹣3λ﹣2)=0,整

即(λ+4)﹣33λ﹣2)=0, 整理得 10λ+10=0, ∴λ=﹣1, 故选 A. 【点评】高考考点:简单的向量运算及向量垂直; 易错点:运算出错; 全品备考提示:高考中每年均有相当一部分基础题,要想得到高分,这些习题均不能大意, 要争取多得分,最好得满分.

4.若 A.15° B.30°

,且 C.45°

,则锐角 α=(

) D.60°

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】根据两向量平行的坐标表示,列出算式,求出 α 的值. 【解答】解:∵ ,且 ,

∴ × ﹣sinαcosα=0, ∴sinαcosα= ; 即 sin2α=1; 又 α 为锐角, ∴2α=90°, ∴α=45°. 故选:C. 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题,也考查了三角函数求值运算问题,是基础题 目.

5.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等边三角形



【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】在△ABC 中,总有 A+B+C=π,利用此关系式将题中:“2cosBsinA=sinC,”化去角 C,最后得到关系另外两个角的关系,从而解决问题. 【解答】解析:∵2cosBsinA=sinC=sin(A+B)? sin(A﹣B)=0, 又 B、A 为三角形的内角, ∴A=B. 答案:C 【点评】本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦函数,属于基础题,在判定三角形形状 时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,另一个方向是角,走三 角变换之路.

6.将函数 y=sin(2x﹣

)的图象先向左平移

,然后将所得图象上所有点的横坐标变为 ) D.y=sinx

原来的 2 倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应的函数解析式为( A.y=cosx B.y=sin4x C.y=sin(x﹣ )

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

【分析】将函数 y=f(x)的图象向左平移 a 个单位,得到函数 y=f(x+a)的图象;

将函数 y=f(x)的图象横坐标变为原来的 2,得到函数 y=f( x)的图象; 【解答】解:将函数 y=sin(2x﹣ ﹣ ]=sin2x 的图象, )的图象先向左平移 ,可得函数 y=sin[2(x+ )

然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变),可得函数 y=sinx 的图 象, 故选:D 【点评】图象的变换中要特别注意:左右平移变换和伸缩变换的对象是自变量 x,即

将函数 y=f(x)的图象向右平移 a 个单位,是将原函数解析式中的 x 代换为(x﹣a);

将函数 y=f(x)的图象横坐标变为原来的 ω 倍,是将原函数解析式中的 x 代换为 x/ω.

7.已知数列{an}中,a1=1,且 A.28 【考点】数列递推式. 【分析】由数列递推式可得数列{ B.

=

+3(n∈N*),则 a10=( C.

) D.33

}是等差数列,求出其通项公式后得到 an,则 a10 可求.

【解答】解:由 ∴数列{ ∴ 则 ∴ 故选:B. .

=

+3,得



=3,

}是等差数列,且首项为 1,公差为 3, ,



【点评】本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,是基础题.

8.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,{an}的前 4 项和为( A.81 B.120 C.168

) D.192

【考点】等比数列的性质. 【分析】根据等比数列的性质可知 等于 q3,列出方程即可求出 q 的值,利用 即可求

出 a1 的值, 然后利用等比数列的首项和公比, 根据等比数列的前 n 项和的公式即可求出{an} 的前 4 项和. 【解答】解:因为 = =q3=27,解得 q=3

又 a1= 故选 B

= =3,则等比数列{an}的前 4 项和 S4=

=120

【点评】 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前 n 项和的公式化简求值, 是 一道中档题.

9.若{an}为等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 S11=

,则 tan(π+a6)的值为(



A.﹣

B.

C.

D.﹣

【考点】等差数列的前 n 项和;三角函数的化简求值. 【分析】由等差数列{an}的性质可得:S11= 即可得出. 【解答】解:由等差数列{an}的性质可得:S11= = =11a6= , =11a6,解得 a6.再利用诱导公式

∴a6=

. =tan =﹣ ,

则 tan(π+a6)=tan 故选:A.

【点评】 本题考查了等差数列的性质、 诱导公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

10.(三角求值)已知 A. B.

,则 cos2α=( C.

) D.

【考点】二倍角的余弦. 【分析】把已知的等式利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简,得到 tanα 的值, 然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简, 并把分母的“1”看做 sin2α+cos2α, 分子分母都除以 cos2α,利用同角三角函数间的基本关系化为关于 tanα 的式子,把 tanα 的 值代入即可求出值.

【解答】解:由 tan(α+

)=

=

=2,解得 tanα= ,

则 cos2α=cos2α﹣sin2α=

=

=

= .

故选 D 【点评】 此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值, 灵 活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值,是一道基础题.

11.设 a= cos6°﹣

sin6°,b=

,c=

,则有(



A.a>b>c

B.a<b<c

C.b<c<a

D.a<c<b

【考点】三角函数的化简求值. 【分析】由三角函数恒等变换化简可得 a=sin24°,b=sin26°,c=sin25°.根据角的范围和正弦 函数的单调性即可比较大小. 【解答】解:∵a= cos6°﹣ sin6°=sin30°cos6°﹣cos30°sin6°=sin24°,

b= c=

=sin26°, =sin25°.

∵0°<24°<25°<26°<90° ∴sin26°>sin25°>sin24°, 即有:a<c<b, 故选:D. 【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用,正弦函数的单调性,属于基本知识的 考查.

12.已知数列{an},如果 a1,a2﹣a1,a3﹣a2,…,an﹣an﹣1,…,是首项为 1,公比为 的等 比数列,则 an=( A. (1﹣ ) ) B. (1﹣ ) C. (1﹣ ) D. (1﹣ )

【考点】等比数列的性质. 【分析】因为数列 a1,(a2﹣a1),(a3﹣a2),…,(an﹣an﹣1),…,此数列是首项为 1, 公比为 的等比数列,根据等比数列的通项公式可得数列{an}的通项.

【解答】解:由题意 an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(an﹣an﹣1)=

故选:A. 【点评】考查学生对等比数列性质的掌握能力,属于基础题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答卷相应的横线上.

13.△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知 则 b 的值为 .

,a=2b,

【考点】解三角形.

【分析】由 c,cosC 的值及 a=2b,利用余弦定理即可列出关于 b 的方程,求出方程的解即 可得到 b 的值. 【解答】解:由 c=3,cosC= ,a=2b, 根据余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC 得: 5b2﹣2b2=9,即 b2=3, 所以 b= .

故答案为: 【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值,是一道基础题.

14.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项 an= 【考点】等比数列的通项公式.

32n﹣3 .

【分析】根据已知知道数列为等比数列,并且知道第三项和第十项,利用 a10=a3q7 可以得出 公比,进而利用公式求出通项公式即可. 【解答】解:已知数列为等比数列,得 q7=
﹣3

=128=27,故 q=2,∴利用通项公式 an=a3qn

=32n﹣3.

故答案为 32n﹣3 【点评】本题主要求解等比数列的通项公式,属于数列最基本的试题,更应该熟练掌握.

15.如图,点 P 是单位圆上的一个顶点,它从初始位置 P0 开始沿单位圆按逆时针方向运动 角 α( 的横坐标为 )到达点 P1,然后继续沿单位圆逆时针方向运动 ,则 cosα 的值等于 . 到达点 P2,若点 P2

【考点】任意角的三角函数的定义. 【分析】首先根据 P2 的横坐标为 性质求出 sin( ,求出 cos(α+ )的值,然后根据同角三角函数的 )﹣ ]化简即可求出 cosα.

),最后根据 cosα=cos[(

【解答】解:∵cos(α+ ∴sin( ∴cosα=cos[( = = = 故答案为 ; . )= )﹣

)=﹣

]

【点评】本题考查单位圆与周期性,以及任意角的三角函数的定义及其应用.通过三角函数 的转化来求角的余弦值.属于基础题.

16.将数列{2n﹣1}按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下: (1), (3,5), (7,9,11),…, 则第 100 组中的第三个数是 【考点】归纳推理. 【分析】当 n≥2 时,前 n﹣1 组共有 1+2+…+(n﹣1)= 为 2× 个奇数.其最后一个奇数 9905 .

﹣1=n2﹣n﹣1.求出第 100 组中的最后一个奇数为 9809,即可得出结论.

【解答】解:当 n≥2 时,前 n﹣1 组共有 1+2+…+(n﹣1)=

个奇数.

其最后一个奇数为 2×

﹣1=n2﹣n﹣1.

∴第 100 组中的最后一个奇数为 9809, ∴第 100 组中的第三个数是 9905.

故答案为:9905. 【点评】本题考查了等差数列通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

三、解答题.本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.在答题区域作答. 17.已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)求 + +…+ 的值.

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 【分析】(1)根据等差中项的性质可知:a2=4,由=a2﹣a1=2 根据等差数列通项公式及前 n 项和公式即可求得数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; Sn=n (2) 由 (1) 可知: (n+1) , + +…+ 的值. , 采用“裂项法”即可求得

【解答】解:(1)由:等差数列性质可知 a1+a2+a3=3a2=12, a2=4,…1 分 由 d=a2﹣a1=2 …2 分 ∴数列{an}的通项公式为:an=a1+(n﹣1)d=2+2(n﹣1)=2n …4 分 数列{an} 的前 n 项和为: (2)∵ = …8 分 …9 分 …6 分

= ∴ +

…10 分 +…+ = .

【点评】本题考查等差数列通项公式及前 n 项和公式的应用,考查采用“裂项法”求数列的前 n 项和,考查计算能力,属于中档题.

18.已知函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π),x∈R 的最大值是 1,其图象经过 点 .

(1)求 f(x)的解析式; (2)已知 ,且 , ,求 f(α﹣β)的值.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的余弦函数.

【分析】(1)根据题意求出 A,图象经过点 的解析式; (2) ,且 ,

,代入方程求出 φ,然后求 f(x)

,求出

,然

后求出 sinα,sinβ,利用两角差的余弦函数求 f(α﹣β)的值. 【解答】解:(1)依题意有 A=1,则 f(x)=sin(x+φ),将点 , 而 0<φ<π, ∴ , ∴ , 故 代入得 .

(2)依题意有

,而

,∴





【点评】 本题是基础题, 考查三角函数的解析式的求法, 以及两角差的余弦函数公式的应用, 是常考题.

19.已知数列{an}的首项为 6,且满足 an=3an﹣1﹣6(n>2). (1)求证数列{an﹣3}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式. (2)设 bn=an+2n﹣3,求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.

【分析】 (1)由题知 a1﹣3=3,

=

=3,从而证明数列{an﹣3} 是

以 3 为首项,以 3 为公比的等比数列,由此能求出数列{an}的通项公式. (2)由 ,利用分组求和法能求出数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Tn.

【解答】解:(1)∵数列{an}的首项为 6, ∴由题知 a1﹣3=3.…1 分 ∵an=3an﹣1﹣6(n>2), ∴ = = =3,…3 分

数列{an﹣3} 是以 3 为首项,以 3 为公比的等比数列.…4 分 ∴ ∴ .…6 分 …5 分

(2)∵bn=an+2n﹣3, ∴ …7 分

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=(31+2×1)+(32+2×2)+(33+2×3)+…+(3n+2×n) …8 分

=(31+32+33+…+3n)+2(1+2+3+…+n) …9 分 = …10 分

=

.…12 分

【点评】本题考查等比数列的证明,考查数列的通项公式及前 n 项和的求法,是中档题,解 题时要认真审题,注意分组求和法的合理运用.

20.已知在△ABC 中, (1)求 tan2A;

,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.

(2)若

,求△ABC 的面积.

【考点】解三角形;同角三角函数基本关系的运用. 【分析】(1)先利用同角三角函数基本关系求得 sinA,进而求得 tanA,进而利用正切的二 倍角公式求得 tan2A. (2)运用诱导公式求得 cosB,进而利用同角三角函数基本关系求得 sinB 的值,根据两角 和公式求得 sin(A+B)的值,进而求得 sinC,再由正弦定理求得 a,最后根据三角形面积 公式求得答案. 【解答】解:(1)因为 所以 ,则 .

所以



(2)由 得 则 由正弦定得,得 所以△ABC 的面积为 ,所以



. , .

【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.涉及了同角三角函数基本关系,正切的二倍 角公式,两角和公式等.考查了考生对三角函数基础知识的掌握.

21.如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+

)海里的两个观测点,现位于 A 点北

偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点 相距 20 海里的 C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到

达 D 点需要多长时间?

【考点】解三角形的实际应用. 【分析】先根据内角和求得∠DAB 和,∠DBA 及进而求得∠ADB,在△ADB 中利用正弦 定理求得 DB 的长,进而利用里程除以速度即可求得时间. 【解答】解:由题意知 AB=5(3+ )海里,

∠DBA=90°﹣60°=30°,∠DAB=90°﹣45°=45°, ∴∠ADB=180°﹣(45°+30°)=105°, 在△ADB 中,有正弦定理得 ∴DB= = = =10

又在△DBC 中,∠DBC=60° DC2=DB2+BC2﹣2×DB×BC×cos60°=900 ∴DC=30 ∴救援船到达 D 点需要的时间为 =1(小时)

答:该救援船到达 D 点需要 1 小时.

【点评】 本题主要考查了解三角形的实际应用. 考查了学生运用所学知识解决实际问题的能 力.

22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=

+pn,{bn}的前 n 项和为 Tn=2n﹣1,且 a4=b4.

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;

(2)若对于数列{cn}有,cn=2(an﹣4)bn,请求出数列{cn}的前 n 项和 Rn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)由 能求出数列{an}、{bn}的通项公式. (2)由 cn=2(an﹣4)bn=n2n,利用错位相减法能求出数列{cn}的前 n 项和 Rn. ,求出 bn,同理求出 ,再由 a4=b4,

【解答】解:(1)∵数列{an}的前 n 项和为 Sn= a4=b4. ∴n=1 时,b1=T1=2﹣1=1, n≥2 时, . 当 n=1 时, n≥2 时, ∵ , , , ,

+pn,{bn}的前 n 项和为 Tn=2n﹣1,且

,n=1 时,该式成立,

由 a4=b4,得 4+9﹣ =8,解得 p= , ∴an=n+4. (2)由(1)得,cn=2(an﹣4)bn=n2n, ∴ ,① ② ②﹣①得, =(n﹣1)2n+1+2,

=

【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,是中档题,解题时 要认真审题,注意错位相减法的合理运用.


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