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高考数学三角函数训练习题


第四章

三角函数

[内容提要] 需要掌握三角函数的定义、三角函数值的符号、三角函数线的概念;熟记特殊角的角函 数值, 注重运用单位圆分析问题、 解决问题; 熟记同角三角函数间的基本关系式及诱导公式; 掌握基本三角函数图象的画法、定义域、值域、周期的求法,以及奇偶性、最值点、单调区 间、零点和对称点。 基本类型 (1) 角的度量:角度制、弧度制及角度与弧度的互化方面; (2) 角的表示:象限角和终边相同角的集合表示; (3) 同角三角函数间的基本关系:倒数关系、商数关系、平方关系; (4) 诱导公式:奇变偶不变,符号看象限; (5) 三角函数的图象与性质:定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性。 (6)

y ? A sin(wx ? ? ) 的图象和性质:五点法、图象变换法、以图识性、数形结合;

(7) 三角函数线:利用三角函数线表示三角函数值的有向线段,及探求三角函数的 变化规律,比较三角函数值的大小,解三角不等式。

一、概念及任意角的三角函数
例 1 如图 4-1,射线 OA 与 y 轴正方向所夹的锐角是 15 ? ,射线 OB 与 x 轴正方向所夹的锐角是 18 ? ? (1) 用弧度制写出 [0,2? ) 内的阴影部分的角的集合(含边界); (2) 用弧度制写出 R 上的阴影部分的角的集合(含边界). O B 例 2 已知 ? 是第二象限的角,试判断下列各角的范围: (1) x A

y

? ??

;

(2)

? ; 2

(3)

2? .

例 3 已知在角 ? 的终边上的一点 P(5a,?12a) (a ? R, 且a ? 0), 求 sin ? ? tan ? 的值.

例 4 求下列函数的定义域: (1)

y ? lg( 2 ? 2 cos x) ;?????????????????

y ? tan x ? 1 ??

? 例 5 (1) 求函数 y ?

sin x | cos x | tan x | cot x | 的值域;? ? ? ? | sin x | cos x | tan x | cot x

(2) 如果 ? 是第三象限的角,判断 sin(cos? ) ? cos(sin? ) 的符号; (3) 设 ? 是第四象限的角,比较 sin ? 和 tan ? 的大小. 基础过关 1. 已知命题: (1)终边相同的角必相等, (2)第一象限的角是锐角; (3)小于 90 ? 的角是锐角. 上述命题中,正确的个数是( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

2.

? 为第二象限的角,其终边上的一点为 P( x, 5 ) ,且 cos? ?
10 4 6 4 2 4

2 sin ? 等于( ) x ,则 ? 4
(D)

(A)

(B)

(C)

?

10 4

3. 在 ? 720 ? 到 720 ? 之间与 ? 1020 ? 的终边相同的角有___________. 4. 若 ? 是第三象限角,则

?
2

? 是__________象限角; 2? 的范围是_____________; 2

? ? 是__________象限角.

5. 已知角 ? 的终边上一点 P 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离之比为 4 : 3 , 且 cos ? ? 0 , 求

sin ? 和 tan ? 的值.
6. 已知一扇形的周长为定值 C (C ? 0) .当扇形的中心角为多大时,他有最大的面积. 能力迁移 7. 若 ? 是第二象限角,那么 tan (A) 正数. (C) 正数、负数都有可能. 8. 已知集合 M ? ? x x ?

?
2

的值一定是(

)

(B) 负数. (D) 正数、零都有可能.

? ?

?
4

?

? ? ? k? ? k? , k ? Z ?, N ? ? x x ? ? , k ? Z ?, 则 M 与 N 的关系 2 2 4 ? ? ?
M

是( (A)

)

M ?N.

(B)

N.

(C)

M

N.

(D)

M ? N ?? .

9. 用弧度制表示第四象限角的集合是____________. 10. 已知集合 M ? ?? sin ? ?

? ?

? ? ? 1 1 ,0 ? ? ? ? ?, P ? ?? cos? ? ,0 ? ? ? ? ?, 则 M ? P ? 2 2 ? ? ?

_____________. 11. 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边在直线 4 x ? 3 y ? 0 上. 求 sin ? (sin ? ? cot? ) ? cos2 ? 的值.

12. 时针指到 3 点后,当分针在 1 小时内走 55 分时,时针到分针的角是多少度? 合多少弧度? 13. 求函数 y ? lg(tan x ? 3 ) ? 4 ? x 2 的定义域.

二、同角三角函数关系及诱导公式
基本知识 1. 同角三角函数间的基本关系: 倒数关系: sin ? csc ? ? 1 , cos ? sec ? ? 1 , tan ? cot ? ? 1 商数关系: tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? . cos ? sin ?
2

2 2 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 , 1 ? tan ? ?

1 1 2 , 1 ? cot ? ? 2 cos ? sin 2 ?

补充: (sin? ? cos? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos? 2. 诱导公式: (

1 k? ? ? (k ? Z ) 与 ? 的关系 ) 2

??

?
2

??

? ??
? sin ?

3? ?? 2

2? ? ?
? sin ?

sin cos tan

? sin ?

cos?
? sin ? ? cot ?
奇变

? cos?
? sin ? ? cot ?
奇变

cos? ? tan ?

? cos? ? tan ?

cos? ? tan ?

例 1 (1) ? ? (? ,2? ) , tan ? ?

1 ,求 sin ? ? cos ? 的值; 2 1 3? ? ? ? 2? ,求 sin(2? ? ? ) 的值; (2)已知 cos( ? ? ? ) ? ? , 2 2 m?3 4 ? 2m (3)已知 ?ABC 的内角 A 满足 sin A ? , cos A ? ,求 tan A 的值。 m?5 m?5

例 2 化简(1)

sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) tan(?? ? 3? ) ; 5? cos( ? ? ) tan( 8? ? ? ) cot( ? ? 3? ) 2

(2) sin 2 (42? ? ? ) ? cot2 (25? ? ? ) ? cot2 (? ? 65?) ? sin 2 (48? ? ? ) . 例 3 已知 sin ? ? cos ? ? (3) sin ? ? cos ? .
3 3

1 ,且 ? ? ? ? 2? ,求(1)sin ? ? cos ? ; (2)sin ? ? cos ? ; 5

例4 若 ? ? (0,2? ) ,且适合等式

1 ? cos? 1 ? cos? ? ? 2 cot? ,求 ? 的取值范围. 1 ? cos? 1 ? cos?

基础过关 1.化简 1 ? sin 2 1180 ? 的结果是( (A) 2. sin( ? ) (C)

cos 100 ?

(B)

cos 80 ?


sin 80 ?

(D)

cos 10 ?

19? ) 的值是( 6
1 2
(B)

(A)

?

1 2

(C)

3 2

(D) .

?

3 2

3.已知 tan ? ? ?2 ,则

1 2 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 4 5

4.已知 ? 是第四象限角,则

1 cos? 1 ? tan2 ?

?

2 cot? 1 ?1 sin 2 ?

的值是



5.已知 sin(? ? ? ) ?

4 tan( ? ? ? ) ? cot(2? ? ? ) , sin ? ? cos ? ? 0 ,求 的值. 5 cos(? ? 2? )

6.已知 sin ? ? cos ? ? 能力迁移

1 3 3 ,求 sin ? ? cos ? 的值. 2

7.设 A, B, C 为 ?ABC 的三内角,则不管 ?ABC 的形状如何变化,表达式 ① sin(A ? B) ? sin C , ③ tan ② cos(A ? B) ? cosC ; ④ cos )

A? B C tan ; 2 2

A? B C sec 2 2

始终表示常数的是(

(A) ①与②.

(B)

②与③.

(C)

②与④.

(D)

③与④.

) ? ?1 , 8. 设 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) , 其中 a, b, ? , ? 都是非零实数. f (2002 ) 等于( 那么 f (2003
(A) -1. ) (B) 0. (C) 1. (D) 2.

1 1 1 ? ? __________. 9.设 x ? [0, ] , sin x cos x ? ,那么 2 2 1 ? sin x 1 ? cos x

?

三、两角和与差的三角函数
1.基本公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tan( ? ? ?) ?

sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos? sin ? tan? ? tan ? ? ? cos(? ? ? ) cos? cos ? ? sin ? sin ? 1 ? tan? tan ?

sin 2? ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos? ? cos? sin ? ? 2 sin ? cos?

cos2? ? cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin ? sin ? ? cos2 ? ? sin 2 ?
cos2? ? 2 cos2 ? ? 1 cos2? ? 1 ? 2 sin 2 ?
t a n2 (? ) ? t a n? ( ??) ? t an ? ? t an ? 2t an ? ? 2 1? t a n ? t an ? 1? t a n ?

例1 填空题: (1) cos 195 ? 的值等于___________;

1 ? tan 15 ? ? ___________; 1 ? tan 15 ? (3) tan 67?30? ? tan 22?30? ? __________.
(2) 例2 设 cos( ? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? ?

3 , ? 是第二象限的角,求 tan 2? 的值. 5

例3 化简

2 sin x sin y ? cos(x ? y ) . sin(x ? y ) ? 2 cos x sin y

例4 不查表求 cos 20? cos 40? cos 80? 的值. 例5 (1) 求 tan70? ? tan50? ? 3 tan50? tan70? 的值; (2) 已知 A ? B ? 45 ? ,求证 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ,进而化简

(1 ? tan1?)(1 ? tan2?)?(1 ? tan44?)(1 ? tan45?) .
基础过关 1.化简 sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin ? 的结果是( (A) sin(2? ? ? ) . (B) cos? . (C)

) (D)

? sin ? .

sin ? .

2. a ? sin 13? ? cos13?,b ? 2 2 cos 14? ? 2,c ?
2

6 ,则 a,b,c 的大小关系是 2
(D)



) (A) a ? c ? b . (B) b ? c ? a . (C)

c?b?a.

c?a?b.

3.已知 sin x ? cos x ?

2 ,则 cos 4 x ? __________. 2

o s ( ? ? ? ) ? _________. 4. 已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 ,cos? ? cos ? ? cos? ? 0 , 则c
5.在斜三角形 ABC 中,求证: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C . 6.已知 sec ? ? 2 tan? ? 3 ,求 cos 2? 的值.
2

能力迁移 7. cos 105 ? cos 15? 等于( (A)



1 . 4

(B) ?

1 . 4


(C)

3 . 4

(D)

?

3 . 4

8. log 2 cos (A)

?
5

? log 2 cos

2? 等于( 5
(B) ? 2 .

? 1.

(C)

?

1 . 2

(D)

2.

9. tan 20? tan 30? ? tan 20? tan 40? ? tan 30? tan 40? ? ___________. 10.已知 f ( x) ? 1 ? x ,化简 f (sin 2? ) ? f [sin(?2? )] ? __________ (0 ? ? ? ? ) . 11.求证:

tan x ? tan y sin(x ? y ) ? . tan x ? tan y sin(x ? y )

12.已知 tan? ?

2 cos2

?
2

? sin ? ? 1

2 ,求

13.已知 tan ? 和 tan(

?
4

2 sin( ? ? ) 4
? ? ) 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两根,试求 p, q 满足的关系式.

?

的值.


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