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2009年福建省高中数学竞赛


2009 年福建省高中数学竞赛 暨 2009 年全国高中联赛(福建省赛区)预赛试卷
(考试时间:2009 年 9 月 13 日上午 9:00-11:30) 一、填空题:每小题 6 分 1 .已知向量 OP ? (2 cos(

?

? x), ?1), OQ ? (? sin( ? x), cos 2 x), f ( x) ?

OP OQ 。若 2 2
?ABC
中 角

?

a, b, c

分 别 是 锐 角

A, B, C

的 对 边 , 且 满 足 。

f ( A) ? 1, b ? c ? 5 ? 3 2, a ? 13 ,则 ?ABC 的面积 S ?
2.设 a ? ?1 ,变量 x 满足 x ? ax ? ? x ,且 x ? ax 的最小值为 ?
2 2

1 ,则 a ? 2



3.已知 5 个不同的实数,任取两个求和得到 10 个和数,其中最小的三个和数依次为 32、 36、37,最大的两个和数为 48 和 51,则这 5 个数中最大的数等于 。 4.一个直径AB=2的半圆,过A作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一点S,使A S=AB,C为半圆上一个动点,M、N分别为A在SB、SC上的射影。当三棱锥S- AMN的体积最大时,SC与平面ABC所成角的正弦值是 。 5 .若定义在R上的奇函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,且当 0 ? x ? 1 时,

1 f ( x) ? log3 x ,则方程 f ( x) ? ? ? f (0) 在区间(0,10)内的所有实根之和为 3



6.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1 : 4 x ? 5 y ? 20 与 x 轴、 y 轴分别交于点A、B,直 线 l2 与线段AB、OA分别交于点C、D,且平分三角形AOB的面积,则 CD 的最小值 为 。
2
2

7. 若对于任意的实数 x , 函数 f ( x) ? x ? 2x? | x ?1 ? a | ? | x ? 2 | ?4 的值都是非负实数, 则实数 a 的最小值为 。 8.集合{1,2,3,…,2009}的元素和为奇数的非空子集的个数为 9.方程 x
[ x]



9 ? 的实数解是 2

。 (其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数)

10 .满足 0 ? ki ? 20, i ? 1, 2,3, 4 且 k1 ? k3 ? k2 ? k4 的有序整数组 (k1 , k2 , k3 , k4 ) 的个数 为 。

1

二、解答题:每小题 20 分

ax ? 1 ,方程 f (x) ? ?4 x ? 8 有两个不同的正根,且一根是另一根的 3 3x ? 1 S 倍。等差数列 {an } 与 {bn } 的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn ,且 n ? f (n)(n ? 1, 2,3, ) 。 Tn a (1)设 g (n) ? n (n ? 1, 2,3 ) ,求 g (n) 的最大值。 bn 5 (2)若 a1 ? ,数列 {bn } 的公差为 3,探究在数列 {an } 与 {bn } 中是否存在相等的项。若 2 有,求出由这些相等项从小到大排列得到的数列 {cn } 的通项公式,若没有,请说明理由。
11.已知 f ( x) ?

2

12.已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点坐标为 F (2, 0) ,点 P 的坐标为 (m,0)(m ? 0) 。 (1)设过点 P 斜率为 1 的直线 l1 交抛物线 C 于 A, B 两点,若 m ? 0, P 关于原点的对称点 为 Q 。求 ?QAB 面积的最大值。 ( 2)设过点 P 斜率为 k (k ? 0) 的直线 l2 交抛物线 C 于

M , N 两点,在 x 轴上是否存在一点 T ,使得 TM , TN 与 x 轴所成的锐角相等?若存在, 求出点 T 的坐标,若不存在,请说明理由。 C 13.如图, O 与线段 AB 相切于点 M ,与以 AB 为直 径的半圆相切于点 E 。 CD ? AB 于点 D , CD 与以 AB 为直径的半圆交于点 C ,且与 O 相切于点 F ,连接 E F O AC , CM 。 B A D M 求证: ( 1 ) A, F , E 三点共线, ( 2 ) AC ? AM , ( 3)
MC 2 ? 2MD ? MA 。

3

14.设 xi ?{ 2 ?1, 2 ?1}, i ? 1,2,

,2010 。令 S ? x1x2 ? x3 x4 ?

? x2009 x2010 。

(1) S 能否等于 2010?证明你的结论, (2) S 能取到多少个不同的整数值?

4

15.已知正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 3 。求证: (1) 3 ?

1 1 1 3 a ?1 b ?1 c ?1 ? ? ? , ? ? ? 2。 (2) a ?1 b ?1 c ?1 2 a(a ? 2) b(b ? 2) c(c ? 2)

5


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