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2.2.3向量数乘运算及其几何意义


2.2.3向量数乘运算及其几何 意义
E C A B D

数学组

学习目标
知识与技能
通过实例,掌握向量数乘运算,理解其几何意 义,理解向量共线定理。熟练运用定义、运算 律进行有关计算,能够运用定理解决向量共线、 三点共线、直线平行等问题。

过程与方法
理解掌握向量共线定理及其证明过程,会根据 向量共线定理判断两个向量是否共线。

二、讨论(约10分钟)
重点讨论的问题:
问题一:实数与向量能否进行相乘运算?
问题二:若实数与向量能相乘运算,还满足哪些运算律?
问题三:怎样证明三点共线?

讨论要求: (1)小组内先集中讨论,再组内一对一讨论,小组长注意控制

讨论节奏,及时安排展示与点评。 (2)力争全部达成目标,且多拓展,注重方法总结,力争全部掌 握。

一、复习回顾
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接,首尾连 C ? ? ? a?b b
A

2.向量加法平行四边形法则:
B

? a
? ? ?a ?b b

C 特点:共起点

? b

? a

B

O

? a

A

? a

3.向量减法三角形法则:

? b

B

? A b 特点:共起点,连终点,方向指向被减数

O

? a

??? ? ? ? BA ? a ? b

二、新课导入
向量数乘问题的实际背景
在物理中:位移与速度的关系:S=vt, 力与加速度的关系:F=ma. 其中位移、速度,力、加速度都是向量, 时间、质量都是数量

练习1:
如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a).

a

O

a -a B -a

a

a

A

OA= a+a+a =3a

-a

P

PB= (-a)+(-a) =-2a

探究: 相同向量相加以后,和的长度与方向,相对于 a 产生了什么变化?

定义:
一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,这种运

算叫做向量的数乘运算,记作λa。
它的长度和方向规定如下:

(1) 长度 (2) 方向

|λa|=|λ|· |a| 当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反;

特别地,当 λ=0 或 a = 0 时, λa = 0 几何意义:将 a 的长度扩大(或缩小) |λ|倍,改变 a (或不改变)a 的方向,就得到了λ

说说看 已知:向量

a

a

试从大小和方向两个角度,说说下面各向量与 a 的关系 2a

1 ? a 3

?3 a

练习2:
(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a≠0),并比较。

? a

? 3(2a )

? 6a
结论: 3(2a)=6 a (2) 已知向量a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b,并比较。

? b

? a

? ? a ?b

? ? 2a ? 2b

? 2b
? 2a

结论: 2a+2b=2(a+b)

运算律: 设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有:
①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa
结合律

第一分配律 第二分配律

③λ(a+b)=λa+λb

练习3:
计算:(口答) (1) (-3)×4 a (2) 3( a+b) –2( a-b)-a (3) (2a+3b-c) –(3a-2b+c ) 解: (1) 原式 = -12a (2) 原式 = (3-2-1)a+(3+2)b = 5b

(3) 原式 = (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c = -a+5b-2c
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 对于任意的向量 a,b 以及任意实数 λ,μ , 恒有 λ(μ1a±μ2b)=λμ a±λμ b 1 2

思考:
1、如果 b=λa , 那么,向量a与b是否共线? 2、如果非零向量a与b共线,那么是否有λ,使b=λa ? 对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使得 b=λa , 那么,由数乘向量的定义知:向量a与b共线。

若向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是a的长 度的μ(μ>0)倍,即有|b|=μ|a|,且 当a与b同方向时,有b=μa;
当a与b反方向时,有b=-μa, 所以始终有一个实数λ,使b=λa。

定理: 向量a(a≠0)与b共线, 当且仅当有唯一 一个实数λ,使b=λa.

向量a(a≠0)与b共线, 当且仅当有唯一 一个实数λ,使b=λa. 思考:1) a为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?

共线定理小练习
点C在线段AB上,且AC︰CB = 2︰5

2 5 ? 则 AC ? 7 AB BC ? 7 AB

例1:
已知任意两非零向量a、b, 试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。

你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?
解:作图如右 a b C b B A b O


依图猜想:A、B、C三点共线


AB=OB-OA =a+2b-(a+b)=b

又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b


b a

AC=2AB

又 AB与AC有公共点A,

A、B、C三点共线.

试一试
如图,已知AD=3AB、DE=3BC,证明A、C、E三点共线。 解: ∵ AB+BC=AC 又 AE=AD+DE =3 AB+3 BC =3( AB+ BC ) =3 AC
∴ 又∵

E

C
A B D

AC与AE 共线 AC与AE 有公共点A

∴ A、C、E三点共线

a

例2:

如图: ABCD的两条对角线交于点 b M,且 AB ? a, AD ? b , 你能用 a ,表示

MA, MB, MC, MD. 吗?
D C

M A B

试一试


? ? 试用 a ,b

? ? ABCD中,设对角线 AC = a , BD = b
表示 AB , BC D C

M A B

1 N在线段BD上,且有BN= BD,求证:M、N、C 3
三点共线。
D

如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB中点,点

C

N A M B

小结回顾:
一、概念与定理 ① λa 的定义及运算律 ② 向量共线定理 ( a≠0 ) b=λa 向量a与b共线

二、知识应用: 1.证明 向量共线; 2.证明 三点共线: AB=λBC 3.证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB、CD不重合

A,B,C三点共线;
直线AB∥直线CD

谢谢!


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