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直线的倾斜角与斜率观摩课


问题1:如何确定一条直线在直角坐标

系的位置呢?
两点 问题2:如果已知一点还需附加什么条 件,才能确定直线?
确定直线位置的要素除了点之外,还有直线的倾斜程 度.

直线的倾斜角
y

l
α

α

o

x

r />
我们取x轴为 基准,x轴正向 与直线L向上的 方向之间所成的 角α叫做直线L 的倾斜角。

3、直线倾斜角的意义
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中,每一条直线都有 一个确定的倾斜角。
倾斜程度 ? 倾斜角

倾斜角相同能确 定一条直线吗? 相同倾斜角可作无 数互相平行的直线
l3

yl l 1 2

o

x

练习:
下列四图中,表示直线的倾斜角的是( A y ) A: y B: a o o a C:
y

a
x o

D:

y

请在错误的三项中正确表示倾斜角

x

a

o

x

x

1、直线的倾斜角
规定:当直线和x轴平行或重合时, 它的倾斜角为0°
y o

?

p

l
x

y

l

y o p

y

p o

?x

?x

p

o

l x

l

由此我们得到直线倾斜角α的范围为:

?

o o ? [ 0 ,180 )

看看这三条直线,它们倾斜角 的大小关系是什么?

l1 y
想一想
o

l2

l3
x

想一想 你认为下列说法对吗? 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。



2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线 。

练习: 判断正误:
①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为 tan( ? )
②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π。 ( )

③两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等( ) ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在 ( )

⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大

(

)

日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升 高 量 前进量

升高量 坡度 ? 前进量

引进一个刻画直线倾斜程度的量——直线的斜率(直线倾 斜角的正切值)

2、直线的斜率
定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切
叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示,即:

k ? tan ? ,0 ? ? ? 180
0

0

倾斜角是90 °的直线没有斜率。

倾斜角 斜率

0° 0

30° √3/3 1

60° √3

90° 不存在 -√3

135° -1

150° -√3/3

大家能从中发现些什么吗?
α=0°

k=0

0°<α<90° K>0

α=90°

90°<α<180° K<0

斜率不存在

α ∈[0°,90°)时,倾斜角越大,斜率越大; α ∈(90°,180°)时,倾斜角越大,斜率越大.

y
o

?

p

l
x

y p
o

l

y
o p

y

?x

?x

p

o

l x

l

0°< ? < 90°

? = 90°
k不存在

90°< ? <180°

?

= 0°

k >0

k<0

k=0

应用:
例1:如图,直线 l1 的倾斜角 ?1 =300,直线 l2⊥l1,求l1,l2 的斜率。
y
l2

l1

?1
O

?2
x

例2 直线 l1、 l2、 l3的斜率分别是k1、 k2、 k3,试比较斜率的大小 l4 l 2 l1
l3

例3、 填空 0 3 (1) 若? ? 60 则k=________ 0 若k ? ? 3, 则? ? ________ 120 0 0 3 ? ? ( 30 , 60 ) ____, ; (2 ) 若 ,则 k ? ( 3)

( 3 )若k ? (?1,1) 则 ? 的取值范围 0 0 0 [0, 45 ) (135 ,180 ) _________ 0 0 若? ? (60 ,150 ),则K的取值范围___
(??, ? 3 ) ( 3, ??)

3 0 0 ,150 ) _____ 若 k ? (? 3,? ), 则? ?(120 3

3

小结
1、倾斜角的定义及其范围

0 ? ? ? 180
0
0

0

2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化

判断:

1、平行于X轴的直线的倾斜角为0或 ?

?不存在? ? 90 k ?? 0 ? tan ? ? ? 90

?

2、直线的斜率为tan ?,则它的倾斜角为?

3、直线的倾斜角越大,则它的斜率也越大

? ?

想一想 我们知道,两点也可以唯一确定一条直线。 所以我们的问题是: 如果知道直线上的两点,怎么样 来求直线的斜率(倾斜角)呢?

3、探究:由两点确定的直线的斜率 k ? tan ?

锐角
y
y2
y1

能不能构造 一个直角三 如图,当 α为锐角时, 角形去求? P2 ( x2 , y2 )

?
P 1 ( x1 , y1 )

? ? ?P2 P 1Q,

Q( x2 , y1 )

且x1 ? x2 , y1 ? y2

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

?0

钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角是, ? ? ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y 2 tan? ? tan( 180? ? ? )
P 1 ( x1 , y1 )

?
Q( x2 , y1 )

o

x1

x2

?

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP 中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 P 1Q

?0

思考?
1、当直线平行于y轴,或与y轴重合时 k不存在 ,上述公式还适用吗?为什么?

? ? 90 , tan90 (不存在)
? ?

y

y2 y1

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

o

x 答:斜率不存在, 因为分母为0。

思考?
2、当直线平行于x轴,或与 x轴重合时, ? k ? tan0 ? 0 上述公式还适用吗?为什么?

? ?0

?

y
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

x1 o

x2

x

答:成立,因为 分子为0,分母不 为0,K=0

) 2、已知直线上两点 A(a1 , a2 )、 B(b1 , b2, 运用上述公式计算直线AB的斜率时,与 A、B的顺序有关吗?

b2 ? a2 k AB ? b1 ? a1

?

a2 ? b2 kBA ? a1 ? b1

答:与A、B两点的顺序无关 。

3、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P 1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线的斜率公式 :

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
P2 P1 P1 P2

例1

、如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),求 直线AB、BC、CA的斜率,并判断这 些直线 的倾斜角是什么角? y. 解 B . A 2?2 . . . . . . . : ?0 直线AB的斜率 k AB ? o x ?8? 4 . ?2?2 ?4 1
直线BC的斜率 kBC ? 直线CA的斜率 kCA
0 ? (?8) ? 8 ?? 2

C

思考: 过A点 k ? 0 ∴直线 AB 的倾斜角为零度角。 ∵ AB 的直线L与线 ∵ k BC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。
∵ kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

2 ? ( ?2) 4 ? ? ?1 4?0 4

段BC有交点, 求L的斜率k 的变化范围

应用与实践2
例2、在平面直角坐标系中,画出经过原点且 斜率分别为1,-1,2和-3的直线 l1 , l2 , l3及l4 。
y A3 A1 O A2

l3

l1

解:(待定系数法) 设直线上另一点A1(1,y)
y?0 ?1 ? 则:k ? 1? 0

y ?1

x

所以过原点和A1 (1,1) 画直线即可

A4 l 4

l2

说明:也可设其它特殊点

应用与实践3

例 3 从 M ( 2 , 2 )射出一条光线, 经过 x 轴反射

后过点 N( ? 8 , 3 ) , 求反射点 P 的坐标
解:设 P(x,0) 因为入射角等于反射角
y

? K MP ? ?K PN
2 3 ? 2?x 8? x

N(-8,3)
2 -2

解得 x ? ?2

P

M(2,2 ) O 2

x

? 反射点 P ( ? 2 ,0 )

例题
练1、求经过A(-2,0), B(-5,3)两点的直线的斜率

变式1、在例1基础上加上点C(m,4)也在直线上, 求m。 变式2、在例1基础上加上点D(8,6),判断点D是否 在直线上。

练2、已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三点共线, 求a 的值.
y.

. . . .

.

A

o

.
C

. . .

x

巩固与测试
1. 判断正误: ①因为所有直线都有倾斜角,所以所有直线都有斜率。

( )

②因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平行于y轴的直线 的倾斜角不存在 ③直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大

( ) ( )
1 2 ,则 x = ______.

2 . ( 填空题)已知 A(x,-2),B(3,0),且 k AB ?

-1

三、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围: 0? ? ? ? 180? ? 2、直线的斜率定义: k ? tan a (a ? 90 ) 3、斜率k与倾斜角 ? 之间的关系:

?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? ?0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ? ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?

4、斜率公式: k

y2 ? y1 y1 ? y2 ? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

? α∈[0° ,90° )时,倾斜角越大,斜率越大; ? α∈(90° ,180° )时,倾斜角越大,斜率越大.

? ? 180 ? ? ,
?

t an? ? t an( 180 ? ? )
?

? ? t an?


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