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考研数学线性代数强化习题-线性方程组


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模块七
Ⅰ经典习题
一.判断线性方程组解的情况

线性方程组

? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 3x4 ? 1 ? 1、已知线性方程组 ? 2 x1 ? x2 ? 4 x3 ? 3 x4 ? 5 无解,则 a ? ?ax ? 2 x ? x ? ?6 3 4 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 x3 ? a ? 2、已知线性方程组 ?3 x1 ? x2 ? 6 x3 ? a ? 2 有无穷多解,则 a ? ? x ? 4 x ? 11x ? a ? 3 2 3 ? 1

.

.

? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 0 ? x ? ax ? 2 x ? 0 ? 1 2 3 3、已知齐次方程组 ? ,有非零解,则 a ? _____________. ? ax1 ? 4 x2 ? 3 x3 ? 0 ? ? 2 x1 ? ( a ? 2) x2 ? 5 x3 ? 0
?1 1 ? 4、 A ? ? 1 a ?1 a 2 ? 1? ?1? ? ? ? 3 ? , ? ? ? 4 ? ,方程 AX ? ? 无解,则 a ? _____ ?16 ? 9? ? ? ?

5、已知三阶矩阵 B ? O ,且 B 的每一个列向量都是以下方程组的解:

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? x1 ? 2 x2 ? 2 x3 ? 0, ? ? 2 x1 ? x2 ? ? x3 ? 0, ?3 x ? x ? x ? 0. ? 1 2 3
(1)求 ? 的值; (2)证明 B ? 0 . 6、设 A 是 m ? n 矩阵, Ax ? 0 是非齐次线性方程组 Ax ? b 所对应的齐次线性方程组,则下 列结论正确的是( ) (A)若 Ax ? 0 仅有零解,则 Ax ? b 有唯一解. (B)若 Ax ? 0 有非零解,则 Ax ? b 有无穷多个解. (C)若 Ax ? b 有无穷多个解,则 Ax ? 0 仅有零解. (D)若 Ax ? b 有无穷多个解,则 Ax ? 0 有非零解. 7、设 A 为 m ? n 矩阵,齐次线性方程组 Ax ? 0 仅有零解的充要条件是( (A) A 的列向量线性无关. (B) A 的列向量线性相关. (C) A 的行向量线性无关. (D) A 的行向量线性相关.



8、非齐次线性方程组 Ax ? b 中未知量个数为 n ,方程个数为 m ,系数矩阵 A 的秩为 ( ) (A) r ? m 时,方程组 Ax ? b 有解. (C) m ? n 时,方程组 Ax ? b 有惟一解.

r ,则

(B) r ? n 时,方程组 Ax ? b 有惟一解. (D) r ? n 时,方程组 Ax ? b 有无穷多解.

二.齐次线性方程组的通解
a ? ?1 1 ? ? 1 a 1 ? 9、 设A?? 且 AB ? 0, 则Ax ? 0 的通解是________. , B 是三阶非零矩阵, ?a 1 1 ? ? ? ? 2 a ?1 a ? 3?
9? ?1 3 ? 0? ?a? ?b? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 6 ? , ?1 ? ? 1 ? , ? 2 ? ? 2 ? , ? 3 ? ?1 ? 为 10、已知 A, B 为三阶非零方阵, A ? ? 2 ? ?3 1 ? 7 ? ? ?1? ?1 ? ?0? ? ? ? ? ? ? ? ?
齐次线性方程组 Bx ? 0 的三个解向量,且 Ax ? ?3 有解. (1) 求 a , b 的值; (2)求 Bx ? 0 的通解. 11、 设 A 是秩为 n ? 1 的n 阶矩阵, 则 Ax ? 0 ?1 , ? 2 是方程组 Ax ? 0 的两个不同的解向量, 的通解必定是( (A) ?1 ? ? 2 ) (B) k?1 (C) k (?1 ? ? 2 ) (D) k (?1 ? ? 2 )

12、设 ?1 , ? 2 , ?3 , ? 4 是四维非零列向量组, A ? ??1,?2 ,?3 ,?4 ? , A * 为 A 的伴随矩阵,已

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知方程组 Ax ? 0 的基础解系为 K (1,0, 2,0) , 则A * x ? 0 的基础解系为(
T



(A) ?1 , ? 2 , ? 3 (C) ? 2 , ?3 , ? 4

(B) ?1 ? ?2 , ?2 ? ?3 , ?1 ? ?3 (D) ?1 ? ?2 , ?2 ? ?3 ,?3 ? ?4 ,?4 ? ?1

13、设 ?1 ,?2 ,?3 ,?4 是齐次线性方程组 Ax ? 0 的基础解系,则 Ax ? 0 的基础解系还可以是 ( ) (A) ?1 ??2 ,?2 ??3 ,?3 ??4 ,?4 ??1 (C)?1 ??2 ,?2 ??3 ,?3 ??4 ,?4 ??1 (B)?1 ??2 ,?2 ??3 ??4 ,?1 ??2 ??3 (D)?1 ??2 ,?2 ??3 ,?3 ??4 ,?4 ??1

?a 1 1? ? ? 14、设 A ? ? 1 a 1 ? ,已知 Ax ? 0 有非零解, ? 为一个三维非零列向量,若 Ax ? 0 的 ?1 1 a? ? ?
任一解向量都能由 ? 线性表出,则 a ? ( ) (A) 1 (B) ?2 (C) 1 或 ?2 (D) ?1

? 15、设 A 为 n 阶方阵,齐次线性方程组 Ax ? 0 有两个线性无关的解向量, A 是 A 的伴随

矩阵,则
? (A) A x ? 0 的解均是 Ax ? 0 的解 ? (B) Ax ? 0 的解均是 A x ? 0 的解 ? (C) Ax ? 0 与 A x ? 0 没有非零公共解 ? (D) Ax ? 0 与 A x ? 0 恰好有一个非零公共解

16、 ?1 ,?2 是 n 元齐次方程组 AX ? 0 的两个不同的解,若 R( A) ? n ? 1 ,则 AX ? 0 的通 解为( (A) k?1 ) (B) k? 2 (C) k (?1 ? ?2 ) (D) k (?1 ??2 )

T T 17、设 A 是 m ? n 矩阵, A 是 A 的转置,若 ?1 ,?2 ,...,?t 为方程组 A X ? 0 的基础解系,

则 R( A) ? ( (A)t

) (B)n-t (C)m-t (D)n-m

18、已知 A 是 m ? n 矩阵,其 m 个行向量的转置是齐次线性方程组 Cx ? 0 的基础解系,设 B 是 m 阶可逆矩阵,证明: BA 的行向量的转置也是线性方程组 Cx ? 0 的基础解系.

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三.非齐次线性方程组的通解
19、若 ?

?1 1? ? 2 3? ?X ?? ? , 则X ? _____________. ? 2 2? ? 4 6?

20、已知 ?1 , ? 2 是非齐次线性方程组 Ax ? b 的两个不同的解,那么

?1 ? 2? 2 , 4?1 ? 3? 2 ,
( ) (A)4 个

1 1 3 ? 2?1 ? ? 2 ? , ?1 ? ? 2 中,仍是线性方程组 Ax ? b 特解的共有 4 4 4
(C)2 个 (D)1 个

(B)3 个

21、设 ?1 , ? 2 , ? 3 均为线性方程组 Ax ? b 的解,下列向量中

?1 ? ? 2 , ?1 ? 2? 2 ? ? 3 ,
导出组 Ax ? 0 的解向量有( (A) 4 (B) 3
T T

1 ??1 ? ? 3 ? , ?1 ? 3? 2 ? 4? 3 4
(D) 1

)个. (C) 2

? a1 x1 ? a2 x2 ? a3 x3 ? 1 ? 22、设 ?1,1,1? , ? 2, 2,3? 均为线性方程组 ? x1 ? b1 x2 ? x3 ? b2 的解向量,则该线性方程 ?x ? c x ? x ? c 2 ? 1 1 2 3
组的通解为_____________.

?1 ,? 2 ,? 4 23、 已知 4 ? 5 矩阵 A ? (?1 ,?2 ,?3 ,?4 ,?5 ) , 其中 ?1 , ? 2 , ?3 , ? 4 , ?5 均为 4 维列向量,
线性无关, 又设 ?3 ? ?1 ? ?4 , 的通解.

?5 ? ?1 ? ?2 ? ?4 , ? ? 2?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ?5 , 求 Ax ? ?

四.含参数的线性方程组
24、对于线性方程组

?? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? 3, ? ? x1 ? ? x2 ? x3 ? ?2, ? x ? x ? ? x ? ?2. 3 ? 1 2
讨论 ? 取何值时,方程组无解,有唯一解和无穷多组解.在方程组有无穷多组解时,试用其导出 组的基础解系表示全部解. 25、已知线性方程组

? x1 ? x2 ? x3 ? 0, ? ?ax1 ? bx2 ? cx3 ? 0, ? 2 2 2 ?a x1 ? b x2 ? c x3 ? 0.

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(1) a, b, c 满足何种关系时,方程组仅有零解? (2) a, b, c 满足何种关系时,方程组有无穷多解,并用基础解系表示全部解.

? x1 ? x 2 ? 2 x3 ? 3 x 4 ? 1 ? x ? 3x ? 6 x ? x ? 3 ? 1 2 3 4 26、 设线性方程组为 ? ,问 k 1 与 k 2 各取何值时,方程组无解?有唯 3 x ? x ? k x ? 15 x ? 3 1 2 1 3 4 ? ? ? x1 ? 5 x 2 ? 10x3 ? 12x 4 ? k 2
一解?有无穷多解?有无穷多解时,求其一般解. 27、已知线性方程组

? x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? x5 ? a ?3 x ? 2 x ? x ? x ? 3 x ? 0 ? 1 2 3 4 5 ? ? x 2 ? 2 x3 ? 2 x 4 ? 6 x5 ? b ? ?5 x1 ? 4 x 2 ? 3 x3 ? 3 x 4 ? x5 ? 2
(1) a、 b 为何值时,方程组有解? (2)方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系; (3)方程组有解时,求出方程组的全部解. 28、已知齐次线性方程组

?(a1 ? b) x1 ? a2 x2 ? a3 x3 ? ? ? an xn ? 0 ? a x ? ( a ? b) x ? a x ? ? ? a x ? 0 1 1 2 2 3 3 n n ? ? a x ? a x ? ( a ? b ) x ? ? ? a ? 1 1 2 2 3 3 n xn ? 0 ? ??????????????? ? ? ?a1 x1 ? a2 x2 ? a3 x3 ? ? ? (an ? b) xn ? 0
其中

?a
i ?1

n

i

? 0. 试讨论 a1 , a2 ,?, an 和 b 满足何种关系时,

(1)方程组仅有零解; (2)方程组有非零解. 在有非零解时,求此方程组的一个基础解系. 29、设有齐次线性方程组

? (1 ? a ) x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 0, ?2 x ? (2 ? a ) x ? ? ? 2 x ? 0, ? 1 2 n ( n ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nx1 ? nx2 ? ? ? (n ? a ) x n ? 0, 试问 a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

五.同解与公共解
30 、 设 方 程 组 ( Ⅰ )

Ax ? 0













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?1 ? (1,1,1,0, 2)T ,?2 ? (1,1,0,1,1)T ,?3 ? (1,0,1,1, 2)T .
设方程组(Ⅱ) Bx ? 0 的基础解系为

?1 ? (1,1, ?1, ?1,1)T , ?2 ? (1, ?1,1, ?1, 2)T , ?3 ? (1, ?1, ?1,1,1)T .
(1)求线性方程组 ?

? Ax ? 0 T T 的基础解系及通解;⑵求矩阵 C ? ( A , B ) 的秩. ? Bx ? 0
n n ?1

31、设 A 是 n 阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ) A x ? 0 和(Ⅱ) A ①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解; ②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解; ③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解; ④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解; 其中,正确的是( ). (A)①④ (B)①②

x ? 0 现有命题

(C)②③

(D)③④

?a11 x1 ? a12 x2 ? ... ? a1n xn ? 0 ?a x ? a x ? ... ? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n 32 、 已 知 齐 次 线 性 方 程 组 ? 的所有解都是方程 ?.......................................... ? ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ... ? amn xn ? 0

b1 x1 ? b2 x2 ? ... ? bn xn ? 0 的解.试证明:线性方程组
? a11 x1 ? a21 x2 ? ... ? am1 xm ? b1 ? a x ? a x ? ... ? a x ? b ? 12 1 22 2 m2 m 2 有解. ? .......................................... ? ? ? a1n x1 ? a2 n x2 ? ... ? amn xm ? bn

六.几何运用(*数学一)
33、已知平面上三条不同直线的方程分别为

l1 : ax ? 2by ? 3c ? 0 , l2 : bx ? 2cy ? 3a ? 0 , l3 : cx ? 2ay ? 3b ? 0 .
试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为 a ? b ? c ? 0.

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Ⅱ参考答案
一.判断线性方程组解的情况
1、 【答案】 : ?1 【解析】 :对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得

?1 3 1 ? ? 1 2 ?1 3 1 ? ? 1 2 ?1 3 1 ? ? 1 2 ? ? ? ? ? ? ?2 1 ?1 ? ? 2 1 4 3 5 ? ? ? 0 ?3 6 ?3 3 ? ? ? 0 1 ? 0 a 2 ?1 ?6 ? ? 0 a 2 ?1 ?6 ? ? 0 0 2 ? 2a ? a ? 1 a ? 6 ? ? ? ? ? ? ?
由于系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩,可知 a ? ?1 . 2、 【答案】 :3 【解析】 :对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得

a ? ?1 1 2 a ? ?1 1 2 a ? ?1 1 2 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 3 ?1 ?6 a ? 2 ? ? ? 0 ?4 ?12 ?2a ? 2 ? ? ? 0 1 3 ? 1 4 11 a ? 3 ? ? 0 3 ? ? 9 3 ? ? ? ? ? ? 0 0 0 ?2a ? 6 ?
由于系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,可知 a ? 3 . 3、 【答案】 :a?2 【解析】 :齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于 n .由于

?1 ?1 A?? ?a ? ?2

2 1 ? ?1 2 1 ? ?1 ? ? ?0 a 2 ? ?0 a ? 2 1 ? ? ? ?? 4 3 ? ? 0 4 ? 2a 3 ? a ? ? 0 ? ? ? ? a ? 2 ? 5? ?0 a ? 2 ? 7 ? ?0

2 1 ? a?2 1 ? ? 0 5 ? a? ? 0 ?8 ?

可见秩 r ( A) ? 3 ? a ? 2 . 4、 【答案】1 或 3 【解析】因为方程组无解,所以 R( A) ? R( A? ) ,因为 R( A? ) ? 3 ,所以 R( A) ? 2 所以 A ? 0 ? a ? 1或 3. 5、 【解析】 : (1)由题意知,齐次线性方程组有非零解,则方程组的系数矩阵的行列式

1 3

2 1

?2

A ? 2 ?1

? ? 5(? ? 1) ? 0 ? ? ? 1.
?1

(2)由题意,得 AB ? O .若 B ? 0 ? A ? 0 ,矛盾,所以 B ? 0 . 或 由 AB ? 0 ? R( A) ? R( B) ? 3 ;又 A ? 0 ? R( A) ? 1 ,则 R( B) ? 3 ? B ? 0 .

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6、 【答案】 : (D) 【解析】 : Ax ? b 有无穷多个解 ? r ( A) ? r ( B) ? n ? r ( A) ? n ? Ax ? 0 有非零解. 故选 项(D)是正确的.

Ax ? 0 仅有零解的充要条件是 r ? A? ? n ,此时不一定有 r ? A? ? r ? A, b? ,也即线性方程组
?1 ? 0 不一定有解.如令 A ? ? ?0 ? ?0 0 1 0 0 0? ?0? ? ? ? 0? 0 , b ? ? ? , 则 r ? A? ? 3 , 故 Ax ? 0 仅 有 零 解 ; 而 ?0? 1? ? ? ? 0? ?1?

r ? A, b? ? 4 ? r ? A? ,故 Ax ? b 无解.故选项(A)错误.
与此类似地, Ax ? 0 有非零解的充要条件是 r ? A? ? n ,此时也不一定有 r ? A? ? r ? A, b? , 也即线性方程组不一定有解(反例请考生自行举出).故选项(B)错误. 7、 【答案】 : (A) 【解析】 : Ax ? 0 仅有零解 ? r ( A) ? n ? A 的列向量线性无关.故选(A). 8、 【答案】 : (A) 【解析】 :问题关键是判断 r ? A? 和 r ? A, b ? 的关系.易知 r ? A? ? r ? A, b? .当 r ? m 时,由于

? A, b? 为 m ? ? n ?1? 矩阵,故 r ? A, b? ? m ? r ? A? ,因此 r ? A, b? ? r ? A? .也即 r ? m 时,方
程组 Ax ? b 有解,故选(A).

二.齐次线性方程组的通解
9、 【答案】 : k (?1,1,0) , k 为任意常数
T

【解析】 :由于 A为4 ? 3 矩阵, AB ? 0, 且B ? 0 ,我们得知 r ( A) ? 3, 对A 作变换

a ? ?1 ?1 1 ? ? ?0 1 a 1 ??? A?? ?a 1 1 ? ?0 ? ? ? ? ? 2 a ?1 a ? 3? ? 0

1 a ?1 0 0

? ? ? 可见 r ( A) ? 3, ? a ? 1 . 2? 2?a?a ? ? 2 ? a 1? a

a ? 1 时,求得 Ax ? 0 基础解系为 (?1,1,0)T ,因此通解为 k (?1,1,0)T .
10、 【分析】 : B ? 0,

?1 , ?2 , ?3为Bx ? 0 的三个解向量,于是必有行列式 | ?3 , ?1 , ? 2 |? 0 ,
?3 可由 ?1 , ? 2 , ?3 线性表示(这里易知 ?3 ? 3?1 ? 2? 2 ) ,从
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再根据 Ax ? ?3 有解,即

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?3 可由 ?1 , ? 2 线性表示,又得行列式 | ?3 , ?1 , ? 2 |? 0 .由此两个等式可解得 a , b ,或

由 r ( A) ? r ( A? ?3 ) ,可得 b ,再根据 |[?3 , ?1 , ? 2 ]|? 0 ,又可解得 a . 【解析】 : (1) 由

?1, ?2 , ?3均为Bx ? 0 的解,而 B ? 0 知, ?1 , ?2 , ?3 必线性相关,
0 a b 1 ?0, 0

于是

| ?1 , ? 2 , ?3 |? 1 2 ?1 1

由此解得 a ? 3b . 由 Ax ? ?3 有解,知 r ( A? ?3 ) ? r ( A) ,

?1 3 9 ? A? ?3 ? ? ? ?2 0 6 ? ? ?3 1 ? 7
可见有 b ? 5 . 故 a ? 15, b ? 5 .

b ? ?1 3 9 ? ? 1 ? ? ?0 ? 6 ? 12 0? ? ? ?0 10 20

? b ? ?1 3 9 ? ? 1 ? 2b ? ? ?0 ? 6 ? 12 ? 3b ? ? ?0 0 0 ?

? b ? ? 1 ? 2b ? 5?b ? ? 3 ?

(2)由题设 r ( B) ? 1 ,于是 3 ? r ( B) ? 2, 而?1, ?2为Bx ? 0 的两个线性无关的解,故

3 ? r ( B) ? 2 , 可见 ?1 , ? 2 即可作为 Bx ? 0 的基础解系, 故通解为 x ? k1?1 ? k2 ?2( k1k 2 为
任意常数). 【评注】 :对于参数 b ,也可根据向量的线性表出来确定.

?1 ? ?3 ? ?9? ? ? ? ? ? Ax ? ?3 有非零解,即 ?3 可由 A 的三个列向量 ?1 ? ? 2 ? , ? 2 ? ?0 ? , ? 3 ? ? ? 6 ? 线性表示, ? ? ? ? ?3? ? ?1 ? ? ? ?7 ? ?
而 ?3 ? 3?1 ? 2? 2 , 可见

?3 可由 ?1 , ? 2 线性表示,因此 ?3 , ?1 , ? 2 线性相关,于是
b 1 3 2 0 ? 0 ,解得 b ? 5, 从而a ? 15 . ?3 1

| ?3 , ?1 , ? 2 |? 1 0
11、 【答案】 : (D)

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【解析】 :因为通解中必有任意常数,显见(A)不正确.由 n ? r ( A) ? 1 知 Ax ? 0 的基础解 系由一个非零向量构成. ?1 , ?1 ? ? 2与?1 ? ? 2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 ?1 , ? 2 是两个不同的解,那么 ?1 可以是零解,因而 k?1 可能不是通解. 如果 ?1 ? ??2 ? 0 ,则 ?1 , ? 2 是两个不同的解,但 ?1 ? ? 2 ? 0 ,即两个不同的解不能保证 、 (C).由于 ?1 ? ? 2 ,必有 ?1 ? ? 2 ? 0 .可见(D)正确. ?1 ? ?2 ? 0 .因此要排除(B) 【评注】 : 求齐次线性方程组 Ax ? 0 基础解系的一般思路可以概括为:求 Ax ? 0 的

n ? r ? A? 个线性无关的解.基本步骤可以总结为:求 r ? A? ,求 Ax ? 0 的 n ? r ? A? 个解,
说明这 n ? r ? A? 个解是线性无关的. 在本题中,由于 r ? A? ? n ?1,故基础解系中只有一个向量,由于单个向量线性无关的充要 条件是该向量非零向量,故本题的关键在于确定 Ax ? 0 的一个非零解. 12、 【答案】 : (C) 【分析】 :注意到 A* A ? A E ? O ,可知 A 的列向量 ?1 , ? 2 , ?3 , ? 4 都是 A * x ? 0 的解. 【解析】 :由线性方程组的结构,四阶方阵 A 的秩为 3,则 A * 的秩为 1,所以,方程组 A * x ? 0 的基础解系包含三个线性无关的解向量. 又 A* A ? A* ??1,?2 ,?3 ,?4 ? ?| A | E ? 0 ,所以向量 ?1 , ? 2 , ?3 , ? 4 是方程组 A * x ? 0
T 的解.因为 (1,0, 2,0) 是方程组 Ax ? 0 的解,有 ?1 ? 2?3 ? 0 ,即向量组 ?1 , ? 3 线性相关,

所以向量组 ?1 , ? 2 , ? 3 线性相关,故(A)不正确.由于(B)中的向量组都能被 ?1 , ? 2 , ? 3 线 性表出,故 ?1 ? ?2 , ?2 ? ?3 , ?1 ? ?3 线性相关,可知(B)不正确.(D)中向量组含有四个 向量,不为基础解系,可知(D)也不正确.综上,唯一可能的选项是(C). 事实上,由 ?1 ? 2?3 ? 0 ,得 ?1 可由 ? 2 , ?3 , ? 4 线性表示,又向量组 ?1 , ? 2 , ?3 , ? 4 的秩 为 3,所以,向量组 ? 2 , ?3 , ? 4 线性无关,即它是方程组 A * x ? 0 的基础解系. 13、 【答案】 : (D) 【分析】 : Ax ? 0 的基础解系是它的任意 4 个线性无关的解. 【解析】 :由已知条件知 Ax ? 0 的基础解系由 4 个线性无关的解向量所构成.现在(B)中 仅三个解向量,个数不合要求,故(B)不是基础解系. (A)和(C)中,都有四个解向量,但因为

(?1 ??2 ) ? (?2 ??3 ) ? (?3 ??4 ) ? (?4 ??1 ) ? 0
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(?1 ??2 ) ? (?2 ??3 ) ? (?3 ??4 ) ? (?4 ??1 ) ? 0
说明(A) 、 (C)中的解向量组均线性相关,因而(A) 、 (C)也均不是基础解系. 用排除法可知(D)入选,或者直接地,由

?1 0 ?1 1 (?1 ? ?2 ,?2 ? ?3 ,?3 ? ?4 ,?4 ? ?1 ) ? (?1 , ?2 , ?3 ,?4 ) ? ?0 ? 1 ? ?0 0
1 0 1 1 因为 0 ?1 0 0 0 0 1 1 1 0 ?2?0 0 1

0 0 1 1

1? 0? ? 0? ? 1?

知 ?1 ??2 ,?2 ??3 ,?3 ??4 ,?4 ??1 线性无关,又因 ?1 ??2 ,?2 ??3 ,?3 ??4 ,?4 ??1 均是

Ax ? 0 的解,且解向量个数为 4,所以(D)是基础解系.
14、 【答案】 (B) 【解析】 :由于 Ax ? 0 有非零解,故 A ? 0 ,可得 a ? 1 或 a ? ?2 . 又由于 Ax ? 0 的任一解向量都能由 ? 线性表出,可知 ? 即为 Ax ? 0 的基础解系. Ax ? 0 的基础解系中仅含一个向量,因此 r ? A? ? 2 .故 a ? ?2 ,选(B). 15、 【答案】 : (B) 【解析】 : 由题设知 n ? r ( A) ? 2 , 从而有 r ( A) ? n ? 2 , 故 A ?0, 任意 n 维向量均是 A x ? 0 的解, 故正确选项是(B) 16、 【答案】D
? ?

?1 ??2 为 AX ? 0 的 【解析】 因为 R( A) ? n ? 1 , 所以 AX ? 0 基础解系只含有一个解向量,
非零解,所以 AX ? 0 的通解为 k (?1 ??2 ) 。 17、 【答案】C 【解析】 R( A ) ? t ? A 的列数,即 R( A ) ? t ? m ,所以 R( A ) ? m ? t ? R( A)
T T T T

18、 【分析】 : 只要证明 BA 的每个行向量的转置均为齐次线性方程组 Cx ? 0 的解向量且 BA 的行向量线性无关即可. 【证明】 :令 A 的行向量记为 A 1, A 2 ,?, A m , BA 的行向量记为 ?1 , ?2 ,?, ?m ,则

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? ?1 ? ? A1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? B ? A2 ? , (1)可见 ?1 , ?2 ,?, ?m 能由 A 1, A 2 ,?, A m 线性表出,若 A 1, A 2 ,?, A m齐 ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??m ? ? Am ?
次线性方程组 Cx ? 0 的解,则 ?1 , ?2 ,?, ?m 也是该齐次线性方程组的解,又 B 可逆,故由

? A1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? A2 ? ? ?1 ? 2 ? ? ?B ( 1 )可得 ,可见 A 1, A 2 ,?, A m 也能由 ?1 , ?2 ,?, ?m 线性表出,因 此 ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? Am ? ??m ?

A1 , A2 ,?, Am 与 ?1,?2 ,?,?m 等价,故若 A1 , A2 ,?, Am 为齐次线性方程组 Cx ? 0 的基础解
系,线性无关, ?1 , ?2 ,?, ?m 也是线性无关的,且每个解向量可由它线性表示,从而为齐 次线性方程组 Cx ? 0 的一个基础解系.

三.非齐次线性方程组的通解
19、 【答案】 :?

?2?t ? t

3?u? ? , t , u 是任意常数 u ?

【解析】 :由于矩阵 ?

? x1 ?1 1? ? 不可逆,故可设 X ? ? ? 2 2? ? x2

y1 ? ,于是 y2 ? ?

?1 1? ? x1 ? 2 2? ? x ? ?? 2

y1 ? ?2 3? ?? ?, y2 ? ? ? 4 6? ?1 1? ? x1 ? ?2? ?1 1? ? y1 ? ?3? ?? ? ? ? ? 及 ? ?? ? ? ? ? ?2 2? ? x2 ? ?4? ?2 2? ? y2 ? ?6?

得方程组,它可以看成两个线性方程组 ?

? x1 ? 2 ? t , ? x ? t, ? 2 解这两个线性方程组可得 ? , t , u 是任意常数. y ? 3 ? u , 1 ? ? ? y 2 ? u.
所以 X ? ?

?2 ? t ? t

3 ? u? , t , u 是任意常数. u ? ?

【评注】 :1)由于方程组 ?

?1 1? ? x1 ? ?2? ?1 1? ? y1 ? ?3? ?? ? ? ? ? 与 ? ? ? ? ? ? ? 的系数矩阵完全一样, ?2 2? ? x2 ? ?4? ?2 2? ? y2 ? ?6?
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区别仅在于常数项,所以解这一类方程组可以合并在一起加减消元,即

?1 1 ? ?2 2

? 2 3? ?1 1 ? ?? ? 4 6? ? 0 0

? 2 3? ?. ? 0 0?

2 )对于矩阵方程 AX ? B ,当矩阵 A 不可逆时,就把 X 与 B 都按列分块,也即令

X ? ??1 ,..., ?n ? , B ? ? ?1,..., ?n ? .则由矩阵乘法有 A??1,..., ?n ? ? ? A?1,..., A?n ? ? ? ?1,..., ?n ?
故 有 A?i ? ?i , i ? 1, 2,..., n . 这 样 就 将 矩 阵 方 程 AX ? B 化 为 了 n 个 线 性 方 程 组

A?i ? ?i , i ? 1, 2,..., n .
20、 【答案】 : (C) 【解析】 :由于 A?1 ? b, A?2 ? b ,那么 A(4?1 ? 3?2 ) ? 4 A?1 ? 3 A?2 ? b

3 ? 1 3 ?1 A ? ?1 ? ? 2 ? ? A?1 ? A? 2 ? b 4 ? 4 4 ?4
可知 4?1 ? 3? 2 ,

1 3 ?1 ? ? 2 均是 Ax ? b 的解 4 4

而 A(?1 ? 2? 2 ) ? ?b, A ? (2?1 ? ? 2 ) ? ? b .故 ?1 ? 2? 2 , ? 2?1 ? ? 2 ? 不是 Ax ? b 的 4 ?4 ? 4 解,故应选(C). 【评注】 : 若 ?1 , ?2 , ?3 ,?, ?t 是 Ax ? b 的 解 , 则 当 k1 ? k2 ? k3 ? ? ? kt ? 1 时 , 则

?1

?

3

1

k1?1 ? k2?2 ? k3?3 ? ? ? kt?t 是 Ax ? b 的 解 ; 当 k1 ? k2 ? k3 ? ? ? kt ? 0 时 , k1?1 ? k2?2 ? k3?3 ? ? ? kt?t 是 Ax ? 0 的解.
21、 【答案】 (A) 【解析】 :由于 A?1 ? A? 2 ? A?3 ? b ,可知

A ??1 ? ? 2 ? ? A?1 ? A? 2 ? b ? b ? 0, A ??1 ? 2? 2 ? ? 3 ? ? A?1 ? 2 A? 2 ? A? 3 ? b ? 2b ? b ? 0 1 ?1 ? 1 A ? ??1 ? ? 3 ? ? ? ? A?1 ? A? 3 ? ? ? b ? b ? ? 0 4 ?4 ? 4 A ??1 ? 3? 2 ? 4? 3 ? ? A?1 ? 3 A? 2 ? 4 A? 3 ? b ? 3b ? 4b ? 0 可知,这四个向量都是 Ax ? 0 的解,故选(A).
22、 【答案】 : k ?1,1, 2 ? ? ?1,1,1? , k ? R
T T

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【解析】 :设该线性方程组的系数矩阵为 A .原方程组有两个不同的解,可知系数矩阵不满 秩,也即 r ? A? ? 3 .通过观察不难发现, A 中存在非零的 2 阶子式,可知 r ? A? ? 2 ,故

r ? A? ? 2 .
因 此 导 出 组 Ax ? 0 的 基 础 解 系 中 含 有 1 个 向 量 , 由 线 性 方 程 组 解 的 性 质 可 知

? 2, 2,3?

T

? ?1,1,1? ? ?1,1, 2 ? 是 Ax ? 0 的解,也就是 Ax ? 0 的基础解系.
T T T T

故原方程组的通解为 k ?1,1, 2 ? ? ?1,1,1? , k ? R . 23、 【解析】 :由于 ?1 , ? 2 , ? 4 线性无关, ?3 ? ?1 ? ?4 , 由于

?5 ? ?1 ? ?2 ? ?4 ,可见 r ( A) ? 3 .

? ? 2?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ?5 ,从而线性方程组 Ax ? ? 有特解 ? ? (2,1, ?1,1,1)T . 由

?3 ? ?1 ? ?4 , ?5 ? ?1 ? ?2 ? ?4 ,导出方程组 Ax ? 0 的两个线性无关的解
?1 ? (1,0, ?1, ?1,0)T , ?2 ? (1,1,0,1, ?1)T .
由于 r ( A) ? 3 ,则五元齐次线性方程组 Ax ? 0 的基础解系由两个线性无关的解构成, 故 ?1 , ? 2 为 Ax ? 0 的基础解系, 方程组 Ax ? ? 的通解为 x ? ? ? k1?1 ? k2?2 , 其中 k1 , k2 为任意常数.

四.含参数的线性方程组
24、 【解析】 :对增广矩阵作初等行变换得

1 ? ? ?2 ? ? ? 1 1 ? ? ? 3? ? 1 ? ? r ? ? B ? ( A | b) ? ? 1 ? 1 ? ?2 ? ? ? 0 ? ? 1 1? ? ? 0 ? ? 1 1 ? ? ?2 ? ? 0 0 (1 ? ? )(2 ? ? ) ? 3(? ? 1) ? ? ? ? ?
(1)方程组有惟一解 ? R( A) ? R( B) ? 3 ? ? ? 1 且 ? ? ?2 ;

? 1 1 1 ? ?2 ? ? ? (2)当 ? ? 1 时, B ? ? 0 0 0 ? 0 ? ? R( A) ? R( B) ? 1 ? 3 ,方程组有无穷多解,且 ?0 0 0 ? 0 ? ? ?
r

x1 ? ? x2 ? x3 ? 2 .
? ?2 ? ? ?1? ? ?1? ? ? ? ? ? ? 则方程组的通解 x ? ? 0 ? ? k1 ? 1 ? ? k2 ? 0 ? , 其中 k1 , k2 为任意常数; ? 0? ?0? ?1? ? ? ? ? ? ?

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(3)当 ? ? ?2 时, R( A) ? 2 ? R( B) ? 3 ,方程组无解. 25、 【解析】 :系数矩阵的行列式 A ? (b ? a)(c ? b)(c ? a) . (1)当 A ? 0 ,即 a, b, c 两两不相等时,方程组仅有零解. (2)当 a, b, c 至少有两个相等时,方程组有非零解.且 ①当 a ? b ? c 时,方程组的通解 x ? k (?1,1,0)T , k 为任意常数;
T ②当 a ? b ? c 时,方程组的通解 x ? k (0, ?1,1) , k 为任意常数; T ③当 a ? c ? b 时,方程组的通解 x ? k (?1,0,1) , k 为任意常数;

④当 a ? b ? c 时,方程组的通解 x ? k1 (?1,1,0)T ? k2 (?1,0,1)T , k1, k2 为任意常数. 26、 【解析】 :

2 3 ? 1 ? ?1 ?1 1 ?1 3 ?0 r 6 1 ? 3? ? ? B ? ( A | b) ? ?? ?3 ?1 ?k1 15 ? 3 ? ?0 ? ? ? ?1 ?5 ?10 12 ? k2 ? ?0

1

1 ? 1 2 ?1 ? 1 ? ?. 0 ? k1 ? 2 2 ? 4 ? ? 0 0 3 ? k2 ? 5? 2 3 ?

(1)当 R( A) ? R( B) ? 4 ? ?k1 ? 2 ? 0 ? k1 ? 2 时,方程组有唯一解;

?1 ?0 r (2)当 k1 ? 2 时, B ? ? ?0 ? ?0

1 2 3 ? 1 2 ?1 ? 0 0 1 ? 0 0 0

? ? ? ,则 ? ? ? k2 ? 1? 1 1 2

①当 k2 ? 1 时, R( A) ? 3 ? R( B) ? 4 ,方程组无解; ②当 k2 ? 1 时, R( A) ? R( B) ? 3 ? 4 ,方程组有无穷多解,且

?1 r ?0 B?? ?0 ? ?0
则通解(一般解)为

0 1 0 0

0 2 0 0

0 0 1 0

? ?8? ? 3? ?, ? 2? ? ? 0?

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? x1 ? ? ?8? ?0? ?x ? ? 3 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? k ? ?2 ? , k 为任意常数. ? x3 ? ? 0 ? ?1? ? ? ? ? ? ? ?0? ? x4 ? ? 2 ?

(*)

综上:当 k1 ? 2 时,方程组有惟一解;当 k1 ? 2 且 k2 ? 1 时,方程组无解;当 k1 ? 2 且 k2 ? 1 时,方程组有无穷多解,且一般解为(*)式. 27、 【解析】 :

?1 ?3 B ? ( A | b) ? ? ?0 ? ?5

1 2 1 4

1 1 2 3

1 1 1 ?3 2 6 3 ?1

? ? ? ?

a ? ?1 ? r 0? ? ? ?0 b ? ?0 ? ? 2 ? ?0

1 1 0 0

1 2 0 0

1 2 0 0

1 6 0 0

? a ? ? 3a ? ?. ? b ? 3a ? ? ? 2 ? 2a ?

(1)方程组有解 ? R( A) ? R( B) ? ?

?b ? 3a ? 0 ?a ? 1 ; ?? ?2 ? 2a ? 0 ?b ? 3

?1 ?0 r ?a ? 1 (2)当 ? 时, B ? ( A | b) ? ? ?0 b ? 3 ? ? ?0
方程组的解 ?

0 ?1 ?1 ?5 1 2 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0

? ?2 ? ? 3? ?, ? 0? ? ? 0?

? x1 ? x3 ? x4 ? 5 x5 ? 2 . x ? ? 2 x ? 2 x ? 6 x ? 3 3 4 5 ? 2

? x3 ? ?1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? x1 ? x3 ? x4 ? 5x5 ? ? ? ? ? ? ? ? 方程组的导出组的解 ? , 令 x4 ? 0 , 1 , 0 , 得方程组的导出组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ?2 x3 ? 2 x4 ? 6 x5 ? ? x5 ? ? ? ?0? ? ? ?0? ? ? ?1 ? ?

?1? ?1? ?5? ? ?2 ? ? ?2 ? ? ?6 ? ? ? ? ? ? ? 的 一 个 基 础 解 系 ?1 ? ? 1 ? , ? 2 ? ? 0 ? , ?3 ? ? 0 ? . 令 ? ? ? ? ? ? ?0? ?1? ?0? ? ? ? ?0? ? ?0? ? ?1? ?

? x3 ? ? 0 ? ? x ? ? ?0? , 得 方 程 组 的 一 个 特 解 ? 4? ? ? ? ? x5 ? ? ? ?0? ?

? ?2 ? ?3? ? ? ? ? ? 0 ? .则方程组的通解 x ? ? ? k1?1 ? k2?2 ? k3?3 ,其中 k1 , k2 , k3 为任意常数. ? ? ?0? ? ?0? ?
28、 【分析】方程的个数与未知量的个数相同,问题转化为系数矩阵行列式是否为零.

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【解析】 :方程组的系数行列式

a1 ? b A? a1 a1 ? a1
(1) 当 b ? 0 时且 b ?
n

a2

a3

?

an an an ?
= b n ?1 (b ?

a2 ? b a3 ? a2 a3 ? b ? ? a2 ? a3 ?

? a ).
i ?1 i

n

? an ? b

?a
i ?1

i

? 0 时, r ( A) ? n ,方程组仅有零解.

(2) 当 b ? 0 时,原方程组的同解方程组为

a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? an xn ? 0.



?a
i ?1

n

i

? 0 可知, ai (i ? 1,2,?, n) 不全为零. 不妨设 a1 ? 0 ,得原方程组的一个基

础解系为 ? 1 ? (?
n

a a a2 ,1,0,?,0) T , ? 2 ? (? 3 ,0,1,?,0) T , ?,? n ? (? n ,0,0,?,1) T . a1 a1 a1
时,有 b ? 0 ,原方程组的系数矩阵可化为

当b ? ?

?a
i ?1

i

n ? a ? ? 1 ? ai i ?1 ? ? a1 ? ? ? a1 ? ? ? ? a1 ? ?

a2 a 2 ? ? ai
i ?1 n

a3 a3 a3 ? ? ai
i ?1 n

a2 ? a2

? a3

? ? ? ? ? an ? ? ? ? an ? ? ? n ? ? a n ? ? ai ? i ?1 ? ? an
1
倍)
i

(将第 1 行的-1 倍加到其余各行,再从第 2 行到第 n 行同乘以 ?

?a
i ?1

n

?

n ? a ? ? 1 ? ai i ?1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ?

a2 1 0 ? 0

? a3 ? a n ? ? 0 ? 0? 1 ? 0? ? ? ?? 0 ? 1? ?
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( 将第 i 行的 ? ai 倍加到第 1 行( i ? 2,..., n ) ,再将第 1 行移到最后一行)

?

?? 1 ?? 1 ? ?? ? ?? 1 ? ?0

1 0 ? 0 0

0 1 ? 0 0

? 0? ? 0? ? ? ?. ? ? 1? ? 0? ?

由此得原方程组的同解方程组为

x 2 ? x1 , x3 ? x1 , ?, xn ? x1 .
原方程组的一个基础解系为 ? ? (1,1,?,1) .
T

【评注】 本题的难点在 b ? ?

?a
i ?1

n

i

时的讨论,事实上也可这样分析:此时系数矩阵的秩为

n ? 1 (存在 n ? 1 阶子式不为零),且显然 ? ? (1,1,?,1)T 为方程组的一个非零解, 即可作为
基础解系. 29、 【分析】 :本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组,可考虑对系数矩阵 直接用初等行变换化为阶梯形,再讨论其秩是否小于 n ,进而判断是否有非零解;或直接 计算系数矩阵的行列式,根据题设行列式的值必为零,由此对参数 a 的可能取值进行讨论 即可. 【解析】 :方法一:对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换,有

1 1 ? 1 ? ?1 ? a ?1 ? a 1 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 2?a 2 ? 2 ? ? ? ?? 2a a 0 ? 0 ? ? B. A?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n ? n ? a? ? n ?? na 0 0 ? a ?
当 a ? 0 时, r ( A) ? 1 ? n ,故方程组有非零解,其同解方程组为

x1 ? x2 ? ? ? xn ? 0,
由此得基础解系为:

?1 ? (?1,1,0,?,0)T , ? 2 ? (?1,0,1,?,0)T , ?,?n?1 ? (?1,0,0,?,1)T ,
于是方程组的通解为: x ? k1?1 ? ? ? k n?1? n?1 , 其中 k1 ,?, k n?1 为任意常数. 当 a ? 0 时,对矩阵 B 作初等行变换,有

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n(n ? 1) ? ? ?1 ? a 1 1 ? 1 ? a? 0 0 ? 0? ? 2 ? ?2 1 0 ? 0? ?2 1 0 ? 0 ?. ??? B?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n 0 0 ? 1 ? ? ?n 0 0 ? 1? ? ?
可知 a ? ?

n( n ? 1) 时, r ( A) ? n ? 1 ? n ,故方程组也有非零解,其同解方程组为 2

??2 x1 ? x2 ? 0, ? ?3 x ? x ? 0, ? 1 3 ? ? ????? ? ? ?nx1 ? xn ? 0,
由此得基础解系为

? ? (1,2,?, n)T ,
于是方程组的通解为

x ? k? ,其中 k 为任意常数.
方法二:方程组的系数行列式为

1? a 1 1 ? 1 2 2?a 2 ? 2 n(n ? 1) n ?1 A? ? (a ? )a . ? ? ? ? ? 2 n n n ? n?a
当 A ? 0 ,即 a ? 0 或 a ? ?

n( n ? 1) 时,方程组有非零解. 2

当 a ? 0 时,对系数矩阵 A 作初等行变换,有

?1 1 1 ? 1? ?1 1 1 ? 1? ?2 2 2 ? 2? ?0 0 0 ? 0? ? ? ?, A? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?n n n ? n? ?0 0 0 0 0?
故方程组的同解方程组为

x1 ? x2 ? ? ? xn ? 0,
由此得基础解系为

?1 ? (?1,1,0,?,0)T , ? 2 ? (?1,0,1,?,0)T , ?,?n?1 ? (?1,0,0,?,1)T ,
于是方程组的通解为

x ? k1?1 ? ? ? k n?1? n?1 , 其中 k1 ,?, k n?1 为任意常数.
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当a??

n( n ? 1) 时,对系数矩阵 A 作初等行变换,有 2

1 1 ? 1 ? ?1 ? a ?1 ? a 1 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? 2a a 0 ? 0 ? 2?a 2 ? 2 ? ? A?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n ? n ? a? ? n ?? na 0 0 ? a ? ?1 ? a 1 1 ? 1 ? ? 0 0 0 ? 0? ? ?2 1 0 ? 0? ?? 2 1 0 ? 0 ? ? ? ?, ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?n 0 0 ? 1? ?? n 0 0 ? 1 ?
故方程组的同解方程组为

?? 2 x1 ? x 2 ? 0, ? ? 3 x ? x ? 0, ? 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? nx1 ? x n ? 0,
由此得基础解系为

? ? (1,2,?, n)T ,
于是方程组的通解为

x ? k? ,其中 k 为任意常数.
【评注】 矩阵 A 的行列式 A 也可这样计算:

1 1 ? 1 ? ?1 1 1 ? 1? ?1 ? a ?2 2 2 ? 2? ? 2 ? 2?a 2 ? 2 ? ? ,矩阵 ? = aE + ? A? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n ? n ? a? ?n n n ? n? ? n
?1 1 1 ? 1? ?2 2 2 ? 2? ? ? 的特征值为 0, ? ,0, n(n ? 1) ,从而 A 的特征值为 ?? ? ? ? ?? 2 ? ? ?n n n ? n? n(n ? 1) . a , ?, a , a ? 2

五.同解与公共解

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30、 【解析】 :考虑线性方程组 其系数矩阵

? x? ? ? y ?
i ?1 i i i ?1 i

3

3

i

?1 ?1 ? ?1 ? ?0 ? ?2

1 1 0 1 1

1

? 1? ?1 ? ?0 0 ?1 1 1? 行变换 ? 1 1 ? 1 1 ? ? ?0 ? ? 1 1 1 ?1 ? ?0 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1? ? ?0

?1 ?1

0 1 0 0 0
T

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0

2 ? 0 0 ? ? 0 ? 2? ? 0 1? 1 0? ?

因而得到方程组①的基础解系 (?2,0, 2, ?1,0,1) ,代入①得到方程组(Ⅲ)的基础解系为

? ? ?2?1 ? 2?3 ? ??1 ? ?3 ? (0, ?2,0, 2,0)T .求得(Ⅲ)的通解为 x ? (0, ?k ,0, k ,0)T ,其
T T 中 k 为任意常数.由此可见矩阵 C ? ( A , B ) 的秩 ? 4 .

31、 【答案】 (B) 【解析】 :当 A x ? 0 时,易知 An ?1 x ? A An x ? 0 ,故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解,也即
n

?

?

①正确、③错误. 当 A
n ?1

x ? 0 时 , 假 设 An x ? 0 , 则 有 x, Ax,..., An x 均 不 为 零 , 可 以 证 明 这 种 情 况 下

x, Ax,..., An x 是线性无关的.由于 x, Ax,..., An x 均为 n 维向量,而 n ? 1 个 n 维向量都是线
性相关的,矛盾.故假设不成立,因此必有 A x ? 0 .可知(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解,故②
n

正确、④错误.故选(B). 【评注】 :当 A
n ?1

x ? 0 , An x ? 0 时,证明 x, Ax,..., An x 线性无关的方法:
n

n 假设 k1x ? k2 Ax ? ... ? kn?1 An x ? 0 ,等式两边同时左乘 A 可得 k1 An x ? 0 ,由于 A x ? 0 ,

可知 k1 ? 0 . 这 样 原 等 式 就 化 为 了 k2 Ax ? ... ? kn?1 An x ? 0 , 再 在 该 等 式 两 边 同 时 左 乘 A
n ?1

可得

k2 An x ? 0 ,故有 k2 ? 0 .
类似地,可得 k3 ? ... ? kn?1 ? 0 ,故 x, Ax,..., A x 线性无关.
n

32、 【证明】 :

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?a11 x1 ? a12 x2 ? ... ? a1n xn ? 0 ?a x ? a x ? ... ? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n 由已知齐次线性方程组 ? (1) 的 所 有 解 都 是 方 程 ?.......................................... ? ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ... ? amn xn ? 0

b1 x1 ? b2 x2 ? ... ? bn xn ? 0 (2)的解可知:
?a11 x1 ? a12 x2 ? ... ? a1n xn ? 0 ?a x ? a x ? ... ? a x ? 0 21 1 22 2 2n n ? ? 方程组(1)与方程组 ?.......................................... ?a x ? a x ? ... ? a x ? 0 mn n ? m1 1 m 2 2 ? ?b1 x1 ? b2 x2 ? ... ? bn xn ? 0
? a11 ? a21 故 (1) 的系数矩阵 A ? ? ? ? ? ? am1
的秩相同.即 r ( A) ? r ( B)

(3)有相同的解.

a12 a22 ? am 2

? a11 a12 ... a1n ? ? ? ? a21 a22 ... a2 n ? ? 与 (3) 的系数矩阵 B ? ? ? ? ? ? ? ? am1 am 2 ... amn ? ?b b2 ? 1

... a1n ? ? ... a2 n ? ? ? ? ... amn ? ... bn ? ?

? a11 x1 ? a21 x2 ? ... ? am1 xm ? b1 ? a x ? a x ? ... ? a x ? b ? 12 1 22 2 m2 m 2 又方程组 ? 的系数矩阵和增广矩阵分别为 .......................................... ? ? ? a1n x1 ? a2 n x2 ? ... ? amn xm ? bn ? a11 ? ? a12 ? ? ? ? a1n a21 ... am1 ? ? a11 ? ? a22 ... am 2 ? a T ? 12 ?A , ? ? ? ? ? ? ? a2 n ... amn ? ? a1n
T T

a21 ... am1 a22 ... am 2 ? a2 n ? ... amn
T T

b1 ? ? b2 ? ? BT ? ? bn ?

又 r ( A) ? r ( A ), r ( B) ? r (B ) ,所以 r ( A ) ? r ( B )

? a11 x1 ? a21 x2 ? ... ? am1 xm ? b1 ? a x ? a x ? ... ? a x ? b ? 12 1 22 2 m2 m 2 即方程组 ? 的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩, .......................................... ? ? ? a1n x1 ? a2 n x2 ? ... ? amn xm ? bn

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? a11 x1 ? a21 x2 ? ... ? am1 xm ? b1 ? a x ? a x ? ... ? a x ? b ? 12 1 22 2 m2 m 2 故线性方程组 ? 有解. ?.......................................... ? ? a1n x1 ? a2 n x2 ? ... ? amn xm ? bn

六.几何运用(*数学一)
33、 【解析】方法 1: “必要性”. 设三条直线 l1 , l 2 , l3 交于一点,则线性方程组

?ax ? 2by ? ?3c, ? ?bx ? 2cy ? ?3a, ?cx ? 2ay ? ?3b, ?

(*)

?a 2b ? ?a 2b ? 3c ? ? ? ? ? 有唯一解,故系数矩阵 A ? b 2c 与增广矩阵 A ? b 2c ? 3a 的秩均为 2,于 ? ? ? ? ? c 2a ? ? c 2a ? 3b ? ? ? ? ?
是 A ? 0.

a 2b

?3c

a ? b ? c 2(b ? c ? a ) ?3(c ? a ? b) b c ?3 2c 2a ?3a ?3b 1 1 1

A ? b 2c ?3a ? c 2a ?3b 1 2

? (a ? b ? c) b 2c ?3a ? ?6(a ? b ? c) b c a c 2a ?3b c a b c ?b a ?b ? ?6(a ? b ? c) b c ? b a ? b ? ?6(a ? b ? c) a?c b?c c a?c b?c
? ?6(a ? b ? c)[(c ? b)(b ? c) ? (a ? b)(a ? c)]

1

0

0

? ?6(a ? b ? c)(bc ? c2 ? b2 ? bc ? a2 ? ac ? ab ? bc) ? 6(a ? b ? c)(a2 ? b2 ? c2 ? ac ? ab ? bc) ? 3(a ? b ? c)[(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ] ,
由于三条直线互不相同,所以 (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ? 0 ,故
2 2 2

a ? b ? c ? 0.
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“充分性”. 由 a ? b ? c ? 0 ,则从必要性的证明可知, A ? 0 ,故秩 ( A ) ? 3. 由于

a 2b 1 3 ? 2(ac ? b 2 ) ? ?2[a(a ? b) ? b 2 ] = ? 2[( a ? b) 2 ? b 2 ] ? 0 , 2 4 b 2c
故秩 ( A) ? 2 .于是,秩( A )=秩 ( A ) =2.因此方程组(*)有唯一解,即三直线 l1 , l 2 , l3 交 于一点. 方法 2: “必要性”

? x0 ? ? a 2b 3c ? ? ? ? ? 设三直线交于一点 ( x0 , y0 ) , 则 y 0 为 BX ? 0 的非零解, 其中 B ? b 2c 3a . ? ? ? ? ? ? ? ? c 2 a 3 b 1 ? ? ? ?
所以 | B |? 0 .而

a 2b 3c

a 2b

?3c

B ? b 2c 3a ? ? b 2c ?3a ? ? A c 2a 3b c 2a ?3b

? ?3(a ? b ? c)[(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ] ,(解法同方法 1)
2 2 2 但根据题设 (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ? 0 ,故 a ? b ? c ? 0.

“充分性” :考虑线性方程组

?ax ? 2by ? ?3c, ? ?bx ? 2cy ? ?3a, ?cx ? 2ay ? ?3b, ?

(*)

将方程组(*)的三个方程相加,并由 a ? b ? c ? 0. 可知,方程组(*)等价于方程组

?ax ? 2by ? ?3c, ? ?bx ? 2cy ? ?3a.
因为

(* *)

a 2b ? 2(ac ? b 2 ) ? ?2[a(a ? b) ? b 2 ] = ?[a2 ? b2 ? (a ? b)2 ] ? 0 , b 2c

故方程组(* *)有唯一解,所以方程组(*)有唯一解,即三直线 l1 , l 2 , l3 交于一点.

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