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复数公开课导学案


复数复习课导学案
高二数学组 王党爱 2015.5.18

【学习目标】
1. 2. 3. 4. 理解复数的有关概念以及复数相等的充要条件. 会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数等)对应的实参数的值. 掌握复数的代数形式的四则运算. 复数模的几何意义.

【自学复习内容】 1、i 的周期性: i =1,所以

,i
4 4n+1

=i, i

4n+2

=-1,

i

4n+3

=-i, i =1 ? n ? Z ?
4n
王新敞
奎屯 新疆

i 4n ? i 4n?1 ? i 4n?2 ? i 4n?3 ? 0 ? n ? Z ?
2 、 复 数 的 代 数 形 式 : a ? bi ? a, b ? R ? , a 叫 实 部 , b 叫 虚 部 , 实 部 和 虚 部 都 是 实 数. C ? ?a ? bi | a, b ? R? 叫做复数集.N Z Q R C. 3、复数相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c且b=d ; a ? bi ? 0 ? a ? 0且b=0 .

?实数 (b=0) ? 4、复数的分类: 复数Z ? a ? bi ? ?一般虚数(b ? 0, a ? 0) ?虚数 (b ? 0) ?纯虚数(b ? 0, a ? 0) ? ?
虚数不能比较大小,只有等与不等。即使是 3 ? i, 6 ? 2i 也没有大小. ?? ? ?? ? 5、 复数的模: 若向量 OZ 表示复数 z, 则称 OZ 的模 r 为复数 z 的模, z ?| a ? bi |? 积或商的模可利用模的性质(1) z1 ?? zn ? z1 ? z2 ??? zn , (2) 6、复数的几何意义: 复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? ???? ? 复平面内的点 Z (a, b)
一一对应

a 2 ? b2 ;

z z1 ? 1 z2 z2

?z

2

? 0? .

复数Z ? a ? bi ? a, b ? R ?

一一对应

?? ? 平面向量 OZ . ?

7、复平面:这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面,其中 x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴 , 实轴上的点都表示实数; 除了原点外, 虚轴上的点都表示纯虚数. 8、复数代数形式的加减运算
王新敞
奎屯 新疆

复数 z1 与 z2 的和:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 复数 z1 与 z2 的差:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的加法运算满足交换律和结合律

? a, b, c, d ? R? ? a, b, c, d ? R?
OZ1 + OZ2 =(a,b)+(c,
1

数加法的几何意义:复数 z1=a+bi,z2=c+di ? a, b, c, d ? R ? ;OZ =

d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i
复数减法的几何意义:复数 z1-z2 的差(a-c)+(b-d)i 对应 由于 Z2 Z 1 ? OZ1 ? OZ 2 ,两个
王新敞
奎屯 新疆

?? ?? ?

???? ? ???? ?

复数的差 z-z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9、复数的乘除法运算: 复数的乘法:z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。 * 实数集 R 中正整数指数的运算律,在复数集 C 中仍然成立.即对 z ,z ,z ∈C 及 m,n∈N 有: 1 2 3 m n m+n z z =z , 复数的除法: m n mn n n n (z ) =z , (z z ) =z z . 1 2 1 2

? a, b, c, d ? R?

a ? bi ac ? bd bc ? ad z1 ? i ? (a+bi) ? (c+di)= = c ? di c 2 ? d 2 c 2 ? d 2 z2

? a, b, c, d ? R? ,分母实

数化是常规方法. 10、共轭复数:若两个复数的实部相等,而虚部是互为相反数时,这两个复数叫互为共轭复 数;特别地,虚部不为 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

z ? a ? bi, z ? a ? bi ? a, b ? R ? , 两 共 轭 复 数 所 对 应 的 点 或 向 量 关 于 实 轴 对
称 .

z ?| z |? a 2 ? b 2

,

z ? z ? a 2 ? b2 ? R, z ? z ? z ? z

2

2



z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,
【预习检测】

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,

? z1 ? z1 ? ?? . ? z2 ? z2

1. 复数 z= a2 ? b2 ? (a ? a )i(a, b ? R) 为纯虚数的充要条件是( ). A. a ? b


B. a ? 0且a ? ? b
3 4

C. a ? 0且a ? b ). D.i

D. a ? 0且a ? ? b

2.复数z=i+i +i +i 的值是( A.-1 B.0 C.1
2

3.以 3i - 2 的虚部为实部,以 3i ? 2i 的实部为虚部的复数是( A.3-3i B.3+i ). C.2 D.-1+3i C. - 2 ?

).

2i

D. 2 ? 2i

4. 等于( (3 ? 2i) ( - 4 - i) A. 58 B. 10

【探究】
z1 ? z2 表示什么?
2

【典例精析】
设 z ? C ,且 z ? 1 ? z ? i ? 0 ,求z在复平面内对应的点的轨迹方程.

【针对训练】
1.在复平面内,若复数z满足 z ? 3 ? z ? 3 ? 10 ,则z在复平面内对应的点的轨迹方程 为 . . .

2.设复数 z 满足条件│z│=2,│z-3-4i│的最小值为 3.设复数 z 满足条件│z+3+4i│≤2,│z│的最大值为

【走进高考】
1. (2012.辽宁理)复数

2-i =( 2?i
C. 1 -

).

A.

3 4 - i 5 5

B.

3 4 ? i 5 5

4 i 5

D. 1 ?

3 i 5

2. (2011.天津理)i是虚数单位,复数 A.2+i B.2-i

1 ? 3i =( 1? i

) . D.-1+2i

C.-1-2i

3. (2012.新课标全国文)复数z= A.2+i B.2-i

?3?i 的共轭复数是( 2?i

) .

C.-1+i

D.-1-i

4.(2012.安徽)复数 z 满足(z-i)(2-i)=5,则 z=( ). A. -2-2i B.-2+2i C.2-2i D.2+2i 5.(2012.浙江理)已知 i 是虚数单位,则 A.1-2i B.2-i C.2+i

3?i =( 1-i
D.1+2i

).

【当堂检测】
1.a=0 是复数 a+bi(a,b ? R)为纯虚数的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必条件

2.设 O 是原点,向量 OA, OB 对应的复数分别为 2-3i,-3+2i,那么向量 AB 对应的复数是 ( ).

3

A.-5+5i

B.-5-5i

C.5+5i

D.5-5i

3.当

2 ? m ? 1 时,复数 m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于( 3
B.第二象限 C. 第三象限 象限.
2

).

A.第一象限

D.第四象限

4. i ? i 在复平面内表示的点在第

5.已知 z 1 ? 3 ? 4i ,点 z2 和点 z1 关于实轴对称,点 z3 和点 z2 关于虚轴对称,点 z4 和点 z2 关于原点对称,则 z2= ,z3= ,z4= .

【课时小节】
请同学们认真回顾本节课的内容,记录下自己值得注意的地方.

【作业】 1.复数
A. i+2

5 的共轭复数是( i-2
B.i-2
3

).
D.2-i

C.-2-i ). D.1

?1 3 ? ? 2.复数 ? ? ? 2 2 i ? 的值是( ? ?
A.-i 3.如果复数 B.i C. -1

2 ? bi 的实部和虚部互为相反数,那么实数 b 的值为( 1 ? 2i
B.-2 C. -

).

A. 2

2 3

D

2 . 3
.

4.若 z ? 1 ? 2i ,则 z ? 2 z 的值为
2

5.若复数 z 满足

1- z ? i ,则 z ? 1 的值为 1? z
2

.

6.已知复数 z=(4 - m )+( m-2) i ,当实数 m 为何值时,复数 z 为: (1) 实数; (2) 虚数 ; (3) 纯虚数.

7.若 ? ? -

1 1 3 2 ? i ,求证: (1) ? ? ? ? ; ? 2 2

(2) 1 ? ? ? ? ? 0 ;
2

(3) ? ? 1 .
3

4


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