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辽宁省沈阳二中2014届高三上学期期中考试数学(理)试题


努力成就明天

沈阳二中 2013——2014 学年度上学期期中考试 高三(14 届)数学(理科)试题
命题人: 高三数学组 审校人: 高三数学组
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5

分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.已知全集为 R ,集合 A ? ? x ? A. ? x | x ? 0? C.

? ? 1 ?x ? ? ? 2 ? ? 1? , B ? ?x | x ? 6 x ? 8 ? 0? ,则 A ? CR B ? ( ? ?2? ? ? ?
B. ? x | 2 ? x ? 4? D.

)

?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?
B. 21

?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?
) D. 35 ) C. a ? c ? b D. a ? b ? c

2. 如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? ( A. 14 C. 28

3.设 a ? log 3 6, b ? log 5 10, c ? log 7 14 ,则( A. c ? b ? a B. b ? c ? a

4. ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , a sin B cos C ? c sin B cos A ?

1 b, 2

且a ? b, 则?B ? (



A.

? 6

B.

? 3
x

C.

2? 3


D.

5? 6

?1? 5.关于 x 的方程 | log 0.5 x |? ? ? 的解的个数为( ?2?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 将函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移 值为( A. )
[来源:Zxxk.Com]

? 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取 8

3? 4

B.

? 4
2 2

C. 0

D. ?

?
4


7.过点 (3,1) 作圆 ( x ? 1) ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 的方程为( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. 4 x ? y ? 3 ? 0 8. 设函数 D ( x ) ? ?

?1,x为有理数 ,则下列结论错误的是( ?0,x为无理数
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A. D(x)的值域为{0,1} C. D(x)不是周期函数
2 2

B. D(x)是偶函数 D. D(x)不是单调函数

9.双曲线 x ? y ? 1的左焦点为 F,点 P 为左支下半支上任意一点(异于顶点) ,则直线 PF 的斜率的变化范 围是 ( ) A. (-∞,0) B.(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

10.已知两点 M (?3,0) ,N (3, 0) , P 为坐标平面内一动点, MN ? MP ? MN ? NP ? 0 , 点 且 则动点 P( x, y ) 到点 M (?3,0) 的距离的最小值为( A.2 B.3
2 2

???? ???? ?

???? ??? ? ?

) D. 6

C. 4

11.若实数 x, y 满足 x ? 4 y ? 4 ,则

xy 的最大值为( x ? 2y ? 2
D. 1 ? 2



A.

1? 2 2

B. 1 ? 2

C.

1? 2 2

12. ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,给出下列三个叙述: ① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ② a : b : c ? cos A : cos B : cos C ③ a :b : c ? A: B :C 以上三个叙述中能作为“ ?ABC 是等边三角形”的充分必要条件的个数为( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个



第Ⅱ卷 (90 分) 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
1 3.已知 e1 , e 2 是夹角为 ? 的两个单位向量, a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 a ? b ? 0 ,则 k 的值为 . 14. 抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三 角形内部与边界).若点
2
? ?

2 3

?

?

? ?

?

?

? ?

P( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是__________.
15. 已知 e 是自然对数的底数,若函数 f ? x ? ? e ? x ? a 的图象始终在 x 轴的上方,则实数 a 的取值范围
x

16. 在正项 等比数列 {an } 中, a5 ? 的值为

1 , a6 ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最大正整数 n 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c , a ? 2 , c ? 2 , cos A ? ? 求 sinC 和 b 的值.
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2 . 4

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18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ? an ? 满足 a2 ? 0 , a6 ? a8 ? ?10 . (I)求数列 ? an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ?1 ? ?2 ?

19. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y ? 4 x 相交于不同的两点 A,B.
2

(I)如果直线 l 过抛物线的焦点,求 OA ? OB 的值; (II)如果 OA ? OB ? ?4 ,证明直 线 l 必过一定点,并求出该定点坐标.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

20. (本小题满分 12 分) 小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队 .游戏规则为:以 O 为起点,再从

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 , A8 , (如图)这 8 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数
量积为 X .若 X ? 0 就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. (I)求小波参加学校合唱团的概率; (II)求 X 的分布列和数学期望.

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21. (本小题满分 12 分) 如图,在 x 轴上方有一段曲线弧 C ,其端 点 A 、 B 在 x 轴上(但不属于 C ) ,对 C 上任一点 P 及点 F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) , 满足:| PF1 | ? | PF2 |? 2 2 .直线 AP ,

BP 分别交直线 l : x ? a (a ? 2 ) 于 R ,
T 两点.
(Ⅰ) 求曲线弧 C 的方程; (Ⅱ)求 | RT | 的最小值(用 a 表示) ;

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , a ? R . (I) 讨论函数 f (x) 的单调性; (Ⅱ)当 x ? 1 时, f (x) ≤
[来源:学.科.网]

ln x 恒成立,求 a 的取 值范围. x ?1

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沈阳二中 2013——2014 学年度上学期期中考试 高三(14 届)数学(理科 )试题参考答案
一、选择题 1—5 DCDAB 二、填空题 13. 6—10 BBCCB 14. ? ? 2, ? 2 11—12 CC 15. (?1, ??) 16. 12

[来源:学科网 ZXXK]

5 4

? ?

1? ?

三、解答题 17.解: sin A ?

14 c sin A 7 c sin A 7 ,由正弦定理可得 sin C ? ? sin C ? ? a 4 a 4 4
??5 分
2 2 2

由 a ? b ? c ? 2bc cos A ,得 b ? b ? 2 ? 0 ,由 b ? 0 ,故 b ? 1. ??10 分
2

18. 解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知条件可得 ?

? a1 ? d ? 0, ? 2a1 ? 12d ? ?10,
??6 分

解得 ?

? a1 ? 1, 故数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n. ? d ? ?1.

(II)设数列 {

an a a }的前n项和为Sn ,即 Sn ? a1 ? 2 ? ? ? nn 1 , 故S1 ? 1 , n ?1 2 2 2?

Sn a1 a2 a ? ? ??? n . 2 2 4 2n
所以,当 n ? 1时,

Sn a ?a a a ?a 1 1 1 2?n ? a1 ? 2 1 ? ? ? n n ?1n ?1 ? n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ?1 ? n ) n 2 2 2 2 2 4 2 2 1 2?n n ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n . 2 2 2
所以 Sn ?

n . 2n?1

综上,数列 {

an n }的前n项和Sn ? n ?1 . ??12 分 n ?1 2 2

19 解: (I)由题意知,抛物线的焦点为(1,0), 设 l:x=ty+1,代入抛物线 y2=4x 中消去 x 得,

y2-4ty-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2= 4t,y1y2=-4,

??? ??? ? ? OA ? OB =x1x2+y1y2=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.??6 分
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(II)设 l:x=ty+b,代入方程 y2=4x 消去 x 得,

y2-4ty-4b=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4t,y1y2=-4b.
∵ OA ? OB =x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y =t2y1y2+bt(y1+y2 )+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b =b2-4b. 令 b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2.

??? ??? ? ?

∴直线 l 过定点(2,0).??12 分 20. 解: (I)从 8 个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有 C8 ? 28 种, X ? 0 时,两向量夹角为直角共有 8
2

种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为 P( X ? 0) ? (II)两向量数量积 X 的所有可能取值为 ?2, ?1,0,1 当 X ? 0 时, P( X ? 0) ?

8 2 ? . ??4 分 28 7

8 2 ? 28 7
1 14

当 X ? ?2 时,有 2 种情形 P ? X ? ?2 ? ? 当 X ? 1 时,有 8 种情形 P ? X ? 1? ?

2 7 5 .??8 分 14
0 2 7

当 X ? ?1 时,有 10 种情形 P ? X ? ?1? ? 所以 X 的分布列为:

X
P

?2 1 14

?1 5 14

1 2 7
??10 分

EX ? (?2) ?

1 5 2 2 3 +(?1) ? ? 0 ? ? 1? ? ? . ??12 分 14 14 7 7 14

21. 解: (I)由椭圆的定义,曲线 C 是以 F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) 为焦点的半椭圆,

c ? 1, a ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 .
∴ C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( y ? 0) . ??4 分 2

(注:不写区间“ y ? 0 ”扣 1 分) (II)由(I)知,曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( y ? 0) ,设 P ( x0 , y 0 ) , 2 y2 1 2 2 则有 x0 ? 2 y 0 ? 2 , 即 2 0 ? ? ① 2 x0 ? 2
又 A(? 2 , 0) , B( 2 , 0) ,从而直线 AP, BP 的方程为
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y0 x0 ? 2 y0 x0 ? 2 y0 x0 ? 2 y0 x0 ? 2

AP: y ?

(x ? 2) ;

BP: y ?

( x ? 2 ) ??6 分

令 x ? a 得 R , T 的纵坐标分别为

yR ?

(a ? 2 ) ;

yT ?

(a ? 2 ) .

∴ y R ? yT ?

2 y0 (a 2 ? 2) ② 2 x0 ? 2

将①代入②, 得 y R yT ?

1 (2 ? a 2 ) .??8 分 2

∴ | RT |?| yR ? yT |?

2 2 yR ? yT ? 2 yR yT ≥ 2 | yR yT | ?2 yR yT ? 2(a 2 ? 2) .

当且仅当 y R ? yT ,即 y R ? ? yT 时,取等号. 即 | RT | 的最小值是 2( a ? 2) .??12 分
2

22.解: (I) a ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递增

? 1? ?1 ? a ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增, ? , ?? ? 单调递减??6 分 ? a? ?a ?
(Ⅱ)等价于 h ? x ? ? ln x ?

a ? x 2 ? 1? x

? 0 在 ?x ? 1 恒成立,

2 2 1 2ax ? a ? x ? 1? ?ax 2 ? x ? a h? ? x ? ? ? ? x x2 x2

[来源:Zxxk.Com]

(1) 当 a ? 0 时, h? ? x ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递增, h ? x ? ? h ?1? ? 0 ,与题意矛盾 (2) 当a ?

1 时, h? ? x ? ? 0 恒成立,所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递减,所以 h ? x ? ? h ?1? ? 0 2
?1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4a 2 1 ? ? 1 , 所 以 h ? x ? 在 ?1, x? ? 单 调 递 增 , 时 , x? ? ?2a 2a 2

(3) 当 0 ? a ?

h ? x ? ? h ?1? ? 0 ,与题意矛盾
综上所述: a ?

1 ??12 分 2

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