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高一数学解题大赛试卷及答案


高一数学解题大赛试卷
一、填空题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,把正确答案填在题中横线上) f (2 x) 1.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x ) ? 的定义域是 。 x ?1
【解答】 [0,1) 2.给出下列四个命题: ① 若平面 ? 内有不在一条直线上的三个点到平面 ? 的距离相等,则

?∥? 。 ② 三个平面可以把空间分成七个部分。 ③ 正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中与对角线 DB 1 成异面直线的棱共有 5 条。 ④ 若一条直线和平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。 其中正确的 命题是 ... 。

【解答】命题②为真命题,①、③、④为假命题 3. 设函数 f ? x ? 对 x ? 0 的一切实数均有 【解答】2014. 4.定义运算 a ? b ? ?

? 2016 ? f ? x? ? 2 f ? ? ? 3x ,则 f ? 2 ? 等于 ? x ?



?a, ?b,

a?b x ?x ,如 1? 2 ? 1 ,则函数 f ?x ? ? 2 ? 2 的值域是 a?b



【解答】 ?0,1? 5.设有一几何体的三视图如下,则该几何体体积为 。

2 2

2 2 2 2 3 1
侧视图

1

正视图 【解答】 4+

俯视图(圆和正方形)

5? 2

1

6.

(lg 3)2 ? lg 9 ? 1? (lg 27 ? lg8 ? lg 1000) ? lg 0.3?lg1.2
【解答】



?

3 2

7.已知集合 S ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A 是 S 的非空子集,满足 a ? A ,且 (6 ? a) ? A ,则满足条件的 集合 A 的个数为 【解答】 7 。

E 为 CD 中点, 8.如图,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1,
则二面角 E ? AB1 ? B 的正切值为 【解答】如图,作 EF ? AB 于 F ,作 FO ? AB1 于 O ,连结 OE 。由 ABCD ? A 1B 1C1D 1 为正方体, 知 EF ? 面 ABB1 A 1。 1 , EF ? AB 又 AB1 ? OF 。因此, AB1 ? 面 OEF , OE ? AB1 。 ∴ 。

?EOF 为面角 E ? AB1 ? B 的平面角。

设正方体棱长为 a ,则 EF ? a , OF ?

1 2 A1B ? a 。∴ 4 4

tan ?EOF ?

EF ?2 2。 OF

3 9.已知 a , b 是常数,函数 f ( x) ? ax ? b ln( x ?

x 2 ? 1) ? 3 在 (??,0) 上的最大值为 10,


则 f ( x) 在 (0,??) 上的最小值为 【解答】 -4

10.已知函数 f ( x ) 满足:

(1)对任意的实数 x , f ( x ? 2) ? f ( x) ; (2)对任意的实数 x ,

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ; (3)当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x 。若关于 x 的方程 f ( x) ? log a ( x ? 1) ? 0
( a ? 0 ,且 a ? 1 )在区间 ?0 , 8? 内恰有 6 个不同的实根,则 a 的取值范围为 【解答】在同一坐标系内分别作出函数 y ? f ( x) 与 。

g ( x) ? log a ( x ? 1) 的图像。由两函数图像在区间 ?0 , 8? 内恰有 6 个
不同的交点知, ?

? g (5) ? 1 。 ? g (7) ? 1



? log a 6 ? 1 8) 。 ,解得 6 ? a ? 8 。 a 的取值范围为 (6 , ? ? log a 8 ? 1
2

二、解答题(本大题共 5 个小题,每小题 20 分,共 100 分,解答时应写出必要的文字说 明,证明过程或演算步骤) 11、(本小题满分 20 分)设函数 y ? 2 ? x ? x ? 1 的定义域为 A,函数 y ? log2 (a ? x) 的定义
域为 B. (1)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围;

(2)设全集为 R,若非空集合 (?R B) I A 的元素中有且只有一个是整数; 求实数 a 的取值范围.

解:(1)由 ?

?2 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 2 ,? A ? [?1, 2] . ?x ?1 ? 0

………3 分 ………6 分 ………10 分 ………14 分

由 a ? x ? 0 得 x ? a ,? B ? (??, a) .

Q A ? B,? a ? 2 .
(2) Q B ? (??, a) ??R B ? [a, ??) .

Q (?R B) ? A 的元素中有且只有一个是整数, ?1 ? a ? 2 .

………20 分

12、(本题满分 20 分)在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 1 , AA1 ? 2 , E 为 BB1 中点. (1)证明: AC ? D1 E ; (2)求 DE 与平面 CC1 D1 D 所成角的正弦值; (3)在棱 AD 上是否存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E ? 若存在,求 DP 的长;若不存在,说明理由.
E A1 B1 D1 C1

D A B

C

3

13、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点 (1)求证:面 PAB⊥平面 PAD (2)求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值 (3)求点 A 到平面 PCD 的距离 13、(Ⅰ)证明:略 (Ⅱ)连结 BO,在直角梯形 ABCD 中,BC∥AD, AD=2AB=2BC,有 OD∥BC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形,所以 OB∥DC.由 (Ⅰ)知 PO⊥OB,∠PBO 为锐角,所以∠PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角.因为 AD=2AB=2BC=2,在 Rt △AOB 中,AB=1,AO=1,所以 OB= 2 ,在 Rt△POA 中,因为 AP= 2 ,AO=1,所以 OP=1,在 Rt△ PBO 中,PB= OP2 ? OB2 ? 3 ,cos∠PBO=

6 OB 2 6 ,所以所成的角的余弦值为 . ? ? 3 PB 3 3

(Ⅲ)由(Ⅱ)得 CD=OB= 2 ,在 Rt△POC 中,PC= OC 2 ? OP2 ?

2 ,所以 PC=CD=DP,S△ 1 1 1 3 3 ·2= .又 S△= AD ? AB ? 1, 设点 A 到平面 PCD 的距离 h,由 VP-ACD=VA-PCD,得 S△ACD·OP= S△ PCD= 3 3 2 4 2
PCD

·h,



1 1 3 2 3 ×1×1= × ×h,解得 h= . 3 3 2 3

4

14、(本小题满分 20 分)某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商场一种品牌服装销售 情况的调查发现:该服装在过去的一个月内(以 30 天计)每件的销售价格 P(x)(百元)与时间 x (天)的函数关系近似满足 P ( x ) ? 1 ?

k (k 为正常数),日销售量 Q(x)(件)与时间 x(天)的 x

部分数据如下表所示:已知第 10 天的日销售收 入为 121(百元). (1)求 k 的值; (2)给出以下四种函数模型: ①Q(x)=ax+b,② Q( x) ? a x ? 25 ? b ,③ Q( x) ? a g b x ,④ Q( x) ? a ? logb x .请你根据上表 中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量 Q(x)(件)与时间 x(天)的变 化关系,并求出该函数的解析式; (3)在(2)的条件下,求该服装的日销售收入 f(x)( 1 ? x ? 30, x ? N )的最小值. 解:(1)依题意有: f (10) ? P(10) ? Q(10) , 即 (1 ?

k ) ?110 ? 121 ,所以 k ? 1 . 10

………5 分

(2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减并不单调, 故只能选② Q( x) ? a x ? 25 ? b . 从表中任意取两组值代入可求得:

Q( x) ? ? x ? 25 ?125 ? 125 ? x ? 25 .
(3)? Q( x) ? 125 ? x ? 25 ? ?

………10 分

?100 ? x,(1 ? x ? 25) , ?150 ? x.(25 ? x ? 30)

? 100 x? ? 101, (1 ? x ? 25) ? ? x ? f ( x) ? ? . 150 ? ? x ? 149.(25 ? x ? 30) ? ? x

………12 分

100 ① 当 1 ? x ? 25 时, x ? 在 [1,10] 上是减函数,在 [10, 25) 上是增函数, x
所以,当 x ? 10 时, f ( x)min ? 121 (百元). ②当 25 ? x ? 30 时, ………16 分

150 ? x 为减函数, x
5

所以,当 x ? 30 时, f ( x)min ? 124 (百元). 综上所述:当 x ? 10 时, f ( x)min ? 121 (百元).

………19 分 ………20 分

1 15.(20分)已知 a ? R ,设函数 g ( x) ? lg2 x ? 2a lg x ? 4 ( x ? [ , ??)) 的最小值为 h(a). 10

(Ⅰ)求 h(a) 的表达式; (Ⅱ)是否存在区间 [m, n] ,使得函数 h(a) 在区间 [m, n] 上的值域为 [2m, 2n] ?若存在,求 出 m, n 的值;若不存在,请说明理由. 19. 解:(Ⅰ) f ( x) ? lg x, x ? [

1 , ??) 则 f ( x) ?[?1, ??) 10

g ( x) ? lg2 x ? 2a lg x ? 4 ? (lg x ? a)2 ? 4 ? a2
2 2 当 a ? ?1 时, h(a) ? (?1 ? a) ? 4 ? a ? 5 ? 2a ; 2 当 a ? ?1 时, h(a) ? 4 ? a .

综上得 h(a) ? ?

?5 ? 2a, (a ? ?1)
2 ?4 ? a , (a ? ?1)

;………………6 分

(Ⅱ)显然, h(a) ? 4 ,则 2n ? 4 ? n ? 2, m ? n, m ? 2 .………………8 分 (1)当 n ? ?1 ,函数在此区间递增,则 ? (2)当 ?1 ? n ? 0 , (ⅰ)当 m ? ?1 ,函数在此区间递增,则 5 ? 2m ? 2m ,显然不符;………………12 分

?5 ? 2m ? 2m ,显然不符;………………10 分 ?5 ? 2n ? 2n

? 4 ? m 2 ? 2m ? ? m ? n ? ?2 ,显然不符;………………14 分 (ⅱ)当 ?1 ? m ? 0 ,则 ? 2 ? ? 4 ? n ? 2n
(3)当 0 ? n ? 2 , (ⅰ)当 m ? ?1 ,则 5 ? 2m ? 2m ,显然不符;………………16 分 (ⅱ)当 ?1 ? m ? 0 ,函数在此区间递增,则 ?

? 4 ? m 2 ? 2m ? ?m ? ?1 ? 5 ?? ,显然不符;……18 分 ?n ? 2 ? 4 ? 2n ?
6

2 ? ? 4 ? m ? 2n ? m ? 0 ?? (ⅲ)当 0 ? m ? 2 ,函数在此区间递减,则 ? ,符合题意. ………………20 分 2 4 ? n ? 2 m ? ?n ? 2 ?

综上,存在符合题意的 m, n ,且 m ? 0, n ? 2 .

7


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