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必修1.1.1.1集合的含义与表示


§必修 1.1.1.1
教学目标

集合的含义与表示

1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系. 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.

学习内容

知识梳理
1.集合的含义 把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 2.元素与集合的关系 如果 x 是集合 A 中的元素,则说 x 属于集合 A,记作 x∈A;若 x 不是集合 A 中的元素,就说 x 不属于集合 A,记 作 x?A. 3.集合中元素的三个特征 (1)确定性:给定集合 A,对于某个对象 x,“x∈A”或“x?A”这两者必居其一且仅居其一. (2)互异性:集合中的元素互不相同. (3)无序性:在一个给定的集合中,元素之间无先后次序之分. 4.集合的表示 (1)把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法称为列举法. (2)把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法称为描述法.常用形式是:{x|p},竖线前 面的 x 叫做集合的代表元素,p 表示元素 x 所具有的公共属性. (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合,这种图形称为 Venn 图.用 Venn 图、数轴上的区间及直角坐标平面 中的图形等表示集合的方法称为图示法. 5.常用数集的符号表示 实数集 R 6.有限集与无限集 含有有限个元素的集合叫有限集,含有无限个元素的集合叫无限集. 正实数集 R


有理数集 Q

整数集 Z

自然数集 N

正整数集 N+或 N*

1

例题讲解

题型一
例1

集合中元素的特性

判断下列命题的正误: ①高个子同学可组成集合( );②{1,2}={2,1}( ) ;③{1,2}={(1,2)}( ); ④0∈N( );⑤2∈{1,2} ( );⑥方程 x(x-1)2=0 的解集为{0,1,1}( ).

巩固

(1)选用适当的符号填空:A={x|2x-3<3x}, 则有:-4______A,-2______A.

(2)说出下列三个集合的含义:①{x|y=x2};②{y|y=x2};③{(x,y)|y=x2}.

题型二
例2

元素与集合的关系
)

所给下列关系正确的个数是(

①-∈R;②?Q;③0∈N+;④|-3|?N+. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

巩固

下列说法正确的是(

)

A.若 a∈N,b∈N,则 a-b∈NB.若 x∈N+,则 x∈Q C.若 x≥0,则 x∈ND.若 x?Z,则 x?Q

题型三
例3

集合的表示法

分别用列举法和描述法表示方程 x2-3x+2=0 的解.

巩固

用列举法表示下列集合.

A ? {x | x= x ,x ? Z且x ? 8}
B ? {x | x ?
C ? {x |

|a| |b| ? , a、b为非零实数} a b

6 ? Z,x ? N ? } 3? x

2

题型四
例4

注意集合中元素的互异性

已知集合 A={1,3,a2},若 3a-2∈A,求实数 a 的取值集合.

巩固

(1)若 2∈{1,x,x2+x},则实数 x 的值是________

(2)已知集合 A={2,x2-2x-1},求实数 x 的取值范围

综合题库

A组 1.下列各组对象:(1)高中数学中所有难题;(2)所有偶数;(3)平面上到定点 O 距离等于 5 的点的全体;(4)全体著 名的数学家.其中能构成集合的个数为( A.1 个 B.2 个 C.3 个 )

D.4 个

2.给出三个命题:①集合{a,b}可以写成{b,a};②方程 4x2-4x+1=0 的解集可以表示为;③“很小的数”构成 一个集合.其中正确命题的个数是( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

3.实数 2 2 与集合 A={x|1<x<3}的关系为________.

B组 1.集合{x∈N*|x<5}的另一种表示法是( )

A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}

2.由大于-3 且小于 11 的偶数所组成的集合是( A.{x|-3<x<11,x∈Q}B.{x|-3<x<11}

)

C.{x|-3<x<11,x=2k,k∈N}D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}

3.下列各个集合是有限集的是(

)

3

A.{小于 10 000 的自然数}B.{x|0<x<1} C.{小于 10 000 的整数} D.{x|x<1}

4.下列所给关系正确的个数是(

)

①π∈R ② 3?Q ③0∈N* ④|-4|?N* A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知集合 A={2,4,x2-x},若 6∈A,则 x=______.

6.用“∈”或“?”填空. (1)A={x|x2-x=0},则 1____A,-2____A.

(2)B={x|1≤x≤5,x∈N},则 1____B,1.5____B.

(3)C={x|-1<x<3,x∈Z},则 0.2____C,3____C.

7.在数轴上画出下列集合所表示的范围: (1){x|x>-1}; (2){x|-1<x≤3}; (3){x|x≥2 或 x<-1}.

C组

1.已知集合 A={一条边长为 2,一个角为 30° 的等腰三角形},则 A 中元素的个数为( A.2 B.3 C.4 D.无数个 2.已知 1∈{x| x2-3x+a= 0},则实数 a=______.

)

3.用列举法表示下列集合: (1){x∈N|x 是 15 的约数}; (2){(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}; (3){(x,y)??
?x+y=2 ?? ?x-2y=4 ??
n

};

(4){x|x=(-1) ,n∈N}; (5){(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N}; (6){(x,y)|x,y 分别是 4 的正整数约数}.

4


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