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广东省深圳市翠园中学2015年高考数学(理科)模拟试卷一


2015 年高考数学(理科)模拟试卷一
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1、集合 ? ? ??1,0,1 ? ,? 的子集中,含有元素 0 的子集共有( A. 8 个 2、复数 B. 4 个 C. 3 个

D. 2 个 )

2 的实部与虚部之和为( ) 1? i A. ? 1 B. 2 C. 1

D. 0 3、如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是半径为 1 的半 圆,俯视图是个圆,则该几何体的全面积为( ) A. ? B. 2? C. 3? D. 4?

?x ? y ? 2 ? 4、已知实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 2x ? y 的最小 ?x ? 2 ?
值是( A. 2 ) B. 4 C. 6 D. 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5、已知平面向量 a , b 满足 a ? 3 , b ? 2 ,且 a ? b ? a ,则 a 与 b 的夹角为(

?

?



A.

6、设 l , m 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题中正确的是(

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6



? ?? ? m, A. 若 l //? , 则 l //m
C. 若 l //? ,m //? , 则 l //m

B. 若 l //? ,m ? l , 则m ??

l //? , D. 若l ? ? , 则? ? ?

7、如图在程序框图中,若输入 n ? 3 ,则输出 k 的值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8、下列说法中,正确的是( ) A.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题是真命题
2 2

B.命题“ ?x ? R , x ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x ? x ? 0 ” C.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题
2 2

D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 9、设函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ,则下列结论正确的是( ) 6? ? A. f ? x ? 的图象关于直线 x ? 对称 3 ?? ? B. f ? x ? 的图象关于点 ? , 0 ? 对称 ?6 ? ? ? ? C. f ? x ? 的最小正周期为 ? ,且在 ? 0, ? 上为增函数 ? 12 ? ? D.把 f ? x ? 的图象向右平移 个单位,得到一个偶函数的图象 12 10 、设 f ? x ? 与 g ? x ? 是定义在同一区间 ? a, b? 上的两个函数,若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 在

? ?

??

为“关联区间”.若 f ? x ? ? x2 ? 3x ? 4 与 g ? x ? ? 2x ? m 在 ?0,3? 上是“关联函数”,则 m 的取 值范围为( A. ? ? , ?2? )

x ? ? a, b? 上有两个不同的零点,则称 f ? x ? 和 g ? x ? 在 ? a, b? 上是“关联函数”,区间 ? a, b? 称

? 9 ? 4

? ?

B. ? ?1,0?

C. ? ??, ?2?

D. ? ?

? 9 ? , ?? ? ? 4 ?

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题) 11 、为了了解某地区高三学生的身体发育情 况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁 ? 18 岁的男生体重( kg ) ,得到频率分布直方图如 右图: 根据右图可得这 100 名学生中体重在

?60.5,64.5? 的学生人数是



12、已知 ??? C 中,角 ? , ? , C 所对的边

3 ,则 a 边的长为 . 2 1 2 13、已知函数 f ? x? ? mx2 ? nx ? 2 ( m ? 0 , n ? 0 )的一个零点是 2 ,则 ? 的最小值 m n
分别是 a , b , c , ?? ? 60 , c ? 2 ,且 ??? C 的面积为
?

为 . (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14、 (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,直线 l 的参 数方程为 ?

数 ? ??0, 2? ? ) ,则圆心到直线 l 的距离为

?x ? t ? 3 ? x ? 2cos ? (参数 t ? R ) , 圆的参数方程为 ? (参 ?y ? 3?t ? y ? 2sin ? ? 1


15、 (几何证明选讲选做题)如图,在 ??? C 中,D? //?C ,DF//?C , ?? ? 2 , ?C ? 1 , ?C ? 4 ,则 ? F ? .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16、 (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 3 , a3 ? a4 ? 12 .

?1? 求 ?an ? 的通项公式; ? 2 ? 设 bn ? 2a ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 ?n .
n

17、某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢谢惠顾”字样,购买一瓶若其 瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶 该饮料。 (1)求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率; (2)求中奖人数ξ 的分布列及数学期望 Eξ .
1 5

18、 (本小题满分 14 分)已知向量 a ? ?1,cos 2x ? , b ? sin 2 x, ? 3 ,函数 f ? x ? ? a ? b .

?

?

?

?

? ?

?1? 若 x ? 3 ,求 a ;
2? ? 6 5? ? ? ? ? ,求 f ? ? ? ? 的值; 12 ? ?2 3 ? 5 ? ?? 0, ? ,求函数 f ? x ? 的值域. ? 3? 若 x ? ? ? ? 2?

?

?

? 2? 若 f ? ?

?

?

19、 (本小题满分 14 分) 如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 1,点 M 在 BC 上,△ AMC1 是以 M 为直角 顶点的等腰直角三角形. (1)求证:点 M 为 BC 的中点; (2)求点 B 到平面 AMC1 的距离; (3)求二面角 M—AC1—C 的大小.

20 、 (本小题满分 14 分)设函数 g ? x ? ?

2 x ? y ? 0 .记 g ? x ? 的导函数为 f ? x ? .

1 3 x ? ax 2 的图象在 x ? 1 处的切线平行于直线 3

?1? 求函数 f ? x ? 的解析式; ? 2 ? 记正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 ?n ? ?? , Sn ? 2 f ? an ? ,求 an ;
? 3? 对于数列 ?bn ? 满足: b1 ? 2 , bn?1 ? f ?bn ? ,当 n ? 2 , n ? ?? 时,求证:
1? 1 1 1 ? ? ??? ? ? 2. 1 ? b1 1 ? b2 1 ? bn
1 1

21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ?

?1? 当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的极值; ? 2 ? 当 a ? 0 时,讨论 f ? x ? 的单调性; ? 3? 若 ?a ? ? ?3, ?2? , x1 , x2 ??1,3? ,有 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,求实数 m
的取值范围.

1 ? 2ax ( a ? 0 ) . x

2015 年高考数学(理科)模拟试卷一
参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题的 4 个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 题次 答案 1 B 2 B 3 C 4 B 5 A 6 D 7 C 8 B 9 C 10 A

二、填空题:本大题共 5 小题, 考生作答4小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 24 12. 3 13. 8 14.

5 2 2

15.

4 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: 【答案】解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d .由题意知

?a1 ? d ? 3 ? ?a1 ? 2d ? a1 ? 3d ? 12

……2 分(每式 1 分)

解得, a1 ? 1, d ? 2 …… 4 分(每式 1 分) ∴ an ? 2n ? 1 ( n ? N ? ) ……6 分 (2)由题意知, bn ? 2
an ?1

? 2 2n ( n ? N ? ), ……

7分

Tn ? 22 ? 24 ? 26 ? ? ? 22n
4(1 ? 4 n ) ? …… 1? 4
? 4 n (4 ? 1) …… 3
10 分 12 分
w_w w. k#s5_u.c o*m

17. 解: (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那么 P(A)=P(B)=P(C)=

1 ?????????????????????2 分 5
1 2 4 5 5 4 ??????????????5 分 125 4 ?????????????6 分 125

C )=P(A)P( B )P( C )= ( ) ? ? P( A?B?

答:甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率为

(2)ξ 的可能值为 0,1,2,3?????????????????????7 分 P(ξ =k)= C3 ( ) ( )
k

1 5

k

4 5

3? k

(k=0,1,2,3)??????????????????9 分
w_w w. k#s5_u.c

所以中奖人数ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3

P

64 125

48 125

12 125

1 125

????????????????10 分

Eξ =0×

3 64 48 12 1 +1× +2 × +3× = ???????????????12 分 125 125 125 125 5
?

18. 解: (1) a ? (1, cos

2? 1 ) ? (1,? ) ,…… 1 分 3 2
…… 2 分

? 1 5 | a |? 12 ? (? ) 2 ? 2 2

(2) f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

…… 3 分

f(

?
2

?

2? ? 2? ? ) ? 2 s i n2 [( ? ) ? ] ? 2 s i n? ( ? ? ) ……4 分 3 2 3 3 6 3 ? ?2 sin ? ? ? sin ? ? ? ,…… 5 分 5 5

因此,

f (? ?

5? 5? ? ? ) ? 2 sin[ 2(? ? ) ? ] ? 2 sin( 2? ? ) ……6 分 12 12 3 2
2 ? 2(1 ? 2 s i n ? ) …… 8 分

? 2 cos 2? ……7分

3 14 ? 2[1 ? 2 ? (? ) 2 ] ? …… 9 分 5 25 ? ? ? 2? (3)? x ? [0, ] ? 2 x ? ? [? , ] …… 2 3 3 3

10 分

? 3 ,1] …… ? sin(2 x ? ) ? [? 3 2
? f ( x) ?[? 3,2] ,…… 13 分
即 f ( x) 的值域是 [? 3,2] .……

12 分

14 分
E

F , AM ? 面 ABC 19. (1)证明:∵在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,有 CC1⊥底面 ABC

∴ CC1 ? AM ?????? ??????1 分 又∵△AMC1 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形, ∴AM⊥MC1 且 AM=MC1
D C A

M
B

?CC1 ? C1M ? C1 ,
? AM ? 面 CC1M ????????????2 分

? BC ? 面 CC1M , ? AM ? BC ?????????????????????3 分
∵底面 ABC 是边长为 1 的正三角形, ∴点 M 为 BC 中点.????????????????????4 分

为点 B 到平面 AMC1 的距离.????????6 分

? AM=C1M=

3 , 2

在 Rt△ CC1M 中,可得 CC1 ? ∵△ BHM∽△ C1CM.,

2 ????????????????????7 分 . 2

1 BH BM BH 6 ? ? ? ? 2 ? BH ? . ??????????????9 分 CC1 C1 M 6 2 3 2 2
解法(二) 设点 B 到平面 AMC1 的距离为 h.则 VB? AMC1 ? VA?BMC1 ????????????5 分 由(I)知 AM⊥C1M,AM⊥CB, ∴AM⊥平面 C1CBB1????????????????????6 分 ∵AB=1,BM=

1 3 2 , 可求出AM ? MC1 ? , CC1 ? . ???????? ??7 分 2 2 2

1 1 S ?AMC1 ? h ? S ?C1MB ? AM ??????????????????????8 分 3 3

1 1 3 3 1 1 1 2 3 ? ? ? h? ? ? ? ? 3 2 2 2 3 2 2 2 2

得h ?

6 ????? ???9 分 6

(3) (解法一) 过 M 作 MH ? AC 于 H,作 MG ? AC1 于 G,连结 GH.

?面AC1 ? 面ABC, 且面AC1 ?面ABC ? AC ,又 MH ? 面ABC, MH ? AC ? MH ? 面AC1 ? MH ? AC1
又因为 MG ? AC1 ,且 MH ? MG ? M
C1 A1 G A M B B1 H C

? AC1 ? 面 MHG ? AC1 ? GH ,

故 ?MGH 为二面角 M ? AC1 ? C 的平面角??????????????11 分 由(1)知 MH ?

1 3 AM ? 2 4 2 2 3 6 AM ? ? ? 2 2 2 4

在等腰直角三角形 AMC1 中, MG ?

?sin ?MGH ?

MH 3 4 2 ???????????13 分 ? ? ? MG 4 2 6

因为二面角 M ? AC1 ? C 为锐二面角,故 ?MGH ? 所以二面角 M ? AC1 ? C 的大小为

?
4

? .??????????????14 分 4
z C1 A1 M' B1 A C M B x y

(解法二)过 M 作 MM1 / /CC1 交 B1C1 于 M 1 . 以 M 为坐标原点,BC, AM , MM1 分别为 x 轴, y 轴,z 轴方向, 建立空间直角坐标系.???????????????10 分

? 设面 ACC1 的一个法向量为 u ? ( x, y, z)
?1 3 ???? ? y?0 ? x? ? AC ? u ? 0 ? ?2 2 由 ? ???? 得? ,取 y ? 1 ,则 x ? ? 3, z ?0 ? ? 2 ? ?CC1 ? u ? 0 ? z?0 ? ? 2 ? ? u ? ? 3,1, 0 ??????????????????11 分

?

?

同理可求得面 AMC1 的 一个法向量为 v ? ? 2, 0,1 ???????????????? 12 分

?

?

?

设二面角 M ? AC1 ? C 的大小为 ? ,由图知 ? 为锐角 故 cos ? ? cos u, v ?

? ?

6 2 ??????????????????13 分 ? 2 2 3

故二面角 M ? AC1 ? C 的大小为

? ????????????????14 分 4

20.解:(1)∵函数 g ( x) ? x3 ? ax2 的导函数为 f ( x) ? x2 ? 2ax ,……1 分 由于在 x ? 1 处的切线平行于 2 x ? y ? 0 , ∴ 1 ? 2a ? 2 解出: a ?

1 3

1 2

…… 2 分

即 f ( x) ? x 2 ? x …… 3 分 (2) S n ?

1 2 (a n ? a n ) 2 1 2 n ? 1, a1 ? S1 ? (a1 ? a1 ) ,得 a1 ? 1 或 a1 ? 0 (舍去)…… 4 分 2 1 2 n ? 2, S n ?1 ? (a n ?1 ? a n ?1 ) 2 1 2 2 S n ? S n ?1 ? [( a n ? a n ?1 ) ? (a n ? a n ?1 )] ,…… 5 分 2 2 2 即有 2an ? (an ? an?1 ) ? (an ? an?1 )

…… 6 分 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 1) ? 0 因为 an ? 0 ,故 an ? an?1 ? 1 …… 7 分 所以数列 {an } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, an ? 1 ? (n ? 1) ? n ……8 分 (3) ∵ bn?1 ? bn (bn ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 ∴ ,…… 9 分 即有 …10 分 ? ? ? ? ? bn?1 bn (bn ? 1) bn 1 ? bn 1 ? bn bn bn?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ . . , ? ? , ? ? , ? ? ,. ? ? , 1 ? b1 b1 b2 1 ? b2 b2 b3 1 ? b3 b3 b4 1 ? bn bn bn ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? …11 分 ? ? ... ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? 2? 1 ? b1 1 ? b2 1 ? bn b1 b2 b2 b3 bn bn?1 bn?1

? 2 ……

12 分

1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? …13 分 1 ? b1 1 ? b2 1 ? bn 1 ? b1 1 ? b2 2 4 26 ? ? ? ?1 3 7 21 1 1 1 ? ? ... ? ? 2 …14 分 ∴1 ? 1 ? b1 1 ? b2 1 ? bn 1 2 1 2x ?1 ( x ? 0). ……2 分 21.解: (1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2 ln x ? , f ? ? x ? ? ? 2 ? x x x x2
而当 n ? 2 时, Tn ? (求导 1 分、标出定义域 1 分)

由 f ?? x? ?

1 2x ?1 ? 0 ,解得 x ? . 2 2 x

∴ f ? x ? 在 ? 0, ? 上是减函数,在 ? ∴ f ? x ? 的极小值为 f ?

? ?

1? 2?

?1 ? , ?? ? 上是增函数. ……………………… ?2 ?

3分

?1? ? ? 2 ? 2ln 2 ,无极大值.………… 4 分 ?2?

2ax 2 ? ? 2 ? a ? x ? 1 ? ax ? 1?? 2 x ? 1? 2?a 1 (2) f ? ? x ? ? ? 2 ? 2a ? ? ( x ? 0) . …6 分 x x x2 x2
① 当 ?2 ? a ? 0 时 , f ? x ? 在 ? 0, ? 和 ? ? 数;………7 分 ②当 a ? ?2 时, f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是减函数;………………………8 分 ③当 a ? ?2 时, f ? x ? 在 ?

? ?

1? 2?

? 1 ? ?1 1? , ?? ? 上 是 减 函 数 , 在 ? , ? ? 上 是 增 函 ? a ? ?2 a?

1? ?1 ? ? ? 1 1? , ?? ? 和 ? 0, ? ? 上是减函数,在 ? ? , ? 上是增函数.9 分 a? ?2 ? ? ? a 2?

(3)当 ?3 ? a ? ?2 时,由(2)可知 f ? x ? 在 ?1,3? 上是减函数,…10 分 ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ?1? ? f ? 3? ?

2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 . ……………… 11 分 3

由 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 对任意的 a ? ? ?3, ?2? , x1, x2 ??1,3? 恒成立, ∴ ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? max 即 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? 即 m ? ?4 ? ………………… 12 分

2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 对任意 ?3 ? a ? ?2 恒成立, 3

2 对任意 ?3 ? a ? ?2 恒成立, …………… 13 分 3a 13 13 2 38 ? ?4 ? ? ? ,∴ m ? ? . …………… 14 分 由于当 ?3 ? a ? ?2 时, ? 3 3 3a 9


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