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贵州省遵义市航天高级中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)


贵州省遵义市航天高级中学 2014-2015 学年高二上学期期末数学 试卷(理科)
一、选择题(共 12 大题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={x∈R|x ≤4},B={x∈N| ≤3},则 A∩B() A.(0,2] B. C.{1,2} D.{0,1,2} 2. (5 分)若 p:α= A.充分非必要条件 C. 非充分非必要条件 ,q

:cos( +α)= ,那么 p 是 q 的() B. 必要非充分条件 D.充要条件
2

3. (5 分)在边长为 3 的正方形 ABCD 内任取一点 P,则 P 到正方形四边的距离均不小于 1 的概率为() A. B. C. D.

4. (5 分)已知 A. B.

, C.

,且 ∥ ,则锐角 α 的大小为() D.

5. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是 B1B,B1C1,CD 的中 点,则 MN 与 D1P 所成角的余弦值为()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)已知圆心在点 P(﹣2,3) ,并且与 y 轴相切,则该圆的方程是() 2 2 2 2 2 A.(x﹣2) +(y+3) =4 B.(x+2) +(y﹣3) =4 C. (x﹣2) + 2 2 2 (y+3) =9 D. (x+2) +(y﹣3) =9 7. (5 分)已知 0<a<1,b>1 且 ab>1,则 M=loga ,N=logab,P=loga .三数大小关系 为() A.P<N<M

B.N<P<M

C.N<M<P

D.P<M<N

8. (5 分)执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的 a 的值为﹣1.2,第二次输入的 a 的值为 1.2,则第一次、第二次输出的 a 的值分别为()

A.0.2,0.2

B.0.2,0.8

C.0.8,0.2

D.0.8,0.8

9. (5 分)函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 的最小值是() A.1

=2a1,则 +

B. 2

C. 3

D.4

11. (5 分)已知函数 f(x)在区间上连续不断,且 f(1)f(2)f(3)<0,则下列说法正 确的是() A.函数 f(x)在区间或者上有一个零点 B. 函数 f(x)在区间、上各有一个零点 C. 函数 f(x)在区间上最多有两个零点 D.函数 f(x)在区间上有可能有 2014 个零点 12. (5 分)已知函数 y= (x>0)上两点 A1(x1,y1)和 A2(x2,y2) ,其中 x2>x1.过 A1,A2 的直线 l 与 x 轴交于 A3(x3,0) ,那么() A.x1, ,x2 成等差数列 B. x1, ,x2 成等比数列

C. x1,x3,x2 成等差数列

D.x1,x2,x3 成等比数列

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)设函数 f(x)= ,则 f=.

14. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是.

15. (5 分)满足约束条件|x|+2|y|≤2 的目标函数 z=y﹣x 的最小值是. 16. (5 分) 对于定义在 D 上的函数 f (x) , 若存在距离为 d 的两条直线 y=kx+m1 和 y=kx+m2, 使得对任意 x∈D 都有 kx+m1≤f(x)≤kx+m2 恒成立,则称函数 f(x) (x∈D)有一个宽度为 d 的通道.给出下列函数: ①f(x)= ;②f(x)=sinx;③f(x)= 其中在区间 20. (12 分)在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,已知他手拿一黑色小布袋, 袋中有 3 只黄色、3 只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同) ,旁边立着一块小黑板写道: 摸球方法:从袋中随机摸出 3 个球,若摸得同一颜色的 3 个球,摊主送给摸球者 10 元钱; 若摸得非同一颜色的 3 个球,摸球者付给摊主 2 元钱. (Ⅰ)任意摸球一次,求摸球者获得 10 元的概率. (Ⅱ)假定一天中有 200 人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按 30 天计) 能赚多少钱? 21. (12 分)已知函数 f(x)=log9(9 +1)+kx(k∈R)是偶函数 (Ⅰ)求实数 k 的值; (Ⅱ)设 g(x)= x+m(m∈R) ,问是否存在实数 m,使得函数 f(x)的图象恒在函数 g(x) 的图象上方?若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.
x



22. (12 分)中心在坐标原点,其中一个焦点为( 为 F1,F2. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 ?

,0) ,离心率为

椭圆的左、右焦点

的最大值和最小值;

(Ⅲ)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

贵州省遵义市航天高级中学 2014-2015 学年高二上学期 期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 大题,每小题 5 分,共 60 分) 2 1. (5 分)已知集合 A={x∈R|x ≤4},B={x∈N| ≤3},则 A∩B() A.(0,2] B. C.{1,2} D.{0,1,2} 考点: 其他不等式的解法;交集及其运算;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 解分式不等式的解法求得 A,再用列举法求得 B,再根据两个集合的交集的定义求 得 A∩B. 2 解答: 解:集合 A={x∈R|x ≤4}={x|﹣2≤x≤2},B={x∈N| ≤3}={0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9}, 则 A∩B={0,1,2}, 故选 D. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,两个集合的交集的定义和求法,属于中档题.

2. (5 分)若 p:α= A.充分非必要条件 C. 非充分非必要条件

,q:cos(

+α)= ,那么 p 是 q 的() B. 必要非充分条件 D.充要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:由 cos( 若 α= +α)= 得 sinα= ,

,则 sinα= ,成立,

当 α=

时,满足 sinα= ,但 α=

不成立,

即 p 是 q 的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 3. (5 分)在边长为 3 的正方形 ABCD 内任取一点 P,则 P 到正方形四边的距离均不小于 1 的概率为() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 本题考查的知识点是几何概型,我们要根据已知条件,求出满足条件的正方形 ABCD 的面积,及 P 到正方形四边的距离均不小于 1 对应平面区域的面积,代入几何概型 计算公式,即可求出答案. 解答: 解:满足条件的正方形 ABCD,如下图示: 其中满足动点 P 到正方形四边的距离均不小于 1 的平面区域如图中阴影所示: 则正方形的面积 S 正方形=9 阴影部分的面积 S 阴影=1 故 P 到正方形四边的距离均不小于 1 的概率 P= 故选 A. =

点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且 这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据 P= 求解.

4. (5 分)已知 A. B.

, C.

,且 ∥ ,则锐角 α 的大小为() D.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 计算题. 分析: 通过向量的平行的充要条件列出方程,然后求出锐角 α 的大小.

解答: 解:因为 所以 sinαcosα﹣ 即 sin2α=1, 因为 α 是锐角,所以 . =0



,且 ∥ ,

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查向量的平行,三角函数值的求法,考查计算能力. 5. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是 B1B,B1C1,CD 的中 点,则 MN 与 D1P 所成角的余弦值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 通过建立空间直角坐标系, 利用异面直线的方向向量的夹角即可得到异面直线所成 的角的余弦值. 解答: 解:如图所示,建立空间直角坐标系. 不妨设正方体的棱长 AB=2. 则 D(0,0,0) ,P(0,1,0) ,D1(0,0,2) ,M(2,2,1) ,N(1,2,2) . ∴ , .



=

=

=﹣



∴MN 与 D1P 所成角的余弦值为 故选 B.



点评: 熟练掌握通过建立空间直角坐标系利用 异面直线的方向向量的夹角得到异面直线 所成的角的余弦值的方法是解题的关键. 6. (5 分)已知圆心在点 P(﹣2,3) ,并且与 y 轴相切,则该圆的方程是() 2 2 2 2 2 A.(x﹣2) +(y+3) =4 B.(x+2) +(y﹣3) =4 C. (x﹣2) + 2 2 2 (y+3) =9 D. (x+2) +(y﹣3) =9 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 由所求圆与 y 轴相切可得,圆心 P 到 y 轴的距离等于半径,根据 P 点坐标求出 P 到 y 轴的距离,得到圆的半径,由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可. 解答: 解:因为圆心点 P(﹣2,3)到 y 轴的距离为|﹣2|=2,且圆与 y 轴相切, 所以圆的半径为 2, 则该圆的标准方程为: (x+2) +(y﹣3) =4. 故选 B 点评: 此题考查了圆的标准方程, 要求学生会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程. 由 圆与 y 轴相切,根据 P 点横坐标的绝对值求出 P 到 y 轴的距离得到圆的半径是解本题的关 键.
2 2

7. (5 分)已知 0<a<1,b>1 且 ab>1,则 M=loga ,N=logab,P=loga .三数大小关系 为() A.P<N<M

B.N<P<M

C.N<M<P

D.P<M<N

考点: 对数值大小的比较. 专题: 计算题. 分析: 本题利用排除法解决. 0<a<1, b>1 知 M>0. N<0, P=﹣1<0 代入选择支检 (C) , (D)被排除;又 ab>1 通过对数运算可知(A)被排除.从而得出正确选项. 解答: 解:0<a<1,b>1 知 M>0.N<0,P=﹣1<0 代入选择支检(C) , (D)被排除; 又 ab>1?logaab<0?logab+logaa<0 logab<﹣1,即 logab<logb (A)被排除. 故选 B.

点评: 本题考查对数值的大小, 考查对数的运算法则, 考查指数函数和对数函数的性质是 一个知识点比较综合的题目,注意分析题目中的大小关系. 8. (5 分)执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的 a 的值为﹣1.2,第二次输入的 a 的值为 1.2,则第一次、第二次输出的 a 的值分别为()

A.0.2,0.2

B.0.2,0.8

C.0.8,0.2

D.0.8,0.8

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 计算循环中 a 的值,当 a≥1 时不满足判断框的条件,退出循环,输出结果即可. 解答: 解:若第一次输入的 a 的值为﹣1.2,满足上面一个判断框条件 a<0, 第 1 次循环,a=﹣1.2+1=﹣0.2, 第 2 次判断后循环,a=﹣0.2+1=0.8, 第 3 次判断,满足上面一个判断框的条件退出上面的循环,进入下面的循环, 不满足下面一个判断框条件 a≥1,退出循环,输出 a=0.8; 第二次输入的 a 的值为 1.2,不满足上面一个判断框条件 a<0,退出上面的循环,进入下面 的循环, 满足下面一个判断框条件 a≥1, 第 1 次循环,a=1.2﹣1=0.2, 第 2 次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环,输出 a=0.2; 故选 C. 点评: 本题考查循环结构的应用,注意循环的结果的计算,考查计算能力. 9. (5 分)函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称,由此排除 B,然后利用区特 值排除 A 和 C,则答案可求. 解答: 解:因为函数 y=xcosx+sinx 为奇函数,所以排除选项 B, 由当 x= 时, ,

当 x=π 时,y=π×cosπ+sinπ=﹣π<0. 由此可排除选项 A 和选项 C. 故正确的选项为 D. 故选 D. 点评: 本题考查了函数的图象,考查了函数的性质,考查了函数的值,是基础题.

10. (5 分)正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 的最小值是() A.1

=2a1,则 +

B. 2

C. 3

D.4

考点: 基本不等式;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: 根据数列的性质得出 m+n=4, 运用基本不等式 + = (m+n) ( ≥ ×(10+6)=4, (n=3m 等号成立)求解即可. 解答: 解:∵正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5, 6 5 4 ∴q =q +2q , q=2,q=﹣1(舍去) , ∵存在两项 am,an 使得 ∴(a1) ?2 即 m+n=4,
2 m﹣1

) = (10+



=2a1,
2

?2

n﹣1

=4(a1) ,

∴ + = (m+n) (

)= (10+

)≥ ×(10+6)=4, (n=3m 等号成立)

故选:D 点评: 本题考查数列的性质,基本不等式的运用,属于中档题,难度不大. 11. (5 分)已知函数 f(x)在区间上连续不断,且 f(1)f(2)f(3)<0,则下列说法正 确的是() A.函数 f(x)在区间或者上有一个零点 B. 函数 f(x)在区间、上各有一个零点 C. 函数 f(x)在区间上最多有两个零点 D.函数 f(x)在区间上有可能有 2014 个零点 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据函数零点的判断得出①如果函数 f(x)是单调函数,且 f(1)<0,f(2)< 0,f(3)<0,f(x)就无零点,排除 A,B 根据图形 判断 C 不正确,可得答案. 解答: 解:函数 f(x)在区间上连续不断,且 f(1)f(2)f(3)<0, ①如果函数 f(x)是单调函数,且 f(1)<0,f(2)<0,f(3)<0, f(x)就无零点, 故:A,B 不正确. ②如果函数 f(x)不是单调函数,且 f(1)<0,f(2)<0,f(3)<0,

根据图形可知函数 f(x)在区间上有 4 个零点, 故:C 不正确. 所以排除:A,B,C 故选:D. 点评: 本题考查了函数零点的判断方法,考虑全面,结合图形判断求解,属于中档题.

12. (5 分)已知函数 y= (x>0)上两点 A1(x1,y1)和 A2(x2,y2) ,其中 x2>x1.过 A1,A2 的直线 l 与 x 轴交于 A3(x3,0) ,那么() A.x1, ,x2 成等差数列 B. x1, ,x2 成等比数列

C. x1,x3,x2 成等差数列

D.x1,x2,x3 成等比数列

考点: 数列与函数的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 先求出 B1,B2 两点的坐标,进而得到直线 B1B2 的方程,再令 y=0 求出 x3,即可 得出结论. 解答: 解:由题得:A1(x1, ) ,A2(x2, ) ,

∴过 A1,A2 的直线 l 的方程为:y﹣

=

(x﹣x1)?y﹣

=﹣

(x﹣x1) .

令 y=0?x=x1+x2,即 x3=x1+x2, 故选 A. 点评: 本题主要考查直线方程的求法, 点的坐标的求法以及等差关系的确定问题, 是对基 础知识的考查,属于中档题. 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)设函数 f(x)= ,则 f= .

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 先由 中进行求解. 解答: 解:∵ 计算 ,然后再把 与 0 比较,代入到相应的函数解析式

∴ 故答案为: . 点评: 本题主要考查了分段函数的函数值的求解, 解题的关键是计算出 代入到函数的解析式时,要熟练应用对数恒等式 . 后,

14. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是 .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图判断几何体的形状, 画出其直观图, 再根据棱锥的体积公式计 算即可. 解答: 解:根据几何体的三视图判定,几何体为四棱锥,其直观图为: ∴V 棱锥= 故答案是 . = .

点评: 本题考查由几何体的三视图求面积与体积. 15. (5 分)满足约束条件|x|+2|y|≤2 的目标函数 z=y﹣x 的最小值是﹣2. 考点: 简单线性规划. 分析: 作出约束条件对应的平面区域,由 z=y﹣x 可得 y=x+z,则 z 为直线在 y 轴上的截 距,解决越小,z 越小,结合图形可求 解答: 解:作出约束条件对应的平面区域,如图所示 由于 z=y﹣x 可得 y=x+z,则 z 为直线在 y 轴上的截距,截距越小,z 越小 结合图形可知,当直线 y=x+z 过 C 时 z 最小,由 小 故答案为:﹣2 可得 C(2,0) ,此时 Z=﹣2 最

点评: 借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思 想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定. 16. (5 分) 对于定义在 D 上的函数 f (x) , 若存在距离为 d 的两条直线 y=kx+m1 和 y=kx+m2, 使得对任意 x∈D 都有 kx+m1≤f(x)≤kx+m2 恒成立,则称函数 f(x) (x∈D)有一个宽度为 d 的通道.给出下列函数: ①f(x)= ;②f(x)=sinx;③f(x)= 其中在区间 则 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC ∵2asin A=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC 方程两边同乘以 2R ∴2a =(2b+c)b+(2c+b)c 2 2 2 整理得 a =b +c +bc 2 2 2 ∵由余弦定理得 a =b +c ﹣2bccosA 故 cosA=﹣ ,A=120° (Ⅱ)由(Ⅰ)得:sinB+sinC =sinB+sin(60°﹣B) = cosB+ sinB
2



=sin(60°+B) 故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1. 点评: 本题主 要考查了余弦函数的应用.其主要用来解决三角形中边、角问题,故应熟 练掌握. 18. (12 分)已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S7=70,且 a1,a2,a6 成等 比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,数列{bn}的最小项是第几项,并求出该项的值.

考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)根据等差(等比)数列对应的前 n 项和、通项公式和性质,列出关于 a1 和 d 方程,进行求解然后代入通项公式; (Ⅱ)由(Ⅱ)的结果求出 Sn,代入 bn 进行化简后,利用基本不等式求出最小项以及对应 的项数. 解答: 解: (I) 设公差为 d 且 d≠0, 则有 , 即 ,

解得



(舍去) ,

∴an=3n﹣2. (II)由(Ⅱ)得, = ,

∴bn= 当且仅当 3n=

=

=3n+

﹣1≥2

﹣1=23,

,即 n=4 时取等号,

故数列{bn}的最小项是第 4 项,该项的值为 23. 点评: 本题是数列与不等式结合的题目,考查了等差(等比)数列对应的前 n 项和、通项 公式和性质等,注意利用基本不等式求最值时的三个条件的验证. 19. (12 分)如图,在四棱锥 E﹣ABCD 中,矩形 ABCD 所在的平面与平面 AEB 垂直,且 ∠BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H 分别为 BE,AE,BC 的中点 (Ⅰ)求证:DE∥平面 FGH; (Ⅱ)若点 P 在直线 GF 上, =λ ,且二面角 D﹣BP﹣A 的大小为 ,求 λ 的值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;证明题;空间角. 分析: (Ⅰ)欲证明 DE∥平面 FGH,先找直线与直线平行,即在平面 FGH 内找一条直 线与直线 DE 平行.因此,取 AD 得中点 M,连接 GM,可证出 MG∥DE,结合线面平行的 判定定理可得 DE∥平面 FGH; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,根据题中数据得出相应点的坐标进而得到 用垂直向量数量积为零的方法,求出 =(5﹣2λ, ,2 、 的坐标,利

)是平面 BDP 的一个法向量, ,利用空间

结合 =(0,0,1)是平面 ABP 的一个法向量和二面角 D﹣BP﹣A 的大小为 向量的夹角公式建立关于 λ 的方程,解之可得实数 λ 的值. 解答: 解: (Ⅰ)证明:取 AD 的中点 M,连接 MH,MG. ∵G、H、F 分别是 AE、BC、BE 的中点, ∴MH∥AB,GF∥AB, ∴MH∥GF,即 G、F、H、M 四点共面,平面 FGH 即平面 MGFH,

又∵△ADE 中,MG 是中位线,∴MG∥DE ∵DE?平面 MGFH,MG?平面 MGFH, ∴DE∥平面 MGFH,即直线 DE 与平面 FGH 平行. (Ⅱ)在平面 ABE 内,过 A 作 AB 的垂线,记为 AP,则 AP⊥平面 ABCD. 以 A 为原点,AP、AB、AD 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立建立空间直角坐标系 A﹣xyz, 如图所示. 可得 A(0,0,0) ,B(0,4,0) ,D(0,0,2) ,E(2 ,﹣2,0) ,G( ,﹣1,0) , F( ,1,0) ∴ 由 =(0,2,0) , =λ =(0,﹣4,2) , = + =( =( ,﹣5,0) . ,2λ﹣5,0) .

=(0,2λ,0) ,可得

设平面 PBD 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ,取 y= ,得 z=2 ,x=5﹣2λ,

∴ =(5﹣2λ,

,2

) ,

又∵平面 ABP 的一个法向量为 =(0,0,1) , ∴cos< >= = =cos = ,解之得 λ=1 或 4

即 λ 的值等于 1 或 4.

点评: 本题在特殊四棱锥中证 明线面平行,并求满足二面角 D﹣BP﹣A 的等于

的点 P

的位置.着重考查了线面平行的判定定理,利用空间坐标系研究二面角大小等知识点,属于 中档题. 20. (12 分)在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,已知他手拿一黑色小布袋, 袋中有 3 只黄色、3 只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同) ,旁边立着一块小黑板写道: 摸球方法:从袋中随机摸出 3 个球,若摸得同一颜色的 3 个球,摊主送给摸球者 10 元钱; 若摸得非同一颜色的 3 个球,摸球者付给摊主 2 元钱.

(Ⅰ)任意摸球一次,求摸球者获得 10 元的概率. (Ⅱ)假定一天中有 200 人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按 30 天计) 能赚多少钱? 考点: 离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)任意摸球一次,摸球者获得 10 元包含两种情况:摸到的三个球全是黄色球 或摸到的三个球全是白色球,由此能求出摸球者获得 10 元的概率. (Ⅱ)先列举出所有的事件共有 20 种结果,根据摸得同一颜色的 3 个球,摊主送给摸球者 10 元钱;若摸得非同一颜色的 3 个球,摸球者付给摊主 2 元钱,算一下摸出的球是同一色 球的概率,估计出结果. 解答: 解: (Ⅰ)任意摸球一次,摸球者获得 10 元包含两种情况: 摸到的三个球全是黄色球或摸到的三个球全是白色球, ∴摸球者获得 10 元的概率: P= = .

(Ⅱ)事件 A={摸出的 3 个球为同一颜色}={摸出的 3 个球为白球或摸出的 3 个球为黄球}, P(A)= = ,

假定一天中有 200 人次摸奖, 由摸出的 3 个球为同一颜色的概率可估计事件 A 发生有 20 次,不发生 180 次. 则一天可赚 180 ×2﹣20×10=160,每月可赚 160×30=4800 元. 点评: 本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题, 解题时要认真审题,在历年 2015 届高考中都是必考题型之一. 21. (12 分)已知函数 f(x)=log9(9 +1)+kx(k∈R)是偶函数 (Ⅰ)求实数 k 的值; (Ⅱ)设 g(x)= x+m(m∈R) ,问是否存在实数 m,使得函数 f(x)的图象恒在函数 g(x) 的图象上方?若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)因为 f(x)为偶函数,所以 f(﹣x)=f(x)代入,求得 k 的值即可; x (Ⅱ)函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)的图象上方,从而 f(x)﹣g(x)=log9(9 +1) x ﹣x﹣m>0 恒成立,设 F(x)=log9(9 +1)﹣x,求出函数 F(x)的最小值,进而可求实 数 b 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)因为 y=f(x)为偶函数, 所以?x∈R,f(﹣x)=f(﹣x) , 即 log9(9 +1)﹣kx=log9(9 +1)+kx 对于?x∈R 恒成立. 即 2kx=log9(9 +1)﹣log9(9 +1)=log9(
﹣x ﹣x

x

x

x

)﹣log9(9 +1)﹣x 恒成立

x

∴(2k+1)x=0 恒成立, ∵x 不恒为零, ∴k=﹣ . (Ⅱ)∵g(x)= x+m,f(x)=log9(9 +1)﹣ x ∵函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)的图象上方 ∴f(x)﹣g(x)=log9(9 +1)﹣x﹣m>0 恒成立, x ∴m<log9(9 +1)﹣x 恒成立, 设 F(x)=log9(9 +1)﹣x=log9(9 +1)﹣log99 =log9( 任取 x1、x2∈R,且 x1<x2,则 0< < ,
x x x x x

+1)

于是 log9(

+1)>log9(

+1)

,即 F(x1)>F(x2) , 所以 F(x)在(﹣∞,+∞)是单调减函数. ∵ +1>1, +1)>0

∴F(x)=log9( ∴m≤0

故 m 的取值范围是(﹣∞,0]. 点评: 本题重点考查函数的性质, 考查函数与方程的关系, 解题的关键是正确运用偶函数 的定义,合理将问题进行等价转化,属于中档题

22. (12 分)中心在坐标 原点,其中一个焦点为( 为 F1,F2. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 ?

,0) ,离心率为

椭圆的左、右焦点

的最大值和最小值;

(Ⅲ)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)根据椭圆的定义求得椭圆方程. (Ⅱ)根据题意,求出 a,b,c 的值 ,然后设 P 的坐标,根据 PF1?PF2 的表达式,按照一元 二次函数求最值方法求解. (Ⅲ)设出直线方程,与已知椭圆联立方程组,运用设而不求韦达定理求出根的关系,求出 k 的取值范围.

解答: 解: (Ⅰ)∵其中一个焦点为( ∴a=2,b=1 ∴椭圆方程为 (Ⅱ)由题意易知,焦点为( 则

,0) ,离心率为

,∴c=





,0) , (﹣

,0) ,设 P(x,y) , =

因为 x∈, 故当 x=0,即点 P 为椭圆短轴端点时, 有最小值﹣2 当 x=±2,即点 P 为椭圆长轴端点时, 有最大值 1 (Ⅲ)显然直线 x=0 不满足题设条件, 可设直线 l:y=kx+2,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立 ,消去 y,整理得:



由△ =

得:





又 0°<∠AOB<90°?;cos∠AOB>0cos∠AOB>0? ∴ 又 y1y2=(kx1+2) (kx2+2) 2 =k x1x2+2k(x1+x2)+4 =

∵ 即 k <4,∴﹣2<k<2② 故由①、②得:
2

或 点评: 本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识,以及综合应用数学知识 解决问题及推理计算能力.本题为中档题,需要熟练运用设而不求韦达定理.


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