全国卷三视图与立体几何专题(含答案)

三视图与立体几何部分
1.（2014 年全国新课标卷Ⅰ第 8 题）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一 个几何体的三视图，则这个几何体是（ A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 ）

D.四棱柱

2.（2014 年全国新课标卷Ⅰ第 19 题）(本题满分 12 分) 如 图 ， 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中

， 侧 面 BB1C1C 为 菱 形 ， B1C 的 中 点 为 O ， 且

AO ? 平面BB1C1C .
(Ⅰ)证明： B1 C ? AB ( Ⅱ ) 若 AC ⊥ AB 1 ， ∠ CBB 1 =60 °， BC=1 ， 求 三 棱 柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的 高 ．

3．（2014 年全国新课标卷Ⅱ第 6 题）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯 切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ A. ）

17 27

B.

5 9

C.

10 27

D.

1 3

4. （2014 年全国新课标卷Ⅱ第 7 题） 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 2 ， 侧棱长为 3 ，

D 为 BC 中点，则三棱锥 A ? B1 DC1 的体积为(
A. 3 B.

)

3 2

C. 1

D.

3 2

5.（2014 年全国新课标卷Ⅱ第 18 题）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA ? 平面 ABCD ， E 是 PD 的中点. (1)证明： PB //平面 AEC ； (2)设 AP ? 1 AD ? 3 ，三棱锥 P ? ABD 的体积 V ?

3 ，求 A 到平面 PBC 的距离. 4

6.（2013 年全国新课标第 9 题）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分 别是（1,0,1），（1,1,0），（0,1,1），（0,0,0），画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为 （ ）

7.（2013 年全国新课标第 15 题）、已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为

3 2 ，底面边长为 2

3 ，则以 O 为球心， OA 为半径的球的表面积为

.

D，E 分别是 AB，BB1 8. （2013 年全国新课标第 18 题） 如图， 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中，
的中点. (I)证明： BC1 // 平面A1CD ; (Ⅱ)设 AA ，AB ? 2 2 ,求三棱锥 C ? A1 DE 的体积. 1 ? AC ? CB ? 2

9.（2014 年全国新课标Ⅰ第 11 题）、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )

A.

16 ? 8?

B. 8 ? 8?

C. 16 ? 6?

D. 8 ? 16?

10.（2013 年全国新课标Ⅰ第 15 题）已知 H 是球 O 的直径 AB 上的一点，AH:HB=1:2，

AB ? 平面? ，H 为垂足， ? 截球 O 所得截面的面积为 ? ，则球 O 的表面积为

11.（2013 年全国新课标Ⅰ第 19 题）如图，三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中，
? CA ? CB，AB ? AA1，?BAA 1 ? 60 .

( I ) 证明： AB ? A1C ; (Ⅱ)若 AB ? CB ? 2，A1C ? 6 ,求三棱柱的 ABC ? A1 B1C1 体积.

12.（2014 年全国新课标Ⅱ第 7 题） 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是 某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

A.6 B.9 C.12 D.18 13.（2012 年全国新课标第 8 题）平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 ? 的距离为 2 ，则此球的体积为 A. （ ） B. 4 3? D. 6 3?

6?

C. 4 6?

14.（2012 年全国新课标第 19 题）如图，在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中，侧棱垂直于底面，

?ACB ? 90 ? ，AC ? BC ?

1 AA1 ，D 是棱 AA1 的中点. 2

(I)证明： 平面BDG1 ? 平面BDC ; (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

15.（2011 年全国新课标第 8 题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所 示， 则相应的俯视图可以为

16．（2011 年全国新课标第 16 题） 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底 面的圆周都在同一球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .

3 ， 则这两个圆锥中， 体 16

17.（2011 年全国新课标第 18 题） 如图，四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD 为平行 四边形， ?DAB ? 60 ，AB ? 2 AD，PD ? 底面ABCD. ,
?

（I）证明： PA ? BD ; (Ⅱ)设 PA ? AD ? 1,求棱锥 D ? PBC 的高.

18.（2010 年全国新课标第 7 题）设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个 球面上，则该球的表面积为 A. 3?a
2

B. 6?a

2

C. 12?a

2

2 D. 24?a

19.（2010 年全国新课标第 15 题）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个 几何体可能 是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 20. （ 2010 年全国新课标第 18 题）如图，已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为等腰梯形， AB // CD，AC ? BD ,垂足为 H ， PH 是四棱锥的高. （Ⅰ）证明： 平面PAC ? 平面PBD ; （Ⅱ）若 AB ?

6，?APB ? ?ADB ? 60? ,求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

1.B【命题立意】本题考查三视图等基础知识，意在考查考生空间想象能力，难度中度. 【解题思路】原几何体为如图所示的三棱柱，故选 B.

2.解： (Ⅰ)连接 BC1 ，则 O 为 B1C 与 BC1 的交点.因为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1C ? BC1 . 又 AO ? 平面BB1C1C ， 所以 B1C ? AO ， 故 故 B1C ? 平面ABO .由于 AB ? 平面ABO ，

B1C ? AB

（6 分）

(Ⅱ)作 OD ? BC ，垂足为 D ，连接 AD .作

OH ? AD ， BC ? OD ， 垂足为 H . 由于 BC ? AO ， 故 BC 平面 AOD ， 所以 OH ? BC .
? 又 OH ? AD ，所以 OH 平面 ABC .因为 ?CBB1 ? 60 ，所以 ?CBB1 为等边三角形，又

BC ? 1 ，可得 OD ?

1 1 3 .由于 AC ? AB1 ，所以 OA ? B1C ? . 2 2 4

由 OH ? AD ? OD ? OA ，且 AD ?

OD 2 ? OA2 ?

7 21 ，得 OH ? 4 14 21 ,故三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的距 7
(12 分)

又 O 为 B1C 的中点，所以点 B1 到平面 ABC 的距离为

离为

21 . 7

3.C【命题立意】本题考查了三视图，空间几何体的体积计算，意在考查三视图与直观图的 转换所体现的空间想象能力，难度中等. 【解题思路】几何体的直观图为“螺栓”.切削部分的体积为 ? ? 3 ? 4 ? ? ? 2 ? 4 ，所以比
2 2

值为

? ? 3 2 ? 4 ? ? ? 2 2 ? 4 10 ? ，故选 C. 27 ? ? 32 ? 6

4.C【命题立意】本题考查空间几何体的体积计算，侧重考察利用割补法求体积，难度中等. 【解题思路】取 B1C1 的中点 E ，截面 ADE 的面积为 S ? 积为 V ?

1 3 3 ? 3 ? ，所以所求的体 2 2

1 1 3 S ? B1C1 ? ? ? 2 ? 1 ，故选 C. 3 3 2

5.解： （I）证明：设 BD 与 AC 的交点为 O ，连结 EO . 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点，又 E 为 PD 的中点，所以 EO // PB . EO ? 平面 AEC ， PB ? 平面 AEC , 所以 PB ∥平面 AEC .

（Ⅱ）V ?

1 3 PA ? AB ? AD ? AB . 6 6

由V ?

3 3 ，可得 AB ? . 2 4

作 AH ? PB 交 PB 于 H . 由题设知 BC ? 平面 PAB ，所以 BC ? AH ，故 AH ? 平面 PBC . 又 AH ?

PA ? AB 3 13 ? . PB 13

所以 A 到平面 PBC 的距离为

3 13 . 13

6.A【命题立意】本题考查空间直角坐标系下几何体的建构及其对应的三视图的作图问题， 难度中等. 【解题思路】如图所示，点 A1 (1 ， 0， 1)，B(1 ， 1 ， 0)，C1 (0， 1 ， 1)，D(0， 0， 0) ，此四点恰为正方体

A1 B1C1 D1 ? ABCD 的四个顶点，此四点构成了一个棱长为 2 的正四面体，该正四面体的

投影面 zOx 上的正视图为正方形 A1 D1 DA ,故应选 A.

7. 24? 【命题立意】本题考查正四棱锥的体积计算及球的表面积计算，体现了空间想象能 力的应用，难度中等. 【解题思路】如图所示，由 VO ? ABCD ?

1 1 AB2 ? ON ? ? 3 3

? 3 ? ? ON ? 3 22
2

，可得

ON ?

3 2 2 2 2 ，在 Rt ?ONA 中，由 ON ? NA ? OA ,可得 2
2 2

?3 2 ? ? 6 ? ? ? ? OA ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? 6 ,? 以 OA 为半径的球的表面积 ? ? ? ?
2

S ? 4? ? OA2 ? 4? ? 6 ? 24? .
8.解：（Ⅰ）证明：连接 AC1 交 A1C 予点 F，则 F 为 AC1 的中点.

又 D 是 AB 的中点，连接 DF，则 BC1 // DF . 因为 DF ? 平面A1CD，BC1 ? 平面A1CD , 所以 BC1 // 平面A1CD . (Ⅱ)因为 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱，所以 AA1 ? CD .

CD ? AB . 由已知 AC ? CB，D为AB中点，所以
又 AA CD ? 平面ABB1 A1 . 1 ? AB ? A，于是 由 AA ，AB ? 2 2得?ACB ? 90? , 1 ? AC ? CB ? 2

CD ? 2，A1 D ? 6，DE ? 3，A1 E ? 3 ，
A1 D 2 ? DE 2 ? A1 E 2，即DE ? A1 D .
所以 VC ? A1DE ?

1 1 ? ? 6 ? 3 ? 2 ? 1. 3 2

9.A【命题立意】本题考查了三视图及其对应的几何体的体积计算问题，体现了空间想象能 力的实际应用，难度较大. 【解题思路】由三视图可得，该几何体是由一个底面圆半径为 2，高为 4 的圆柱体的一般与 一个底面正方形边长为 2，高为 4 的正四棱柱组成的组合体，∴其体积

1 V ? ? ? 2 2 ? 4 ? 2 2 ? 4 ? 16 ? 8? ，故应选 A. 2
【易错点拨】由三视图回溯几何体的原型是一个难点，也是一个易错点，解决此类问题应当 从俯视图入手，结合另两个视图综合想象原直观图的组合关系. 10.

9 ? 【命题立意】本题考查了球及球的表面积计算问题，难度较大. 2
2 R ,在 3

【解题思路】如图所示，设球 O 的直径为 2R ，则由 AH : HB ? 1 : 2 ,可得 AH ?

9 2 R 8 8 9 9 9 由? ? CH 2 ? ?R 2 ? ?，可得 R 2 ? ， ? 球O的表面积 S ? 4?R 2 ? 4? ? ? 9 8 8 2
Rt ?OCH 中 CH 2 ? OC 2 ? OH 2 ?

11.解： （Ⅰ）取AB的中点O， 连接OC，OA1，A1 B . 因为CA ? CB，所以OC ? AB. 由
? 于 AB ? AA 故 ?AA1 B 为等边三角形，所以 OA1 ? AB .因为 1，?BAA 1 ? 60 ，

OC ? OA1 ? O ,所以 AB ? 平面OA1C .又 A1C ? 平面OA1C ,故 AB ? A1C (6 分)

(Ⅱ)由题设知 ?ABC与AA1 B 都是边长为 2 的等边三角形，所以 OC ? OA1 ? 3 ,又
2 A1C ? 6 ，则 A1C 2 ? OC 2 ? OA1 ,故 OA1 ? OC ,因为 OC ? AB ? O ,所以

OA1 ? 平面ABC , OA1 为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的高.又 ?ABC 的面积 S ?ABC ? 3 ,故三
棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 V ? S ?ABC ? OA1 ? 3 . （12 分）

12.B【命题立意】本题考查三视图及空间几何体的体积求解，考生是否具有一定空间想象能 力将图形还原（包含数量关系及位置关系）是命题立意所在，难度较小. 【解题思路】据三视图可知三棱锥底面是腰长为 3 2 的等腰直角三角形，棱锥的高为 3，故 体积为 V ?

1 1 ? ? 3 2 ? 3 2 ? 9 ,故选 B. 3 2

13.B【命题立意】本题考查球的性质应用及球的体积公式，难度较小. 【解题思路】由于球心与截面圆心的连线垂直于截面 ? ，故球的半径

R ? r 2 ? d 2 ? 12 ?

? 2?

2

? 3 ，因此体积 V ?

4 ? 3

? 3?

2

? 4 3? ,故选 B.

14.解：(I)证明：由题设知 BC ? CC1，BC ? AC，CC1 ? AC ? C， 所以

BC ? 平面ACC1 A1 .又 DC1 ? 平面ACC1 A1，所以DC1 ? BC .

由题设知 ?A1 DC1 ? ?ADC ? 45? ， 所以 ?CDC1 ? 90? ，即DC1 ? 平面BDC . 又 DC ? BC ? C，所以DC1 ? 平面BDC. 又

DC1 ? 平面BDC.1，故平面BDC1 ? 平面BDC .
(Ⅱ)设棱锥 B ? DACC1 的体积为 V1，AC ? 1 . 又题意得 V1 ?

(6 分)

1 1? 2 1 ? ? 1? 1 ? 。 3 2 2

又三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 V ? 1 ，所以 （V ? V1 ) : V1 ? 1 : 1 . 故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分的体积之比为 1:1. (12 分)

15.D 【命题立意】本题考查三视图，考查空间想象能力. 【解题思路】 由三视图可知该几何体是一个三棱锥和半个圆锥构成的几何体， 所以其侧 视图可以是 D. 16.

1 【命题立意】本题考查圆锥内接于球的问题，考查空间想象能力. 3

【解题思路】如图，设圆锥底面圆 A 的半径为 r,O 为球心，球 O 的半径为 R，OA ? x ，

?r 2 3 3 ? R ， 又 由 勾 股定 理 得 x 2 ? y 2 ? R 2 , 得 则 由 题 意可 知 ， 解 得 r ?? 2 16 2 4?R
1 R 1 R?x 1 2 x ? R ，所以体积较小的高与体积较大的高的比等于 ? ? . 1 2 R?x 3 R? R 2 R?
17.解：（Ⅰ）因为 ?DAB ? 60 ，AB ? 2 AD ,由余弦定理得 BD ?
?

3 AD .从

而 BD ? AD ? AB , 故BD ? AD .
2 2 2

(3 分)

又 PD ? 底面ABCD, 可得 BD ? PD . 所以 BD ? 平面PAD ,故 PA ? BD . (Ⅱ)如图，作 DE ? PB ,垂足为 E, (6 分)

已知 PD ? 底面ABCD ,则 PD ? BC .

由（I）知 BD ? AD, 又BC // AD，所以BC ? BD . 故 BC ? 平面PBD，BC ? DE . 则 DE ? 平面PBC . 由题设知 PD ? 1 ，则BD ? 3，PB ? 2 . 根据 DE ? PB ? PD ? BD得DE ? （9 分）

3 2
（12 分）

即棱锥 D ? PBC 的高

3 . 2

18.B【命题立意】本题考查组合体知识及球的表面积求解. 【解题思路】 据题意可得长方体的对角线即球的直径， 即 2R ?

?2a ?2 ? ?a 2 ? a 2

? 6a ，

? 6a ? 2 ? 故球的表面积 S ? 4?R ? 4? ? ? 2 ? ? 6?a ,故选 B. ? ?
2

2

19.①②③⑤【命题立意】本题考查三视图及空间想象能力. 【解题思路】空间想象易知三棱锥、四棱锥、三棱柱、圆锥的正视图均可能是三角形. 【易错点】注意观察的角度不同，正视图的形状就会发生变化，本题不可思维定式. 20.解： （Ⅰ） 因为 PH 是四棱锥 P ? ABCD 的高， 所以 AC ? PH .又 AC ? BD , PH，BD 都在平面 PBD 内，且 PH ? BD ? H ,所以 AC ? 平面PBD,故 平面PAC ? 平面PBD . (Ⅱ)因为 ABCD 为等腰梯形， AB // CD，AC ? BD，AB ?
?

6, 6，HD ? HC ? 1 ,

所以 HA ? HB ? 3 ,因为 ?APB ? ?ADB ? 60 ， 所以 PA ? PB ? 可得 PH ? 3 ，等腰梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 AC ? BD ? 2 ? 3 . 2

所以四棱锥的体积为 V ?

1 3? 2 3 ? 2? 3 ? 3 ? . 3 3

?

?