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专题二 质数、合数和分解质因数(学生)


专题二
一、基本概念和知识 1.质数与合数

质数、合数和分解质因数

一个数除了 1 和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。 一个数除了 1 和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。 要特别记住:1 不是质数,也不是合数。 2 是最小的质数, 也是唯一的偶质数;3 是最小的奇质数。 0 是最小的自然数,也是偶数,有理数,既不是质数也不是合数。 100 以内的质数: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

53 59 61 67 71

73 79 83 89 97

2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 例:把 30 分解质因数。 解:30=2×3×5。 其中 2、3、5 叫做 30 的质因数。 又如 12=2×2×3=22×3,2、3 都叫做 12 的质因数。

二、例题 例 1 三个连续自然数的乘积是 210,求这三个数.

例 2 两个质数的和是 40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?

例 3 自然数 123456789 是质数,还是合数?为什么?

例 4 连续九个自然数中至多有几个质数?为什么?

例 5 把 5、6、7、14、15 这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。

例 6 有三个自然数, 最大的比最小的大 6, 另一个是它们的平均数, 且三数的乘积是 42560. 求这三个自然数。

例 7 有 3 个自然数 a、b、c.已知 a×b=6,b×c=15,a×c=10.求 a×b×c 是多少?

例 8 一个整数 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数.求 a 的最小值与这个平方数。

例 9 问 360 共有多少个约数?

例 10 求 240 的约数的个数。

例 11 的.

有人说:“任何 7 个连续整数中一定有质数.”请你举一个例子,说明这句话是错

例 12

从小到大写出 5 个质数,使后面的数都比前面的数大 12.

例 13

9 个连续的自然数,它们都大于 80,那么其中质数最多有多少个?

例 14

用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字组成质数,如果每个数字都要用到并

且只能用一次,那么这 9 个数字最多能组成多少个质数?

例 15

已知一个两位数除 1477,余数是 49.求满足这样条件的所有两位数.

例 16

某校师生为贫困地区捐款 1995 元.这个学校共有 35 名教师,14 个教学班.各班

学生人数相同且多于 30 人不超过 45 人.如果平均每人捐款的钱数是整数,那么平均每人 捐款多少元?

例 17

已知两个数的和被 5 除余 1,它们的积是 2924,那么它们的差等于多少?

例 18

在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶),或者是不超过 10 的自

然数.甲、乙两名运动员各射了 5 箭,每人 5 箭得到的环数的积都是 1764,但是甲的总环 数比乙少 4 环.求甲、乙的总环数各是多少?

例 19

如果两数的和是 64,两数的积可以整除 4875,那么这两个数的差等于多少?

【跟踪训练】 1.边长为自然数,面积为 105 的形状不同的长方形共有多少种? 2.11112222 个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多 1 个. 这个长方阵每一横行有多少个棋子? 3.五个相邻自然数的乘积是 55440,求这五个自然数。 4.自然数 a 乘以 338,恰好是自然数 b 的平方.求 a 的最小值以及 b。 5.求 10500 的约数共有多少个?


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