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3-3走向高考数学章节


第3章

第3节

一、选择题 1.(2010·山东理)由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( 1 A. 12 1 C. 3 [答案] A
2 ? ?y=x [解析] 由? 3 得交点为(0,0),(1,1). ?y=x ?

)

1 B. 4 7 D. 12

1 3 1 4 1 ∴S=?1(x2-x3)dx= ?3x -4x ??01= . ? ?? 12 ?
0

2.已知 f(x)为偶函数且?6f(x)dx=8,则?6-6f(x)dx 等于(

?0

?

)

A.0 C.8 [答案] D [解析] ∵原函数为偶函数, ∴在 y 轴两侧的图像对称. ∴对应的面积相等. 原式=2?6f(x)dx=8×2=16.

B.4 D.16

?0

3.(2011·沈阳)由三条直线 x=0,x=2,y=0 和曲线 y=x3 所围成的图形的面积为( A.4 18 C. 5 [答案] A x4 [解析] S=?2x3dx= 4 ?02=4. ? ?
0

)

4 B. 3 D.6

1 4.若?a?2x+x?dx=3+ln2,则 a 的值为( ? ?

?1

)

A.6 C.3

B.4 D.2

[答案] D 1 [解析] ∵?a?2x+x?dx=(x2+lnx)|1a ? ?

?1

=a2+lna-(12+ln1)=a2+lna-1=3+ln2 ∴a=2. 5.函数 F(x)=?x t(t-4)dt 在[-1,5]上(

?0

)

A.有最大值 0,无最小值 32 B.有最大值 0 和最小值- 3 32 C.有最小值- ,无最大值 3 D.既无最大值也无最小值 [答案] B [解析] F′(x)=x(x-4) 令 F ′(x)=0,得 x1=0,x2=4, 7 ∵F(-1)=- ,F(0)=0, 3 32 25 F(4)=- ,F(5)=- . 3 3 ∴最大值为 0,最小值为- 32 . 3 )

6.用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是( A.?c f(x)dx

?a

B.|?c f(x)dx|

?a

C.?bf(x)dx+?c f(x)dx

?a

?b

D.?c f(x)dx-?bf(x)dx

?b

?a

[答案] D [解析] 由定积分的几何意义知: x 轴上方的阴影部分的面积为?c f(x)dx, 在 则在 x 轴下

?b

方的阴影部分, 由于 f(x)<0,故?bf(x)dx<0,

?a

所以其面积应为-?bf(x)dx.

?a

因此,总面积为?c f(x)dx-?bf(x)dx.

?b

?a

?|x|, x≤0, ? 7. 已知力 F 和物体移动方向相同, 而且与物体位置 x 有如下关系: F(x)=? 2 ? ?x +1, x>0.

那么力 F 使物体从 x=-1 点运动到 x=1 点做功大小为( A.0 5 C. 6 [答案] B [解析] ?1-1F(x)dx=?0-1|x|dx+?1(x2+1)dx ? ? ?
0

)

11 B. 6 D.1

=?0-1(-x)dx+? (x +1)dx

?

?0

1

2

1 1 11 = (-1)2+ ×13+1= . 2 3 6
?x2 x∈(-∞,1], ? 则?2f(x)dx=( 8.设 f(x)=? ? ?0 ?2-x x∈[1,+∞),

)

3 A. 4 5 C. 6 [答案] C [解析] 如图,

4 B. 5 D.不存在

? f(x)dx=? x dx+? (2-x)dx ?0 ?0 ?1
1 2 1 = x3|01+ ?2x-2x ??12 ? ?? 3 1 1 5 = + = . 3 2 6 二、填空题 9.?3-4|x+2|dx=________.

2

1 2

2

?

[答案]

29 2

29 [解析] 原式=?-2(-x-2)dx+?3-2(x+2)dx= . 2 ? ?
-4

10.一物体以初速度 v=9.8t+6.5m/s 的速度自由落下,则下落后第二个 4s 内经过的路

程是________. [答案] 261.2m [解析] ?8(9.8t+6.5)dt=(4.9t2+6.5t)|48 ?
4

=4.9×64+6.5×8-4.9×16-6.5×4 =313.6+52-78.4-26=261.2. 11.如果?1f(x)dx=1,?2f(x)dx=-1,则?2f(x)dx=________.

?0

?0

?1

[答案] -2 [解析] ∵?1f(x)dx+?2f(x)dx=?2f(x)dx,

?0

?1

?0

∴?2f(x)dx=?2f(x)dx-?1f(x)dx=-1-1=-2.

?1

?0

?0

三、解答题 12.求下列定积分:

13.已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f ′(0)=0,?1f(x)dx=-2,

?0

(1)求 f(x)的解析式;

(2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. [解析] (1)设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0), 则 f ′(x)=2ax+b. 由 f(-1)=2,f ′(0)=0,得
? ? ?a-b+c=2 ?c=2-a ? ,即? ,∴f(x)=ax2+(2-a). ?b=0 ?b=0 ? ?

1 2 又?1f(x)dx=?1[ax2+(2-a)]dx=[ ax3+(2-a)x]|01=2- a=-2,∴a=6,从而 f(x)= 3 3 ? ?
0 0

6x2-4. (2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1]. ∴当 x=0 时,f(x)min=-4; 当 x=±1 时,f(x)max=2. 14.如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值.

[解析] 抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1, 所以,抛物线与 x 轴所围图形的面积

1 = (1-k)3. 6 1 1 又知 S= ,所以(1-k)3= , 6 2 3 于是 k=1- 4 . 2

15.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f ′(x)=2x+2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积.

(3)若直线 x=-t (0<t<1),把 y=f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值. [解析] (1)设 f(x)=ax2+bx+c,则 f ′(x)=2ax+b, 又已知 f ′(x)=2x+2,∴a=1,b=2, ∴f(x)=x2+2x+c. 又方程 f(x)=0 有两个相等的实根, ∴判别式 ?=4-4c=0,即 c=1. 故 f(x)=x2+2x+1. (2)依题意,所求面积=?0 (x2+2x+1)dx

? -1

(3)依题意有?-t (x2+2x+1)dx=?0-t(x2+2x+1)dx.

? -1

?

1 1 1 ∴- t3+t2-t+ = t3-t2+t, 3 3 3 ∴2t3-6t2+6t-1=0 ∴2(t-1)3=-1,于是 t=1- 1 3 2 .

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导数复习的关键问题 导数是高中数学的重要内容之一, 又是高中数学的重要工具, 在高考中占有举足轻重的 地位,可以说这部分内容掌握的好坏,直接决定着高考中数学科能不能取得高分.在解答与 此知识点相关的问题时,要注意以下几个关键点: 一、切记函数的定义域 研究函数问题要树立定义域优先的意识,否则解题中极易出错. [例 1] 讨论函数 f(x)=ln(2x+3)+x2 的单调性. [分析] 求出 f(x)的导数后,解不等式即可. 3 [解析] f(x)的定义域为?-2,+∞?. ? ? 4x2+6x+2 2(2x+1)(x+1) 2 +2x= = . f′(x)= 2x+3 2x+3 2x+3

3 当- <x<-1 时,f′(x)>0; 2 1 当-1<x<- 时,f′(x)<0; 2 1 当 x>- 时,f′(x)>0. 2 3 1 1 从而,f(x)分别在区间?-2,-1?,?-2,+∞?上单调递增,在区间?-1,-2?上单调 ? ? ? ? ? ? 递减. [点评] 本题如果没有定义域优先的意识,单从 f′(x)= 3 1 调减区间写成?-∞,-2?和?-1,-2?. ? ? ? ? 二、清晰理解导数的定义 从三个方面理解导数的定义: 1.函数 f(x)在某一点 x0 处的导数: f′(x0)= lim →
?x 0

2(2x+1)(x+1) 来看,极易把单 2x+3

f(x0+?x)-f(x0) . ?x

2.函数 f(x)在开区间(a,b)内的导数:如果函数 f(x)在开区间(a,b)内可导,对于开区 间(a,b)内的每一个 x0,都对应着一个导数 f′(x0),这样 f(x)在开区间(a,b)内构成一个新的 函数,这一新的函数叫作 f(x)在开区间(a,b)内的导函数. 记作 f′(x)=y′= lim →
?x 0

f(x+?x)-f(x) ?y = lim ,导函数也简称为导数. ?x ?x ?x→0

3.导数的定义的等价形式. f′(x0)= lim →
?x 0

f(x0+?x)-f(x0) 的几种等价形式: ?x f(x)-f(x0) f(x0+h)-f(x0) =lim h h→ 0 x-x0

f′(x0)=x→x lim =lim →
h 0

0

f(x0)-f(x0-h) 等. h

[例 2] 已知函数 f(x)中,f′(1)=2,求
?x→0

lim

f(1-2?x)-f(1) . ?x

[分析] 当 ?x→0 时,-2?x→0, 只需将 lim → -2 lim → [解析]
?x 0

f(1-2?x)-f(1) 变形为 ?x

?x 0

f(1-2?x)-f(1) ,即可用导数的定义解决. (-2?x)
?x→0

lim

f(1-2?x)-f(1) ?x

=-2 -lim→

( 2?x) 0

f(1+(-2?x))-f(1) =-2f′(1)=-4. (-2?x)

[点评] 函数在某一点 x0 处的导数, 就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量 的比值在自变量的增量趋近于零时的极限,分子分母中的自变量的增量 ?x 必须保持对应一 1 致,它是非零的变量,它可以是-2?x, ?x 等. 2 三、准确掌握 f(x)取得极值的充要条件 定义域 D 上的可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0,并且 f′(x)在 x0 两侧异号. [例 3] 函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极小值 10,求 a+b 的值. [分析] 先由 f(1)=10,f′(1)=0,列式求出 a、b,再验证在 x=1 两侧的导数是不是异 号. [解析] f′(x)=3x2+2ax+b,
?f′(1)=2a+b+3=0 ? 所以? , 由于函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极小值 10, 2 ? ?f(1)=a+b+a +1=10 ?a=-3 ?a=4 ? ? 解得? 或? . ? ? ?b=3 ?b=-11 ? ?a=-3 当? 时,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2 在 x=1 的左右两侧不变号,所以 x=1 不 ? ?b=3

是函数 f(x)的极小值点;
?a=4 ? 当? 时, ? ?b=-11

f′(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11), 在 x=1 的左侧为负、右侧为正,故 x=1 是函数 f(x)的极小值点,所以 a+b=-7. [点评] f′(x0)=0 只是可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的必要条件,即必须有这个条件, 但只有这个条件还不够,还得 f′(x)在 x0 两侧异号. 四、全面把握函数单调性 1.在某个区间(a,b)上,若 f′(x)>0 ,则 f(x)在这个区间上单调递增;若 f′(x)<0,则 f(x)在这个区间上单调递减;若 f′(x)=0 恒成立,则 f(x)在这个区间上为常数函数;若 f′(x) 的符号不确定,则 f(x)不是单调函数. 2.若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则 f′(x)≥0,反之等号不成立.因为 f′(x) ≥0 即 f′(x)>0 或 f′(x)=0,当 f′(x)>0 时,函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,当 f′(x) =0 时,f(x)在这个区间内为常数函数;同理,若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则 f′ (x)≤0,反之等号不成立. 3.使 f′(x)=0 的离散的点不影响函数的单调性.如 y=x+cosx.

a [例 4] 已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,a∈R)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取 x 值范围. [分析] 只要 f′(x)≥0 在[2,+∞)上恒成立,而只在一些离散的点处为 0 即可. a [解析] f′(x)=2x- 2,要使 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,只需当 x≥2 时,f′(x) x ≥0 恒成立, a 即 2x- 2≥0,则 a≤2x3∈[16,+∞)恒成立, x 故当 a≤16 时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数. [点评] 本题仅在 x= 3 a 处 f′(x)=0. 2

五、充分注意函数的不可导点 有些函数存在不可导点,如果不注意,将会发生错误. [例 5] 已知 a∈R,求函数 f(x)=x2|x-a|的极值点. [分析] 这个函数有一个不可导点 x=a,而且这个点也是函数 f(x)的极值点,在讨论函 数的极值点时把它一起讨论,其余的极值点用导数去处理. [解析] (1)当 a≠0 时,
?x3-ax2 ? f(x)=x |x-a|=? 2 3 ? ?ax -x
2

(x≥a) (x<a)

,作出其草图如下,易知 f(x)有两个(常规)极值点

2a x1=0,x2= ,有一个不可导点 x=a,而且这个点也是函数 f(x)的极值点,借助于图像 3 2a 可知 x=0,x=a 是函数的极小值点,x= 是函数的极大值点. 3
? 3 ?x (2)当 a=0 时,f(x)=x2|x|=? 3 ?-x ?

(x≥0) (x<0)



此时 f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增,x=0 为函数 f(x) 的极小值点,此时函数 f(x)无极大值点. [点评] 函数在某点处有定义时,只要它在该点左右两侧有相反的单调性,这点就是该 函数的极值点. 六、求曲线的切线方程时,千万记住是曲线上某点处的切线(仅有一条),还是过某点的 切线(可能不只一条)

2 [例 6] 已知函数 f(x)=- x3+x2+4x,求过点(0,0)的曲线 y=f(x)的切线方程. 3 [分析] 先用求曲线上某点处切线方程的方法,写出曲线上点(x0,y0)处的切线方程,这 条切线过点(0,0),再确定 x0,y0 的值即可. [解析] f′(x)=-2x2+2x+4,设切点坐标为(x0,y0),则切线的斜率为-2x02+2x0+4, 2 3 2 切线方程为 y-?-3x0 +x0 +4x0?=(-2x02+2x0+4)(x-x0),切线过点(0,0),所以 ? ? 2 3 2 -?-3x0 +x0 +4x0?=(-2x02+2x0+4)(-x0) ? ? 3 ?4x03-3x02=0?x0=0 或 . 4 3 35 当 x0=0 时,切线方程为 y=4x,当 x0= 时,切线方程为 y= x. 4 8 [点评] 点(0,0)虽然也在曲线上,但并不是求仅在这点处的切线方程. 七、用导数解决与正整数 n 有关的问题时,不能直接对 n 求导 1 1 1 [例 7] 证明对任意的正整数 n,不等式 ln?n+1?> 2- 3都成立. ? ? n n 1 1 1 1 [分析] 由于 n 是正整数,故 ∈(0,1],所证的不等式即 3- 2+ln(1+ )>0,构造函数 n n n n f(x)=x3-x2+ln(x+1),只需证明它在(0,1]上大于 0 即可. [解析] 令 f(x)=x3-x2+ln(x+1), 3x3+(x-1)2 则 f′(x)= 在(0,1]上恒正, x+1 ∴f(x)在(0,1]上单调递增,当 x∈(0,1]时,恒有 f(x)>f(0)=0,即当 x∈(0,1]时,有 x3-x2 +ln(x+1)>0,即 ln(x+1)>x2-x3. 1 对任意正整数 n,取 x= ∈(0,1], n 1 1 1 得 ln?n+1?> 2- 3. ? ? n n 1 1 1 [点评] 若令 f(n)= 3- 2+ln?1+n?, 在每一处都不可导, ? ? 则这个函数图像是离散的点, n n 就无法用导数去解决这个问题. 八、树立导数在解决函数问题时的应用意识 [例 8] 已知函数 f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m,是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图像 与 y=g(x)的图像有且只有三个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明 理由. [分析] 由于 x>0, 函数 y=f(x)的图像与 y=g(x)的图像有且只有三个不同的交点?方程 x2-8x+6lnx+m=0 在(0,+∞)上有三个不等的实根?φ(x)=x2-8x+6lnx+m 的图像与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点.结合函数图像的特征即可解决问题.

[解析] 函数 y=f(x)的图像与 y=g(x)的图像有且只有三个不同的交点, 即函数 φ(x)=g(x) -f(x)的图像与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点. ∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m,
2 6 2x -8x+6 ∴φ′(x)=2x-8+ = x x



2(x-1)(x-3) (x>0), x

当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数; 当 x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数; 当 x=1 或 x=3 时,φ′(x)=0. ∴φ(x)极大值=φ(1)=m-7, φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln3-15. ∵当 x 充分接近 0 时,φ(x)<0,当 x 充分大时,φ(x)>0, ∴ 要 使 φ(x) 的 图 像 与 x 轴 正 半 轴 有 三 个 不 同 的 交 点 , 必 须 且 只 需
?φ(x)极大值=m-7>0 ? ? , ? ?φ(x)极小值=m+6ln3-15<0

即 7<m<15-6ln3. 所以存在实数 m,使得函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像,有且只有三个不同的交点,m 的 取值范围为(7,15-6ln3). [点评] 本题运用导数, 通过对函数 φ(x)单调区间的划分和极大值点、 极小值点的讨论, 明确了函数图像的大致形态使问题获得解决,是一道用导数解决函数问题的典型题目. 总之,在复习导数时,抓住关键,搞清“道理” ,用“道理”去指导解题,是学好用好 导数的关键.


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