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【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修4-第一章三角函数双基限时练8]


双基限时练(八)
1.下列函数以 π 为周期的是( 1 A.y=cos2x C.y=1+cos2x 答案 C
? ?

) B.y=sinx D.y=cos3x

π? ? 2.设函数 f(x)=sin?2x-2?,x∈R,则 f(x)是( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周

期为2的奇函数 π D.最小正周期为2的偶函数 π? ? ?π ? 解析 f(x)=sin?2x-2?=-sin?2-2x?
? ? ? ?

)

=-cos2x. 2π ∴最小正周期为 T= 2 =π,且为偶函数. 答案 B

3.下列是定义在 R 上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函 数的是( )

解析

显然 D 中函数图象不是经过相同单位长度,图象重复出

现.而 A、C 中每经过一个单位长度,图象重复出现.B 中图象每经过 2 个单位,图象重复出现.所以 A、B、C 中函数是周期函数,D 中函 数不是周期函数. 答案 D )

x +φ 4.若函数 f(x)=sin 3 (φ∈[0,2π])是偶函数,则 φ=( π A.2 3π C. 2 2π B. 3 5π D. 3

x+φ 解析 ∵f(x)=sin 3 是偶函数,∴f(0)=± 1. φ ∴sin3=± 1. φ π ∴3=kπ+2(k∈Z). 3π ∴φ=3kπ+ 2 (k∈Z). 3π 又∵φ∈[0,2π],∴当 k=0 时,φ= 2 .故选 C. 答案 C

π? ?k 5.函数 y=cos?4x+3?(k>0)的最小正周期不大于 2,则正整数 k
? ?

的最小值应是( A.10 C.12 解析

) B.11 D.13

2π 8π ∵T= k = k ≤2,∴k≥4π, 4

又 k∈Z,∴正整数 k 的最小值为 13. 答案 D

3π 6 .设 f(x) 是定义域为 R ,最小正周期为 2 的函数,若 f(x) =

?cosx,-π≤x≤0, 2 ? ?sinx,0<x≤π,
A.1 C.0

? 15π? 则 f?- 4 ?的值等于( ? ?

)

2 B. 2 2 D.- 2

3 ? ?3 ? ? 15π? ?3 3 2 解析 f?- 4 ?=f?2π×?-3?+4π?=f?4π?=sin4π= 2 . ? ? ? ? ? ? 答案 B

1 7.函数 y=2sin2x 的最小正周期 T=________. 解析 答案 2π T= 2 =π. π
? ?

π? ? 8.y=3sin?ax+6?的最小正周期为 π,则 a=______. 2π 解析 由最小正周期的定义知 |a| =π,∴|a|=2,a=± 2.

答案

± 2

nπ 9. 已知 f(n)=sin 4 (n∈Z), 那么 f(1)+f(2)+…+f(100)=________. 解析 nπ 2 2 ∵f(n)=sin 4 (n∈Z),∴f(1)= 2 ,f(2)=1,f(3)= 2 ,f(4)

2 2 =0,f(5)=- 2 ,f(6)=-1,f(7)=- 2 ,f(8)=0,…,不难发现,f(n) nπ =sin 4 (n∈Z)的周期 T=8,且每一个周期内的函数值之和为 0. ∴f(1)+f(2)+…+f(100) =f(97)+f(98)+f(99)+f(100) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4) 2 2 = 2 +1+ 2 +0= 2+1. 答案 2+1

cosx?1-sinx? 10.函数 y= 的奇偶性为________. 1-sinx cosx?1-sinx? 解析 由题意,当 sinx≠1 时,y= =cosx,所以函数 1-sinx π ? ? 的定义域为?x|x≠2kπ+2,k∈Z?,由于定义域不关于原点对称,所以
? ?

该函数是非奇非偶函数. 答案 非奇非偶函数

1 11.函数 f(x)满足 f(x+2)=- . f ?x ? 求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期. 解 因为 f(x+4)=f((x+2)+2) 1 =- =f(x),所以 f(x)是周期函数,且 4 是它的一个周期. f?x+2?

12.判断函数 f(x)=ln(sinx+ 1+sin2x)的奇偶性. 解 ∵ 1+sin2x>|sinx|≥-sinx, ∴sinx+ 1+sin2x>0. ∴定义域为 R. 又 f(-x)=ln[sin?-x?+ 1+sin2?-x?] =ln( 1+sin2x-sinx) =ln? 1 ? ? 2 ? 1+sin x+sinx?
?

=ln( 1+sin2x+sinx)-1 =-ln(sinx+ 1+sin2x) =-f(x), ∴f(x)为奇函数. π? π? ? ? 13.设有函数 f(x)=asin?kx-3?和函数 g(x)=bcos?2kx-6?(a>0,b
? ? ? ? ?π? ?π? ?π? 3π >0,k>0),若它们的最小正周期之和为 2 ,且 f?2?=g?2?,f?4?=- 3 ? ? ? ? ? ? ?π? g?4?-1,求这两个函数的解析式. ? ?

3π 解 ∵f(x)和 g(x)的最小正周期之和为 2 , 2π 2π 3π ∴ k +2k= 2 ,解得 k=2.
?π? ?π? ∵f?2?=g?2?, ? ? ? ?

π π? ? ∴asin?2×2-3?
? ? ?

π π? ? =bcos?4×2-6?,
?

π? π? ? ? 即 a· sin?π-3?=b· cos?2π-6?.
? ? ? ?

3 3 ∴ 2 a= 2 b,即 a=b.①
?π? ?π? 又 f?4?=- 3g?4?-1, ? ? ? ?

π 5π 则有 a· sin6=- 3b· cos 6 -1, 1 3 即2a=2b-1.② 由①②解得 a=b=1, π? ? ∴f(x)=sin?2x-3?,
? ?

π? ? g(x)=cos?4x-6?.
? ?


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