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高中数学基本初等函数图形及其性质


高中基本初等函数图形及其性质 基本初等函数为以下五类函数:
x (1) 指数函数 y ? a ( a 是常数且 a ? 0,a ? 1 ), x ? (??,??) ;

1.当 ? 为正整数时,函数的定义域为区间 ,他们的图形都经过原点,并当 ? >1 时在原点处与 x 轴相切。 且 ? 为奇数时,图形关于原点对称; ? 为偶数时图形关于 y 轴对称; 2.当 ? 为负整数时。函数的定义域为除去 x =0 的所有实数。 3.当 ? 为正有理数
m 时, n 为偶数时函数的定义域为 (0, ??) , n 为奇数时函数的定义域为 (??, ??) 。函 n

数的图形均经过原点和 (1,1) . 如果 m ? n 图形于 x 轴相切,如果 m ? n ,图形于 y 轴相切,且 m 为偶数时,还跟 y 轴对称; m , n 均为奇数时, 跟原点对称. 4.当 ? 为负有理数时, n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数; n 为奇数时,定义域为去除 x =0 以 外的一切实数.

(2) 对数函数

y ? log a x a ( 是常数且 a ? 0,a ? 1 ), x ? (0, ??) ;

1. 他的图形为于 y 轴的右方.并通过点 (1, 0) 2. 当 a >1 时在区间 (0,1) , y 的值为负.图形位于 x 的下方,在区间 (1, ??) , y 值为正,图形位于 x 轴上方. 在定义域是单调增函数. a <1 在实用中很少用到.

(3) 幂函数 y ? x ? , ? 是常数;

1.当 ? 为正整数时,函数的定义域为区间 x ? (??, ??) ,他们的图形都经过原点,并当 ? >1 时在原点处 与 x 轴相切。且 ? 为奇数时,图形关于原点对称; ? 为偶数时图形关于 y 轴对称; 2.当 ? 为负整数时。函数的定义域为除去 x =0 的所有实数。 3.当 ? 为正有理数
m 时, n 为偶数时函数的定义域为 (0, ??) , n 为奇数时函数的定义域为 (??, ??) 。函 n

数的图形均经过原点和 (1,1) . 如果 m ? n 图形于 x 轴相切,如果 m ? n ,图形于 y 轴相切,且 m 为偶数时,还跟 y 轴对称; m ,n 均为奇数时, 跟原点对称. 4.当 ? 为负有理数时, n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除 x =0 以 外的一切实数.

(4) 三角函数 正弦函数 y ? sin x

1.定义域:R; 2.值域:[ ? 1,1]. 3.单调性:在区间 [? ? ? 2k? , ? ? 2k? ](k ? Z ) 内,函数单调递增;
2 2

在区间 [? ? 2k? , 3? ? 2k? ](k ? Z ) (k ? Z ) 内,函数单调递减;
2 2

4.对称性:对称轴 x ? k? ? 5.周期性: T ? 2? ;

?
2

,对称中心 (k? ,0), k ? Z .

6.奇偶性:由 sin(? x) ? ? sin x 知,正弦函数是奇函数;

余弦函数 y ? cos x

1.定义域:R. 2.值域:[ ? 1,1]. 3.单调性:在区间 ? 2k? ? ? , 2k? ? (k ? Z ) 内,函数单调递增; 在区间 ? 2k? , 2k? ? ? ? (k ? Z ) 内,函数单调递减; 4.对称性:对称轴 x ? k? ,对称中心 (k? ? 5.周期性: T ? ? ; 正切函数 y ? tan x

?
2

, 0), k ? Z .

6.奇偶性:由 cos(? x) ? cos x 知,余弦函数是偶函数;

? ? ? 1.定义域: ? x | x ? ? k? , k ? z ? ; 2 ? ?
2.值域:R 3.单调性:在开区间 ? ? ? ? k? , ? ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 ? ?
? 2 2 ?

4.对称性:对称中心: ( 5.周期性: T ? ? ;

k? , 0), k ? Z ,没有对称轴. 2

6.奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数; 余切函数 y ? cot x , x ? k? , k ? Z , y ? (??,??) ;

(5) 反三角函数 反正弦函数 y ? arcsin x , x ? [?1,1] ,
y ? [?

? ?

, ] 2 2 ,

反余弦函数 y ? arccosx , x ? [?1,1] , y ? [0, ? ] ,

反正切函数 y ? arctanx , x ? (??,??) ,

y ? (?

? ?

, ) 2 2 ,

反余切函数 y ? arc cot x , x ? (??,??) , y ? (0, ? ) .


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