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高三物理竞赛辅导-几何光学(吴志坚)


高中物理竞赛辅导之

几何光学
江西省萍乡中学 吴志坚

光线与光束

光线 光束

表示光的能量传播方向的几何线。 由许多光线组合在一起的集合。

几何光学的三条最基本的实验定律:
1. 光的直线传播定律
2. 光的独立传播定律 3. 光的反射和折

射定律

直线传播定律

1. 光的直线传播定律
极小的 点状光源 不透明物 屏 几 何 投 影

光在均匀媒质中沿直线传播。



小孔



实物阴影实验

小孔成像实验

分层均匀媒质,每层中的各段光线为 直线。各层光线的连接可形成一条折线。

连续不均匀媒质,视为无限多层无限薄 的均匀媒质层构成,折线可演变成某种曲线。

独立传播定律

2. 光的独立传播定律
两束光或多束光相遇时,并不因其它光束的 存在而改变原来的方向。
观察者 A 和 B 分别 看到光源 S2 和 S1 , 不会因为 这两个光源发出的 A S1

光线或光束相交
而受到影响。

B

S2

反、折射定律

3. 光的反射和折射定律
设媒质 1 和媒质 2 都是均匀的透明媒质,而且都是各向同性媒质。 两 媒质的分界面为平面。一入射光线(入射线)从媒质1射到分界面的O点。
法 线
线 射 反

法线 入射面
入射角 i1 反射线 反射角 i1 折射线 折射角 i2

从O点作垂直于分界面的直线 入射线与法线构成的平面

入射面
入 射 线

入射线与法线的夹角
从O点反射回原媒质的光线 反射线与法线的夹角 从O点折入媒质 2 的光线 折射线与法线的夹角
媒质1 媒质2

入 i 1

射 角 反 射角

i1?

n1 O n2
线 线 折射 折射

i2

折射角

各向光学同性媒质,是指沿各个方向其光学性质都相同的媒质,例如,空气、水、玻璃等非晶体物质。



(1)光的反射定律
入射面

法 线
线 射 反

i1? = i1
反射线在入射面内; 反射角等于入射角,

入 射 线

入 i 1

射 角 反 射角

i1?

媒质1 媒质2 O
线 射线 折射

n1 n2

(2)光的折射定律
sin i1 sin i2 n2 = n1

i2

折射角

折射线在入射面内;入射角 的正弦与折射角的正弦之比是 一个取决于两媒质的光学性质 和光的波长的常量,而与入射 角和折射角的大小无关。

入射媒质 的折射率

n1 =
n2=

c v1
c v2

真空中光速 入射媒质中光速 真空中光速 折射媒质中光速

折射媒质 的折射率

折射率表

真空的折射率等于1
右表中给出 一些最常见透明 媒质对钠黄光 ( 波长 为 589.3

常见透明媒质的折射率
媒 质 空 气 水 酒 精 光学玻璃 金刚石 折射率 1.0003 1. 33 1. 36 1.49 1.79

nm ) 的折射率
常用值。

2. 42

绝对折射率是从真空入射到介质; 两种媒质的折射率之比称为相对折射率。

考查点一、 日食、月食

日食

本影区 此处出现 日全食

伪本影区 此处出现 日环食

半影区 此处出现 日偏食

半影区 此处出现 日偏食

月食

此时地球上 看到月偏食

此时地球上 看到月全食

地球

此时地球上 看到月偏食 由于地球的本影区远大于 月地距离故,地球上不会 看到月环食

考查点一、 平面镜成像
1.平面镜成像
2.组合平面镜 3.双镜面发射

a.平面镜成像的特点:
1.平面镜所成的像是虚像
2.像的大小与物体的大小相等

3.像与物体到平面镜的距离相等
4.像和物体对应点的连线被镜面垂直且平分

b.平面镜成虚像的原理

S’

O

S

1.平面镜成像
例题、 (09〃全国卷Ⅰ〃15) 某物体左右两侧各有一竖直 放臵的平面镜,两平面镜相互平行,物体距离左镜 4m,右镜 8m,如图,物体在左镜所成的像中从右向左数的第三个像与 物体的距离是( A.24m B.32m C.40m D.48m )

【生活中的物理】

例题【动态成像】 (高考模拟题) 某物体可看做为一个点, 其可沿着图中三个方向分别运动,一为与镜面平行方向,一为 与镜面垂直方向,一为与镜面成 30°夹角的方向。若物体始 终以 4m/s 的速度运动,则在上述三种情形中,物体相对于 像运动的速度分别为多大?

例题、(竞赛模拟题)如图,MN 为一竖直墙,一平面镜 OB 绕过 C 点在纸面内转动,转动角速度为ω,在墙上的 A 点有一 水平光轴投射到平面镜上被反射后又射到墙上形成一光点 D, 已知 AC=d,且此刻平面镜与墙面间的夹角为 30°。试求: (1)此时反射点在墙上移动的速度; (2)若平面镜 OB 绕过 O 点在纸面内 转动,试求此时反射点在墙上移动的速度。
C

?
B

M D

d

A
O

N

2.组合平面镜
例题、作出下图中物体 S 在这组平面镜中所成的复像的位臵, 并找出复像和物体 S 的位臵关系。

用几何的方法不难证明:这三个虚像都位于以 O 为圆心、OS 为半径的圆上, 而且 S 和 S1、S 和 S3、S1 和 S2、S2 和 S3 之间都以平面镜(或它们的延长线)保持 着对称关系。

例题 两个平面镜之间的夹角为45?、60?、120?。而物 体总是放在平面镜的角等分线上。试分别求出像的个数。

例题、一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像,可以在物体的 后面放两个直立的大平面镜 AO 和 BO,使物体和它对两个平面镜所成的 像都摄入照像机, 如图所示。 图中带箭头的圆圈 P 代表一个人的头部 1 (其 尺寸远小于 OC 的长度),白色半圆代表人的脸部,此人正面对着照相机 的镜头;有斜线的半圆代表脑后的头发;箭头表示头顶上的帽子,2 图为 俯视图,若两平面镜的夹角∠AOB=72?,设人头的中心恰好位于角平分 线 OC 上,且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。(1)试在 2 图中标 出 P 的所有像的方位示意图。(2)在方框中画出照片上得到的所有的像(分 别用空白和斜线表示脸和头发,用箭头表示头顶上的帽子)。
A O B C P P C O A

3.双镜面反射
例题、如图所示,两平面镜 A 和 B 的镜面分别与图中纸面垂 直,两镜面的交线过图中的 O 点,两镜面的夹角 α=15? 今自 A 镜面上的 C 点沿与 A 镜面夹角 β=45 的方向在纸面内射出 一条光线,此光线在两镜面间多次反射 OC=1.0m 试求: (1)从 C 点射出的光, 经几次反射后又 回到 C 点(要求:画出光路图) (2)该光线从 C 点发出又回到 c 点所用的时间?(设光速 3×108m/s)

考查点二、 光的折射及全反射
1.生活中的折射现象
2.三棱镜 3.全反射

1.生活中的折射现象
例题、玻璃毛细管的外径显著大于管道直径。玻璃折
射率为4/3.通过管的侧面所见管道直径d=2.66mm, 求管道的真实直径。

【生活中的物理】
2003年3月11日的《科技文摘报》转载了2月20日《北 京晨报》的一篇文章,题目是“伪劣弹簧锁粗中有‘戏’”, 说是一为姓杨的先生,他把自行车用弹簧锁锁好后进了菜市 场,出来了发现锁打不开了,仔细观察发现锁钥匙孔被小偷 钻坏了,无奈之下去借了把钢锯要把弹簧锁锯断,心这下子 得费些工夫了,因为弹簧锁的外表看起来特别粗,可没想到 三下五除二就把锁锯开了,在仔细一看,弹簧锁的内芯钢丝 其实很细。杨先生说,还好小偷没发现这个秘密,否则小偷 肯定不会去撬钥匙孔,只要用一截钢锯条,也来个三下五除 二,就把自行车骑走了。原来这种钢丝弹簧锁最外层套着透 明塑料管,管壁厚度达5毫米,起到一种放大的作用,透过 这层塑料管,直径才4毫米的钢丝内芯象8毫米粗,小偷不知 这一点,看看不敢下手。

【蒙气差现象】

例题、(第27届预赛)假设把地球大气等效于一个具有一定厚度折射率 均匀的透光气体球壳,其折射率取n =1.00028,把地球看作为圆球。 当太阳在地球某处正上方时,该处的观察者看太阳时的视角比太阳对 观察者所在处的张角相差多少?已知太阳半径R s = 6.96×108 m, 日 地距离r E =1.50×1011 m。

2.三棱镜
偏向角:出射光线与入射光线间的夹角δ

δ=(i-γ)+(γ`-i`)=(i+γ`)-(γ+i`) 又 所以 α= γ+i` δ=i+γ`-α

其中最小偏向角δmin的产生条件为 i=γ` ,即入射光线与出射 光线关于三棱镜对称( γ=i` = α/2 )。
si n (

? ? ? min
si n

由此可得

n?

?
2

2

)

在顶角α已知的条件下,通过最小偏向角的测定,可以得到棱镜材料的折射率

例题、如图所示,两个顶角分别为?1=60°和?2=30° 的棱镜胶合在一起 (?C=90 ° )折射率由下式给出:

n1 ? ?1 ?
其中

?

b1
2

n2 ? ? 2 ?

?

b2
2

1.确定使得从任何方向入射的光线在经过AC面时不发 生折射的波长 λ0 ,确定此情形的折射率 n1和n2; 2.确定组合棱镜的最小偏向角; 3.计算平行于DC入射且在离开组合 棱镜时仍平行于DC的光线的波长。

解: 1、如果n1=n2则从不同方向到达AC面的波长为 λ0的光 线就不折射,即 在此情形下 2、对波长为的光,组合棱镜可看作顶角为30°、折射率为 n=1.5的单一棱镜。最小偏向在对称折射时发生,即在图中的 α角相等时发生。根据折射定律,

偏向角为

3、利用图1-3-22中的数据,可以写出

消去α后得 经变换后得

例题、 (第 19 届预赛)图中,三棱镜的顶角 ? 为 60?,在三棱镜两侧对 称 位 臵 上 放臵 焦 距 均为
f ? 30.0 cm 的 两 个 完 全 相 同的 凸 透镜 L1 和

L2 .若在 L1 的前焦面上距主光轴下方 y ? 14.3 cm 处放一单色点光源 S , 已知其像 S ? 与 S 对该光学系统是左右对称的.试求该三棱镜的折射率.

如图预解 19-5 所示。由对称性可知

i1 ? r2

,

i2 ? r1

,

r1 ? i2 ? ? ? 60?
tan ? ? y / f

,

i1 ? ? ? r1

又从 ?FSO1 的边角关系得 代入数值得 得

? ? arctan(14.3/ 30.0) ? 25.49?
r1 ? 30?

i , 1

? 55.49?

sin i1 n? ? 1.65 根据折射定律,求得 sin r1

【生活中的物理】

请 大 家 解 释 该 平 面 镜 成 像 原 理

3.全反射
(1)光导纤维(通讯、医用内窥镜):
一种利用光的全反射原理制成的能传导光的玻璃丝, 由内芯和外套组成,直径只有几微米到100微米左右,内芯

的折射率大于外套的折射率。

例题、 (第 7 届预赛)光导纤维是利用全反射传导光信号的装 臵,图 7-2 所示为一光导纤维。ab 为其端面,纤维内芯材料 的折射率 n1=1.3,外层材料的折射率 n2=1.2,在如图所示的 情况下,试求入射角 i 在什么范围内的光线都可在此纤维内传 递.
n2 n1

i

例题、(第 17 届复赛)光纤是一种可传输光的圆柱形细丝,由具有圆形 截面的纤芯A和包层B组成,B的折射率小于A的折射率,光纤的端面和 圆柱体的轴垂直,由一端面射入的光在很长的光纤中传播时,在纤芯A和 包层B的分界面上发生多次全反射. 现在利用光纤测量流体 F 的折射率. 实 验方法如下:让光纤的一端(出射端)浸在流体 F 中.令与光纤轴平行的 单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心O,经端面折射进 入光纤,在光纤中传播.缘光线和轴的夹角为 α0,如图甲所示.最后光从 另一端面出射进入流体F.在距出射端面h1 处放臵一垂直于光纤轴的毛 玻璃屏D,在D上出现一圆形光斑,测出其直径为d1,然后移动光屏D至 距光纤出射端面h 2处,再测出圆形光斑的直径d2,如图乙所示. 1.若已知A、B的折射率为nA、n B, 求被测流体 F 的折射率nF的表达式. 2.若n A、nB和 α0均为未知量,如何通 过进一步的实验以测出nF的值?

(2)海边、沙漠蜃景的成因

(3)全反射棱镜
利用全反射棱镜来改变光线方向,比一般的平面镜,能量要 损失小的多;且全反射棱镜比一般的平面镜的使用寿命更长。

a.一次反射棱镜
简单棱镜,在主截面内的坐标 改变方向,垂直于主截面的坐 标不改变方向,而 O’Z’始 终沿出射光轴方向。
只有X左右对换,Y、Z均未改变,类似平面镜成像。

b.二次反射棱镜(相当于一个双面镜)
其出射光线与入射光线的夹角取决于两反射面的夹角, 像与物一致,不存在镜像。

制造全反射棱镜的玻璃折射率,一般为 1.5 ~1.7,光从玻璃到与 空气的界面上反射时的全反射临界角 c 约为 41.8°~ 36.0°。

(4)虹与霓

被水滴折射和反 射后,各种色光 的偏转角度有了 少许的差异,产 生了彩虹的现象。

虹的成因

霓的成因。多了 一次反射,导致 其亮度比虹要低。

考查点三、 光在球面上的反射
1.平行光反射聚焦的镜面要求
2.近轴光经球面反射的物像公式 3.近轴光经球面反射成像的特点

4.近轴光经球面镜多次成像

1.平行光反射聚焦的镜面要求
a.光程 L=n d(n 为光所在介质的折射率,d为几何路程) ;
b.费马原理指出,光从一点传播到另一点,其间无论经过 多少次折射和反射,光程为极值。
说明:

一、光是沿着光程为极值(极大值、极小值或常量)的路径传播的;
二、通常是指光程L为极小值; 三、若从A到B的许多光路的光程L同为一个极小值,则可认为A到B 的光程为某一定值。

y

C(x , y)

B
A

o

f

x

因为 2OA=BC+CA
所以 2f=(f-x)+[(f-x)2+y2]-2 化简得 y2=4fx 可知,该曲线为一条抛物线

2.近轴光经球面反射的物像公式

(1)球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律,法线是

球面的半径。可以证明,球面镜焦距 f 等于球面半径 R 的
一半,即 f = R / 2 ;

证明: f = R / 2
BE BE sin? ? ? AB R
BE BE BE sin2? ? ? ? BC AC R ? f

由于分析的是近轴光线,所以a很小, 则 sina=a,sin2a=2a 可得: f = R / 2

(2)球面镜成像公式推导:

1 1 1 ? ? u ? f
根据反射定律
? S A C ? ? S ?A C
AS CS ? ? CS ? AS
OS CS ? OS ? CS ?

因为SA为近轴光线 A S ? ? S ?O , A S ? SO 又因为 u ? OS , ? OS ' v
OS CS ? 所以 OS ? CS ?

C S ? OS ? OC ? u ? 2 f
CS ? ? OC ? OS ? ? 2 f ? ?

u u?2f = ? ? 2 f ??

1 1 1 ? ? u ? f

(3)球面镜成像的三条特殊光路:

a
b c

a.平行主轴的入射光线与过焦点的反射光线
b.过焦点的入射光线与平行主轴的反射光线 c.过曲率中心的入射光线及反射光线

3.近轴光经球面反射成像特点
(1)球面镜成像公式中的符号法则:

1 1 1 ? ? u ? f

u 为物距,实物取正,虚物取负;
v 为像距,实像取正,虚像取负;

f 为焦距,凹镜取正,凸镜取负。

(2)像的横向放大率:
像的横向大小放大的

v 倍数m= ? u

(3)像的虚实与倒正: v>0,像为实 m>0,像正立 v<0,像为虚 m<0,像倒立

|m|>1,像放大

|m|<1,像缩小

表Ⅰ 凹镜成像情况 物的 性质 物的位置 ∞ 实 ∞ ~2f 2f 物 2f~f f 像的位置 同侧 f 同侧 f~2f 同侧 2f 同侧 f~2f ∞ 像的大小 缩小 缩小 等大 放大 像的正倒 倒 倒 倒 倒 像的虚实 实 实 实 实

f~0
虚 物 ∞

异侧 0 ~ ∞
异侧0~f

放大
缩小







表Ⅱ 凸镜成像情况 物的 性质 实物 物的位置 ∞ ∞ ~2f 虚 物 2f f~2f f f~0 像的位置 同侧 0~f 同侧 f~2f 同侧 2f 同侧 ∞~2f ∞ 异侧 ∞~0 放大 正 实 像的大小 缩小 缩小 等大 放大 像的正倒 正 倒 倒 倒 像的虚实 虚 虚 虚 虚

例题、 (第 26 届复赛)内半径为 R 的直立圆柱器皿内盛水银,绕 圆柱轴线匀速旋转(水银不溢,皿底不露) ,稳定后的液面为旋转 抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点,纵坐标轴 z 与圆柱器 皿的轴线重合, 横坐标轴 r 与 z 轴垂直, 则液面的方程为 z ?
?2
2g r2



式中 ω 为旋转角速度,g 为重力加速度(当代已使用大面积的此 类旋转水银液面作反射式天文望远镜) 。http://hfwq.cersp.net 观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处,保持位臵不变, 然后使容器停转,待液面静止后,发现与稳定旋转时相比,看到 的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位臵至稳定旋转水银 面最低点的距离。

4.近轴光线关于球面镜多次成像
a.球面镜多次成像原则:只要多次运用球面镜成像公式 即可,但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇

上了后一个球面镜,此时就要引进虚物的概念;
b.多次成像的横向放大率m=m1m2m3??

例题、如图所示,半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重 合放置,两镜顶点O1 、O2 相距2.6R,现于主轴上距 凹镜顶点O1为0.6R处放一点光源S。设点光源的像只 能直接射到凹镜上,问S经凹镜和凸镜各反射一次后 所成的像在何处?

考查点三、 光在球面上的折射
1.近轴光经球面折射的物像公式
2.近轴光经球面折射成像的特点

1.近轴光线经球面折射的物像公式

a.单球面折射公式
(前提条件:近轴光线)

u

r

v

b.符号法则
入 射 光
入 射 光 折 射 光

u 实物 u>0
折 射 光

折 射 光

u

虚物 u<0
入 射 光

入 射 光

v 实象v >0

v 虚象v <0

折 射 光

虚实物判断方法:
以折射面为界,入射光线和折射光线分居两侧;
入射光线一侧为物方,折射光线一侧为像方;

物在物侧为实,物在像侧为虚,
象在像侧为实,像在物侧为虚。

凹面迎着入射光,r <0
(曲率中心在像方)
入 射 光

凸面迎着入射光,r >0
(曲率中心在物方)
折 射 光

u

折 射 光

入 射 光

v

折射率:

入射光所处媒质为n1
折射光所处媒质为n2

c. 折射本领
第一焦点F1:
主光轴上点光源在此 发出的光束经折射后为

平行光的点

第一焦距(F1至球面顶点P的距离):

第二焦点F2: 平行于主光轴的光束 位折射后会聚在此的点

第二焦距(F2至球面顶点P的距离):

u

r

v

球面折射公式:

第一焦距:

第二焦距:

焦度

焦度? 的单位:屈光度(f 以m为单位) 焦度越大,折射本领越强

1 屈光度= 100度

d.像的横向放大率:

u

r

v

vn1 s' m? ? ? ? s un2
多次成像的横向放大率 m=m1m2m3……

m>0,像正立
m<0,像倒立 |m|>1,像放大 |m|<1,像缩小

例题、一玻璃球(n=1.5)半径为10厘米,点光源 放在球面前40厘米处,求近轴光线通过玻璃球后 所成的像。

v1=60厘米

v2=11.4厘米

例题、 (第 21 届预赛)有一种高脚酒杯,如图所示。杯内底面为一凸起 的球面,球心在顶点 O 下方玻璃中的 C 点,球面的半径 R=1.50cm,O 到杯口平面的距离为 8.0cm。在杯脚底中心处 P 点紧贴一张画片,P 点 距 O 点 6.3cm。这种酒杯未斟酒时,若在杯口处向杯底方向观看,看不 出画片上的景物,但如果斟了酒,再在杯口处向杯底方向 观看,将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率 n1= 1.56,酒的折射率 n2=1.34。试通过分析计算与论证解 释这一现象。

考查点三、 近轴光经薄透镜成像
1.薄透镜的物像公式
2.近轴光经球面折射成像的特点

a.薄透镜的种类: 凸透镜:中间部分比边缘厚的透镜。

r2
c2

r1
o1
o2

双凸
c1

r2
c2

平凸
c1
o1
o2

c2

r2 r1
o1

弯凸
o2

r1 ? ?
凹透镜:中间部分比边缘薄的透镜。

? r1
c1

双凹

r2
o1
o2
c2

? r1
r2 ? ?
c1

平凹
c2 c1

? r1 ? r2
o1

弯凹
o2

o1

o2

薄透镜:两个侧面的中心靠得很近的透镜。

b.薄透镜的物像公式推导:

n1
P

O1
C2

n2

O2 C1 ? p2

n1
P?

P? 1

p1

t

p1?

p2

n1 n 2 n 2 ? n1 ? ? 光线在透镜的左侧面折射: p1 p? R1 1 n 2 n1 n1 ? n 2 光线在透镜内右侧面入射: ? ? p 2 p? R2 2 n n n n n ? n1 n1 ? n 2 两式相加: 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? p1 p? p 2 p? R1 R2 1 2

n1
P

O1
C2

n2

O2 C1 ? p2

n1
P?

P? 1

p1

t

p1?

p2

P1?为入射于右侧球面光线的一个虚物点

??p2 ? p? ? t ? p? 1 1

n1 n 2 n 2 n1 n 2 ? n1 n1 ? n 2 ? ? ? ? ? p1 p? p 2 p? R1 R2 1 2

n1 n1 n 2 ? n1 n1 ? n 2 ? ? ? ? p1 p? R1 R2 2

薄透镜厚度忽略,物距和 像距由薄透镜中心算起

1 1 n 2 ? n1 ? 1 1 ? ? *薄透镜的物像公式: ? ? ? ? ? p p n1 ? R1 R 2 ?

薄透镜在空气中时: n1=1, n2=n

1 1 n 2 ? n1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? p p n1 ? R1 R 2 ?

? 1 1 1 1 ? *空气中薄透镜的物像公式: ? ? (n ? 1) ? ? ? p p? ? R1 R 2 ?
式中各量的符号规定遵从球面折射的符号法则: 1、物距 p 和像距 p’ 的正负可以用实正虚负来确定。 2、当物体面对凸面时,曲率半径 R 为正;当物体面对 凹面时, 曲率半径 R 为负.
n1
P

O1
C2

n2

n1
O2 C1 ? p2

P?

P? 1

p1

t

p1?

p2

c.薄透镜的横向放大率:
在透镜左侧球面折射成像的横向放大率为

n 1 p? y? n1 p? 1 1 1 ?? m1 ? ?? n2 p y n 2 p1
在透镜右侧球面折射成像的横向放大率为

n 2 p? n 2 p? n 2 p? y? 2 m2 ? ?? ?? ? y? n1 p 2 n1 ( ?p? ) n1 p? 1 1 1

y? p? ?? *薄透镜的横向放大率:m ? m1 ? m 2 ? y p
结论:实物经薄透镜成正立的虚像 或倒立的实像

d.薄透镜焦点和焦距
薄透镜的焦点(F, F’):一束平行于主光轴的平行光,经薄透 镜折射后的会聚点或折射线反向延长线的会聚点称为焦点,焦 点位于光轴上。

F
f

F

f

1 1 n 2 ? n1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? p p n1 ? R1 R 2 ?

1 1 n 2 ? n1 ? 1 1 ? *薄透镜的焦距: ? ? ? ? ? f f? n1 ? R 1 R 2 ?

1 1 n 2 ? n1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? 薄透镜在空气中时 n1=1, n2=n f f? n1 ? R 1 R 2 ?

*空气中薄透镜的焦距: 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ?
(磨镜者公式)

f

f?

? R1

R2 ?

?1 R1 ? 1 R2 ? ? 0 为凸透镜; ?1 R1 ? 1 R2 ? ? 0 为凹透镜。
凸透镜的焦距f 为正,对应实焦点 凹透镜的焦距f 为负,对应虚焦点 结论:焦距的符号也可 以用“实正虚负”来判 别

F
f

f

1 1 n 2 ? n1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? p p n1 ? R1 R 2 ?

1 1 n 2 ? n1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? f f n1 ? R 1 R 2 ?

1 1 1 ? ? p p? f
*薄透镜的物像公式:
(高斯公式)

平行光与光轴有一定的夹角时,成像如何呢?
焦面:过焦点且垂直于光轴的平面。 (傍轴平行光与光轴有一个夹角,则 经透镜会聚于焦面上的一点)

f

例题、 (第 21 届复赛)目前,大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距 离地排列在一条直线上的长条状,通常称为激光二极管条.但这样的半导体激光器发出的 是很多束发散光束,光能分布很不集中,不利于传输和应用.为了解决这个问题,需要根 据具体应用的要求,对光束进行必需的变换(或称整形) .如果能把一个半导体激光二极 管条发出的光变换成一束很细的平行光束,对半导体激光的传输和应用将是非常有意义 的.为此,有人提出了先把多束发散光会聚到一点,再变换为平行光的方案,其基本原理 可通过如下所述的简化了的情况来说明. 如图,S1、S2、S3 是等距离(h)地排列在一直线上的三个点光源,各自向垂直于它 们的连线的同一方向发出半顶角为 arctan ?1 4?的圆锥形光束.请使用三个完全相同的、焦 距为 f = 1.50h、半径为 r =0.75 h 的圆形薄凸透镜,经加工、组装成一个三者在同一平 面内的组合透镜,使三束光都能全部投射到这个组合透镜上,且经透镜折射后的光线能全 部会聚于 z 轴(以 S2 为起点,垂直于三个点光源连线,与光束中心线方向相同的射线) 上距离 S2 为 L = 12.0 h 处的 P 点. (加工时可 对透镜进行外形的改变,但不能改变透镜焦距. h ) 1.求出组合透镜中每个透镜光心的位臵. 2.说明对三个透镜应如何加工和组装,并求出 有关数据.
h S3 S1 S2

?? ?? ??
L P

例题、 (第 27 届复赛)正午时太阳的入射光与水平面的夹角? ? 45? 。 有一座房子朝南的墙上有一个直径 W ? 10cm 的圆窗,窗口中心距地 面的高度为 H。试设计一套采光装臵,使得正午时刻太阳光能进入 窗口,并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进入采光 装臵前 2 倍的平行光。可供选用的光学器件如下:一个平面镜,两 个凸透镜,两个凹透镜;平面镜的反射率为 80% ,透镜的透射率为
70% , 忽略透镜表面对光的反射。 要求从这些器

件中选用最少的器件组成采光装臵。试画出你 所设计的采光装臵中所选器件的位臵及该装臵 的光路图,并求出所选器件的最小尺寸和透镜 焦距应满足的条件。

例题、 (第 28 届复赛)如图所示,L 是一焦距为 2R 的薄凸透镜,MN 为其主光轴。在 L 的右侧与它共轴地 放臵两个半径皆为 R 的很薄的球面镜 A 和 B。每个球面镜的凹面和凸面都是能反光的镜面。A、B 顶点间的 距离为 3 R 。在 B 的顶点 C 处开有一个透光的小圆孔(圆心为 C) ,圆孔的直径为 h。现于凸透镜 L 左方距 L
2

为 6R 处放一与主轴垂直的高度也为 h(h<<R)的细短杆 PQ(P 点在主轴上) 。PQ 发出的光经 L 后,其中 一部分穿过 B 上的小圆孔正好成像在球面镜 A 的顶点 D 处,形成物 PQ 的像 I。则 1.像 I 与透镜 L 的距离等于___________。 2.形成像 I 的光线经 A 反射, 直接通过小孔后经 L 所 成的像 I1 与透镜 L 的距离等于_________。 3.形成像 I 的光线经 A 反射,再经 B 反射,再经 A 反射,最后通过 L 成像 I2,将 I2 的有关信息填在下表中:

I2 与 L 的距离 I2 在 L 左方还是右方 I2 的大小 I2 是正立还是倒立 I2 是实像还是虚像

4.物 PQ 发出的光经 L 后未进入 B 上的小圆孔 C 的那一部分最后通过 L 成像 I3,将 I3 的有关信息填 在下表中: I3 与 L 的距离 I3 在 L 左方还是右方 I3 的大小 I3 是正立还是倒立 I3 是实像还是虚像

例题、(第29届复赛)

考查点四、 光学仪器成像
1.眼睛
2.放大镜 3.望远镜 4.显微镜

一、人眼
1、自调节:正常人眼靠睫状肌的松驰或紧张来改变晶状体的 曲率半径,从而改变人眼焦距的过程,是人眼自动 完成的。 说明: ① 自调节有一定的限度:近点和远点之间。 ? 远点:人眼能看清楚的最远点。人眼看远点处的物体时,睫 状肌处于完全松驰的状态,晶状体曲面的曲率半径最大。 ? 近点:人眼能看清楚的最近点。人眼看近点处的物体时, 睫状肌处于最紧张的状态,晶状体曲面的曲率半径最小。

2.明视距离:适当照明下,正常眼观察眼前25cm处的物体是 轻松的,且能看清物体的细节,称25cm为明视距离。 3.人眼的缺陷及矫正——被动调节:外加辅助仪器改变焦距的 过程。

因此,在设计和使用助视仪器时一般都使虚像成于明视 距离、无穷远处或其间的某一位置处。 如:近视眼——将无穷远成虚像于远点; 远视眼——将近点成虚像于明视距离。

① 近视眼:远点在有限远处的人眼。

P 远 点

O

F‘ 矫正前
O

F‘

远 物

P‘ 远 点

O

F‘

矫正后

近视眼

设某近视眼的远点到眼睛的距离 为 p远 , 此时远点上的物体才能成像在 视网膜上, 其象距为 p′, 眼睛的焦距为

f眼, 则

(a)
远点

1 1 1 = + p远 f眼 p′

为了将近视眼的远点矫正到无限远
处, 借助一透镜与眼睛构成一透镜组合, 设透镜组合的焦距为 f 合 , 如图( c )所示 ,

p远 (b)

p′



1 = 1 f合

+

1 p′

8

(c)

近视眼镜



1 1 1 与 = + p远 f眼 p′ 1 f合 1 = f眼 1 p远

1 = 1 f合

+

1 相减,得 p′

若其以光焦度的形式表示, 得 1 p远

Φ合

Φ眼 =

设透镜的焦距为 f镜 , 其光焦度为Φ镜= 1/ f镜 ,

并忽为略透镜与眼睛的距离, 则 Φ合 Φ眼 = (Φ镜+ Φ眼)
得 Φ镜 1 = = f镜 Φ眼 = 1 s远 1 s远
远点

8

(a)

p远 (b)

p′

此式表明, (1) 近视眼镜的焦距和光焦度为负 值, 应选用凹透镜; (2) 近视眼的光焦度可通过 测试近视眼的远点来进行配置。
例如, 远点距离 p远 = 1.25m, 则 f镜= -1.25m , Φ镜 = - 0.8 屈光度, 凹透 眼镜片的度数为 - 80度。 若要进行更精确的计算则需考虑透镜与眼睛的距离。

(c)

例题、一个远点为0.2m的近视眼戴上眼镜后远点可恢复到 无穷远,求所戴眼镜的光焦度。
光焦度(屈光度):光线由一种物体射人到另一种光密度不同 的物质时,其光线的传播方向产生偏折,这种现象称为屈光现 象,表示这种屈光现象大小的单位是屈光度,常用Φ来表示。 某透镜屈光度大小等于该透镜像方焦距的倒数,即 Φ =1/f ' , 其中焦距 f ' 单位为米,若焦距 f ' =lm 时,则 D=1 屈光度; f=2m 时, D=0.55 屈光度 ( 也常用 m-1 表示。凸透镜的屈光力 以“ + ”号表示,凹透镜的屈光力以“—”表示。 1 屈光度或 1D 等于常说的 100 度。
1 1 1 [解] :已知 s ? ?? s ? ?0.2m ?由空气中的高斯公式 ' ? ? ' s s f 1 1 1 1 1 有:? ? ' ? ' ? ? ' ? ? ?5 ( D) ? ?500 (屈光度) f s s s ? 0.2
'

② 远视眼:近点比正常眼远的人眼。

近点

O

F‘

矫正前
明视距离 F‘

O

近点

明视距离

O

F‘

矫正后

远视眼

设某远视眼的近点到眼睛的距

离为 p近 , 此时近点上的物体才能成
像在视网膜上, 其像距为 p′, 眼睛的 焦距为 f 眼 , 如图 ( b ) 所示, 则 1 1 1 = + p近 f眼 p′ 为了将远视眼的近点矫正到正常 眼的明视距离 p明 = 25cm 上, 借助一透 镜与眼睛构成透镜组合, 设透镜组合的 近点 (a)

p


p′

(b)

焦距为 f 合 , 如图 ( c )所示 , 得
1 = f合 1 1 + p明 p′

p


p′ (c)

远视眼镜

将上述两

式相减 得
Φ合

1 f合 Φ眼 =

1 1 = p明 f眼 1 p明

1 p近

若以光焦度的形式表示, 得

1 p近
(a) 近点 p


设透镜的焦距为 f镜 , 其光焦度为Φ镜= 1/ f镜 , 并忽为略透镜与眼睛的距离, 则 1 1 Φ合 Φ眼 = (Φ镜+ Φ眼) Φ眼 = p p近 明 1 1 1 Φ镜 = = f镜 p近 p明 p 明 故 Φ镜 0 。 其中, p近
结果表明, (1) 远视眼镜的焦距和光焦度为

p′ (b)

正值, 应选用凸透镜; (2) 远视眼镜的光焦 度可根据将远视眼的近点矫正到正常眼 的明视距离的原理来配置。
若要进行更精确的计算同样需考虑透镜与眼睛的距离。

p


p′ (c)

例如 , 近点距离 p近 = 0.50m, 正常眼的明视距离 p明 = 0.25m ,则 f镜= 0.50m, Φ镜= 2.00屈光度, 凸透眼镜片的度数为200度。

例题、求一个近点为125cm的远视眼所戴眼镜的光焦度
近点 明视距离

O

F‘

?s

'

?s

[解] : 对所戴凸透镜而言,已知 s ? ?0.25m s ' ? ?1.25m ?由空气中的透镜成像公式有 : 1 1 1 1 1 ?? ' ? ' ? ? ? ? 3.2( D) ? ?320(屈光度) f s s ? 1.25 ? 0.25

放大镜

最简单的放大镜是一个 单独的凸透镜。放大镜的作用 是帮助人们增大被观察物体的

y

α p明

视角。所谓视角,是物体两端
对人眼光心所张的角度。能够 帮助人们增大被观察物体的视

角的光学仪器的种类很多。如
果不用仪器单凭肉眼直接观察 时,物体的视角为α ,用了仪器 观察到物体的虚像的视角为β , 则仪器的放大率为 M =

y′ y β F p′

L F′ f

p f

? ?

放大率

对于放大镜的情况是:(1)通常习惯将物体置于放大镜的焦平面附近并 略靠放大率一側的位置进行观察;(2) 直接观察的物体和通过放大镜观察 到的放大正立虚像到眼睛的距离, 都以明视距离 s明= 25cm 作为共 同的距离标准, 如图所示。 直接观察时,若视角很小, 则 α≈ y / p明。通过放大镜L观察时, y α p明

在近轴条件下, β ≈ y / p ≈ y′/
p′ ≈ y / f ,因此,放大镜的放大率 为 M = =

y′ y β F p′

L F′ f

? ?
p明 f

y/f = y / p明 =
25

p f

f

式中 f 为放大镜的焦距,单位为 cm 。

科学与安全性

值得指出的是: (1) 放大镜的放大率公式是一个近似式, 但它具有较大的实际

意义。放大镜的含义除了我们通常熟悉的阅读用放大镜外, 在许多助
视仪器中的目镜,也是起着放大镜的作用。因此,上述公式也是简单目 镜的放大率公式。将物体置于放大镜的焦平面附近观察作为放大镜的

标准工作状态,其好处不但能获得较大的放大率, 更重要的是由于在
焦平面附近, 物体上各点发出的光通过放大镜折射后成为近似的平行 光,眼球可在肌肉放松的情况下将这些平行光聚焦在视网膜上得到清 晰的像, 不易引起视觉疲劳, 表明助视仪器使用的科学性和安全性。

(2) 由于球面透镜成像质量受近轴条件的限制, 放大镜的放大率
实际上不能太大。常见的单透镜放大镜的放大率只有几倍。放大率超 过 10 的放大镜需要采用透镜组合系统等方法减小像差, 才能获得较

好的成像质量和实用效果。

显微镜

显微镜通常可将其简化为两个凸透镜的组合,如图所示。 Lo 为短焦距的凸透镜,靠近观察物体, 称为物镜。Le 靠近观察者 眼睛的凸透镜, 称为目镜, 其作用相当于前面讲过的放大镜。
Le
Fe y′ fe′ p′ ′
Fe′

显微镜的工作状态是:
y

Lo
′ Fo
Fo

p′ Δ

(1) 被 观察 的 物 体 y 放 在 物 镜
Lo的焦平面附近,物距 s ≈ fo ; (2) y 的倒立实相像 y′位于目镜 Le

fo fo′ p

y′ ′

的焦平面附近,两透镜间的焦点 Fo 与
Fe 之间的距离Δ ≈ p′ - fo′ ;

(3) 目镜处于放大镜的标准工作状态, p’’ 为明视距离 p明 = 25cm。

光学筒长

在上述工作状态的前提下,我们推导显微镜的放大率公式。 Lo
y ′ Fo Fo fo p y ′′ fo′

Le
p′ Δ Fe y′ fe ′ p ′′ fe Fe′

物镜Lo的 放大率 Mo= y′ y

目镜Le的

放大率
p′′ fe p明 fe′

Δ fo′

Me =

根据透镜组合的放大率是各透镜放大率的乘积可得, 显微镜的放大率为 M 显微镜 = M o M e = Δ fo′ p明 fe ′ Δ 25 = fo′ fe′

式中 fo′ 和 fe ′ 分别为物镜和目镜的焦距, Δ 是显微镜的镜筒内两透 镜焦点之间的距离, 称为 显微镜的光学筒长, 单位均为cm 。

放大率

Lo
y Fo fo p y ′′ F′
o

Le
p′ Δ Fe y′

fe

Fe′

fo′

fe ′
p ′′

显微镜的放大率

M 显微镜 = M o M e =

Δ fo′

p明 fe ′

Δ 25 = fo′ fe′

Δ 越大, 或 fo′ 和 fe′ 越小, 则显微镜的放大率越大。 例如: 若 fe′= 2.5cm , fo′= 2.0cm , Δ = 16.0 cm 的显微镜, 其放 大率约为 80 倍。

若 fe′= 2.5cm , fo′ = 0.4cm , Δ = 18.5 cm 的显微镜, 其 放
大率约为 463 倍。

望远镜

常见的两类望远镜: 折射式望远镜 和 反射式望远镜。
fo′ Lo

远方物体

fe Le

图(a)由两个凸透镜组成, 物镜Lo的 焦距较长,目镜 Le的焦距较短,物镜

y

α
Fo fo

α

的第二焦点Fo′与目镜的第一焦点Fe
相重合,观察到物体的像是倒立的 虚像,这种望远镜又称为 普勒 望远镜。 开

′ Fo Fe y′

β
′ Fe fe′

β

s

( a ) 开普勒折射式望远镜
fo′ Le

图(b)中的物镜Lo是焦距较长的凸
透镜,目镜 Le是焦距较短的凹透镜, ′ 物镜的第二焦点 Fo′ 与目镜的第二 F ′ o 焦点Fe 相重合,观察到物体的像 是正立的虚像,这种望远镜又称为 伽利略 望远镜。

远方物体

Lo

y

α
Fo fo

β
Fe

′ ′ Fo Fe

s

fe

fe ′

β

( b ) 伽利略折射式望远镜

折射式

以开普勒望远镜为例, 导出折射式望远镜的放大率公式。
由于物体 y 距离物镜 Lo
远方物体

fo′ Lo

fe Le

很远, 通过物镜所成的像 y′ 可
认为是在物镜的第二焦平面上, 是一个缩小的倒立实像。物镜 光心对物体的张角为

y

α
Fo fo

α

′ F o Fe y′

β
′ Fe fe′

β

s

?≈

y p

y′ = fo′

这一张角可近似看成眼睛直接观察物体时的视角。

调节目镜 Le 到物镜的距离, 使目镜的第一焦点 Fe 与近物镜的第二焦点 Fe′ 重合, 即物镜所成的像 y′ 落在目镜的第一焦平面上, 这时

y′上各点的光线经目镜折射后都成为 y′ fe′

一组平行光线(图中只画出了对应于箭头顶点的一组平行光线), 在眼球肌肉放松的 情况下,这些平行光线经眼睛聚焦在视网膜上生成一个清晰的像, 眼睛对 这个像的张角 ? 就是用了望远镜以后对被观测物体的视角 , 其大小为 于是 , 望远镜的放大率为

? ≈

M 望远镜

? = ?

=

fo′ fe′

上式表明 , 望远镜的放大率约等于物镜焦距与目镜焦距之比。

反射式

曲面反射式物镜 平面反射镜

右图是反射式望远镜的几种典型结构形式,它们 的物镜都是反射式的凹面镜, 可以是球面凹镜或抛 物面凹镜。反射式物镜可以免除折射式物镜由于折 射而产生的色差, 如果是抛物面反射式凹镜还可以 免除球差。来自远方物体的光线经物镜的凹面反射

目镜

(a)
曲面反射式物镜

全反射棱镜

后而发生会聚, 目镜的位置有不同的设计方案, 其
中图 ( a ) 是利用一个平面反射镜将会聚光束反射 到一側, 然后用目镜进行观察, 这种结构称为牛顿 反射望远镜。图 ( b )是利用一个全反射棱镜将会聚
目镜

(b)
曲面反射式物镜

光束反射到一側, 然后用目镜进行观察。图 ( c )是
利用一个曲面反射镜将会聚光束沿轴向反射到物镜 中部的一个开孔处, 然后用目镜进行观察。

曲面反射镜 目镜

(c)

反射式望远镜物镜的直径可以做得比较大, 许多大型的天文望远镜是反射式望远镜, 直径有的大到 5m 甚至 6m 。目前在太空中运行的哈勃望远镜, 也是反射式望远镜。 日常生活中常见的光学仪器还有很多, 如照相机、电视摄象机、投影仪等等,而且应 用高科技成果, 使这些仪器的功能和自动化程度都越来越高, 在此不一一介绍。

几何光学决赛解题注意事项:

1.公式:物像公式、焦距公式、横向放大率公式、视野张角 公式等、焦度; 2.符号定则:物距、像距、焦距; 3.成像特点:大小、虚实、正负、正倒立;

4.光学成像仪器:器材的构成、作用、放大倍数;
5.光路图的绘画。


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