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2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题及参考答案(word版本) 2


2009 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
一、填空题(每小题 6 份,共 60 分,本题共 10 小题,要求直接将答案写在横线上) 1. 已 知 集 合

A ? {x ? R || x ? 2 |? 1}


, B ? {x ? R |

x?5 ? 0} , 则 2?x

/>A? B =

2.图 1 是一个算法流程图,若输入 n

? 1, 则最终输出的数据是



3.设圆 小值为

x 2 ? y 2 ? 1的一条切线与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ,则 | AB | 的最


4.已知函数

?2 2? x , x ? 2 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? ? ?log3 ( x ? 1), x ? 2

f ( x) ? m 有两个不同的实根,则实数 m 的取值范围是
用区间形式表示) 5.设

f (x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 2 ,当 x ? 0 时, f (x) 是增函数,

且对任意的 x、 y ? R ,都有 6.对于 n ? N
?

f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y) ,则函数 f (x) 在敬意[-3,-2]上的最大值是


, 若 n ? 2 n ? 1 是 3 的整数倍,则 n 被 6 除所得余数构成的集合是

7.如图 2,AB 是半圆 O 的直径,C、D 是半圆上的两个动点,且 CD∥AB,若半圆 的半径为 1,则梯形 ABCD 周长的最大值是 8.如图 3,在△ABC 中,AB=3,AC=5,若 O 为 △ABC 的外心,则

AO? BC 的值是

9. 一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球, 若这三个小球的半径 均为 1,且每个小球都与半球的底面和球面相切,则该半球的半径 R= 10.把长为 a 的线段分成三段,这三条线段能构成三角形的概率为 2009 年陕西赛区 1. 已 知 集 合

A ? {x ? R || x ? 2 |? 1}


, B ? {x ? R |

x?5 ? 0} , 则 2?x

A? B =

2.图 1 是一个算法流程图,若输入 n 3.3. 设圆 的最小值为

? 1, 则最终输出的数据是



x 2 ? y 2 ? 1的一条切线与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、B , | AB | 则


4.已知函数

?2 2? x , x ? 2 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个不同的实根,则实 f ( x) ? ? log3 ( x ? 1), x ? 2 ?
用区间形式表示)

数 m 的取值范围是

5.设

f (x) 是定义在

R 上的奇函数,

f (1) ? 2 ,当 x ? 0 时, f (x) 是增函数,且对任意的

x、 y ? R ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y) ,则函数 f (x) 在敬意[-3,-2]上的最大值是

6.对于 n ? N

?

, 若 n ? 2 n ? 1 是 3 的整数倍,则 n 被 6 除所得余数构成的集合是



7.如图 2,AB 是半圆 O 的直径,C、D 是半圆上的两个动点,且 CD∥AB,若半圆的 半径为 1,则梯形 ABCD 周长的最大值是

8.如图 3,在△ABC 中,AB=3,AC=5,若 O 为 △ABC 的外心,则

AO? BC 的值是

9.一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球,若这三个小球的半径均为 1,且每个 小球都与半球的底面和球面相切,则该半球的半径 R=

10.把长为 a 的线段分成三段,这三条线段能构成三角形的概率为

二、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 11.设 0 ? ?

? ? , ? ? ? ? 2? , 若对任意的 x ? R ,等式 cos(x ? ? ) ? sin(x ? ? )
的值。

+

2 cos x ? 0 恒成立,试求 ? 、 ?

12.如图 4,已知两点 A(? (1).求点 C 的轨迹方程;

5,0) 、 B( 5,0) , ?ABC 的内切圆的圆心在直线 x ? 2 上移动。

(2).过点 M (2,0) 作两条射线,分别交(1)中所求轨迹于 P 、Q 两点, 且 MP? MQ =0,求证:直线 PQ 必过定点。

13.已知函数

f ( x) ?

16 x ? 7 ,数列{ an }、{ bn }满足 a1 ? 0 , b1 ? 0 , an ? f (an?1 ) , 4x ? 4

bn ? f (bn?1 ) , n ? 2,3?.
(1).求 a1 的取值范围,使得对任意的正整数 n, 都有 a n ?1 (2).若 a1 第二试 一、数列 {an } 满足 a1

? an
? 1,2,3?.

? 3, b1 ? 4, 求证: 0 ? bn ? a n ?

1 8 n ?1

,n

? 4, an?1an ? 6an?1 ? 4an ? 8 ? 0 ,记 bn ?

6 ,n? N ? an ? 2

(1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {an

? bn } 前 n 项和 S n

二、如图,PA、PB 为圆 O 的两条切线,切点分别为 A、B,过点 P 的直线交圆 O 于 C、D 两点,交弦 AB 于点 Q, 求证: PQ
2

? PC ? PD ? QC ? QD

三、设 ( x ? 1) (1).若 a1

p

? ( x ? 3) q ? x n ? a1 x n?1 ? a2 x n?2 ? ?? an?1 x ? an , p、 q ? N
(2)证明:存在无穷多个正整数对(p,q),使得 a1

?

.

? a 2 ,求证: 3n 是完全平方数;

? a2 .

2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
一、单项选择题 1、设集合 S

? ? x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0? , T ? ? x | x ? 2 |? 3? ,则 S ? T

=(



A、 {x | ?5 ?

x ? ?1}

B、 {x | ?5 ?

x ? 5}

C、 {x | ?1 ?

x ? 1}


D 、 {x |1 ?

x ? 5}

2、正方体

ABCD ? A1B1C1D1 中 BC1 与截面 BB1D1D 所成的角是(
B、

A、

? 6

? 4

C、

? 3

D、

? 2

3、已知 则“ | k

f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 , g ( x) ? kx ? 1 ,
|? 2 ”是“ f ( x) ? g ( x) 在 R 上恒成立”的(


A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形 ?1 的面积为 S1 ,作 ?1 的内切圆,再作内切圆的内接正三角形,设为 ? 2 ,面积为 S2 ,如 此下去作一系列的正三角形 ?3 , ?4 ,? ,其面积相应为 S3 , S4 ,? , 设 S1

? 1 , Tn ? S1 ? S2 ? ? ? Sn ,则 lim Tn =(
n ???



A 、

6 5

B 、

4 3

C、

3 2

D 、2

5、设抛物线

y 2 ? 4x 的焦点为 F ,顶点为 O , M 是抛物线上的动点,则

| MO | 的最大值为( | MF |



A 、

3 3

B 、

2 3 3

C、

4 3


D 、

3

6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半径为 r 的一个实心球,此时 球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为( A、 r B、 2r C、
3

12r

D、

3

15r

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
A F E B D

ABCD 的边长为 3, E 为 DC 的 ??? ???? ? 中点, AE 与 BD 相交于 F ,则 FD ? DE 的值是
7、如图,正方形 . 8 、 是

1 ( x 2 ? x ? )6 x

C

的 展 开 式 中 的 常 数 项

. (用具体数字作答)

9、等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 S n 过 2012 的只有三个正因数的正整数个数为 11、已知锐角 A, B 满足 tan( A ? B) ? 2 tan

?

(an ? 1) 2 4

,则 S 20 的值为 .

.10、不超

A ,则 tan B 的最大值是



12、从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数 abcde , 满足条件“ a ? b ? c ? d 三、解答题 13、设函数

? e ”的概率是



f ( x) ? sin x ? 3cos x ?1 ,

(I)求函数

? f ( x) 在 [0, ] 上的最大值与最小值; 2
? 1 对任意 x ? R 恒成立,求
b cos c 的值. a

(II)若实数 a , b, c 使得 af ( x) ? bf ( x ? c)
?

14、已知 a, b, c ? R ,满足 abc(a ? b ? c) ? 1 , (I)求 S

? (a ? c)(b ? c) 的最小值;

(II)当 S 取最小值时,求 c 的最大值. 2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)参考解答 一、选择题 1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、 ?

3 2

8、 ?5

9、0

10、14

11、

2 4

12、

2 15

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分)

f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 1 , 3 ? ? ? 5? 1 ? ? x? ? 由0 ? x ? 知, ,于是 ? sin( x ? ) ? 1 2 3 3 6 2 3 ? 1 所以 x ? 时, f ( x ) 有最小值 2 ? ? 1 ? 2 ; 2 2 ? 当x? 时, f ( x ) 有最大值 2 ? 1 ? 1 ? 3 . 6
13、解: (I)由条件知 (II)由条件可知

?

(5 分)

(10 分)

2a sin( x ? ) ? 2b sin( x ? ? c) ? a ? b ? 1 对任意的 x ? R 恒成立, 3 3
∴ 2a sin( x ?

?

?

?

) ? 2b sin( x ? ) ? cos c ? 2b cos( x ? ) ? sin c ? ( a ? b ? 1) ? 0 3 3 3

?

?

∴ 2(a ? b cos c ) ? sin( x ?

?

) ? 2b sin c ? cos( x ? ) ? (a ? b ? 1) ? 0 3 3
(15 分)

?



? a ? b cos c ? 0 ? ?b sin c ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0 ?

,

? 0 知 b ? 0 或 sin c ? 0 。 若 b ? 0 时,则由 a ? b cos c ? 0 知 a ? 0 ,这与 a ? b ? 1 ? 0 矛盾! 若 sin c ? 0 ,则 cos c ? 1 (舍去) cos c ? ?1 , , b cos c 1 ? ?1 . 解得 a ? b ? , c ? ( 2k ? 1)? ,所以, a 2
由 b sin c 14、解: (I)因为 (a ? c)(b ? c) ? ab ? ac ? bc ? c
2

(20 分)

? ab ? (a ? b ? c)c ? ab ?

1 ab

(5 分)

? 2 ab ?

1 ? 2 ,等号成立的条件是 ab ? 1 , ab

当 a ? b ? 1, c ?

2 ?1 时, S 可取最小值 2.
? 1 ,从而 c(a ? b ? c) ? 1,

(10 分)

(II)当 S 取最小值时, ab 即c
2

? (a ? b)c ?1 ? 0 ,令 t ? a ? b ,则 t ? 2 ab ? 2
? ?t ? t 2 ? 4 ?t ? t 2 ? 4 或者 c ? ? 0 (舍去) 2 2
在 t ? [2, ??) 单减,

(15 分)

从而 c



?t ? t 2 ? 4 2 c? ? 2 2 t ?4 ?t
? 2 时, c 有最大值 2 ? 1 .

所以在 t

(20 分)

15、解:将直线

? y ? kx ? 1 y ? kx ? 1 与双曲线 x2 ? y 2 ? 1方程联立得 ? 2 2 ?x ? y ? 1
(5 分)

化简得 (k

2

?1) x2 ? 2kx ? 2 ? 0 ①

? ?? ? 4k 2 ? 8(k 2 ? 1) ? 0 ? 2k ? 由题设知方程①有两负根,因此 ? x1 ? x2 ? ? 2 (10 ? 0 ,解得 1 ? k ? 2 . 分) k ?1 ? 2 ? ? x1 ? x2 ? k 2 ? 1 ? 0 ?

2012 年陕西省数学试题
一、选择 题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 集合 M A。

? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x2 ? 4} ,则 M ? N ? (
B。

C



(1, 2)

[1, 2)

C。 D )

(1, 2]

D。

[1, 2]

2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(

A。

y ? x ?1

B。

y ? ? x2

C。

y?

1 x

D。

y ? x| x|

3.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示) ,则改样本的中位数、众 数、极差分别是 (

A

A.46,45,56

B.46,45,53

C.47,45,56

D.45,47,53

4. 设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab

? 0 ”是“复数 a ?

b 为纯虚数”的( i

B

)[来源:学科网]

A。充分不必要条件 C。 充分必要条件

B。 必要不充分条件 既不充分也不必要条件

D。

5.下图是计算某年级 500 名学生期末考试(满分为 100 分)及格率 q 的程序框图,则图中空白框内应填入 ( D )

? ? N ? 5CB1 ? BA1 2 ? b 2 ? bC 1?CAB f (1) ? 1 M ? ? ? ? M N M B q= C q= D.q= N M ?N M ?N
A. q= cos ? 6. 已知圆 C : x
2

? ?

? y 2 ? 4x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则(
B。

) D. 以上三个选项均有可能

A。 l 与 C 相交

l 与 C 相切

C。 l 与 C 相离

7.设向量 a =(1. cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于 (

?

?

C )

A

2 2

B

1 2

C .0

D.-1

8. 将正方形(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的左视图为 (

B )

9.设函数 f(x)=

2 x

+lnx 则

( D



A.x=

1 2

为 f(x)的极大值点

B.x=

1 2

为 f(x)的极小值点

C.x=2 为 f(x)的极大值点

D.x=2 为 f(x)的极小值点 ( A )

10.小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(a<b) ,其全程的平均时速为 v,则

A.a<v<

ab

B.v=

ab

C.

ab <v<

a?b 2

D.v=

a?b 2

二。 填空题:把答案填写在答题 卡相应的题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11 设函数发 f(x)= 12. 观察下列不等式

,则 f(f(-4) )=

4

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 5 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 3 1?
??照此规律,第五个不等式为 ... 1+

1 22

+

1 32

+

1 42

+

1 1 11 + < 52 6 2 6

13. 在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2 ,B=

? 6

,c=2

3 ,则 b= 2 2 6

14. 右图是抛物线形拱桥, 当水面在 l 时, 拱顶离水面 2 米, 水面宽 4 米, 水位下降 1 米后, 水面宽 米。

15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A。 不等式选做题)若存在实数 (

x

使

| x ? a | ? | x ?1|? 3

成立,则实数

a

的取值范围是

。 B。 (几何证明选做题)如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E, EF

? DB ,垂足为 F,若

AB ? 6 , AE ? 1 ,则 DF ? DB ?

5



C。 (坐标系与 参数方程)直线 2 ? cos ?

? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为

3



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分)

16.已知等比数列 (1)若

?an ? 的公比为 q=- 2 .
,求数列

1

a

3

=

1 4

?an ? 的前 n 项和;

(Ⅱ)证明:对任意 k ? N ? ,

a ,a
k

k ?2



a

k ?1

成等差数列。

17.(本小题满分 12 分) 函数 为

? , 2

f ( x) ? A sin(? x ? ) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 6

?

其图像相邻两条对称轴之间的距离

(1)求函数 (2)设 ?

f ( x) 的解析式;

? (0, ) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

?

18. (本小题满分 12 分) 直三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AB=A A1



?CAB =

? 2

[来源:学+科+网]

(Ⅰ)证明 CB1

? BA1 ;[

(Ⅱ)已知 AB=2,BC=

5 ,求三棱锥 C1 ? ABA1

的体积

19(本小题满分 12 分) 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从两种品牌的产品 中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如下:

(Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (Ⅱ)这两种品牌产品中, ,某个产品已使 用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概率。

20. (本小题满分 13 分)

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 已知椭圆 C1 : 4
(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB

??? ?

??? ? ? 2OA ,求直线 AB 的方程。

21。 设函数

fn ( x) ? xn ? bx ? c (n ? N? , b, c ? R)

(1)设 n

?1 ? ? 2 , b ? 1, c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的 零点; ?2 ?
f ( ?1) ? 1 , f (1) ? 1 ,求 b+3c 的最小值和最大值;

(2)设 n 为偶数, (3)设

n?2

,若对任意

] x1 , x2 ?[? 1, 1, 有 | f 2 ( x1 ) f 2 ( x2 ? | , 求 b ? ) 4

的取值范围


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