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黑龙江省哈六中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题


哈六中 2013-2014 学年高一下学期期末考试 数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

1.化简

(1 ? i )3 ?( (1 ? i ) 2



(A) 1 ? i

(B) 1 ? i

(C) ? 1 ? i

(D ) ? 1 ? i )

2.设复数 z1 , z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 ? z 2 ? ( (A) ? 5 (B)5 (C) ? 4 ? i (D) ? 4 ? i

[]

3.设向量 a, b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? (A)1 (B)2 (C)3 (D)5

6 ,则 a ? b ? (



4.钝角三角形 ABC 的面积是 (A)5 (B )

1 , AB ? 1 , BC ? 2 ,则 AC ? ( 2
(D)1

)

5

(C)2

?x ? y ? 7 ? 0 ? 5.设实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
(A)10 (B)8 (C)3 (D)2 )



6.若正数 x, y 满足 x ? 3 y ? 5 xy ,则 3 x ? 4 y 的最小值是( (A)

24 5

(B)

28 5

(C)5

(D)6 )

7.若两条直线 y ? a 2 x ? 1 与 y ? ( a ? 2) x ? a ? 1 互相平行,则 a 等于( (A)2 (B)1 (C) ? 2 (D) ? 1

8.直线 ax ? y ? 1 ? 0 与连接 A( 2,3) , B ( ?3,2) 的线段相交,则 a 的取值范围是( (A) [ ?1,2] (B) ( ??,?1] ? [ 2,??) (C) [ ?2,1]



(D) (??,?2] ? [1,??)

·1 ·

9.光线从点 A( ?3,4) 发出,经过 x 轴反射,再经过 y 轴反射,最后光线经过点 B ( ?2,6) ,则经 y 轴反射 的光线的方程为( (A) 2 x ? y ? 2 ? 0 ) (B ) 2 x ? y ? 2 ? 0 (C) 2 x ? y ? 2 ? 0 (D ) 2 x ? y ? 2 ? 0

10.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? c ? 0 与直线 3 x ? 4 y ? 0 相交于 A, B 两点,圆心为 P ,若 ?APB ? 90? ,则 c 的 值为( (A)8 ) (B ) 2

3

(C) ? 3

(D)3

11.已知向量 OB ? ( 2,0) ,向量 OC ? ( 2,2) ,向量 CA ? ( 2 cos ? , 2 sin ? ) ,则向量 OA 与向量 OB 的 夹角的取值范围是( (A) [0, )

? ] 4

(B) [

? 5?
4 12 ,

]

(C) [

5? ? , ] 12 4

(D ) [

, ] 12 12

? 5?

12.已知 AC , BD 为圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 的两条互相垂直的弦,且垂足为 M (1, 2 ) ,则四边形 ABCD 面积 的最大值为( (A)5 ) (C)15 (D)20

(B)10

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.两个圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 , C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线有 条

14.已知直线 l : x ? 2 y ? 8 ? 0 和两点 A( 2,0) , B ( ?2,?4) ,若直线 l 上存在点 P 使得 | PA | ? | PB | 最小, 则点 P 的坐标为 15.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a ? 2 ,且 ( 2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b) sin C , 则 ?ABC 面积的最大值为 16.直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 有公共点,则 b 的取值范围是
2

·2 ·

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或解题步骤. 17. (本小题满分 10 分)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,且

2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C .
(1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 2, c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长.

18. (本小题满分 12 分)过点 P (3,0) 作一直线 l ,使它被两直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 和 l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截 的线段 AB 以 P 为中点,求此直线 l 的方程.

19. (本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的公差大于 0,且 a3 , a5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,数 列 {bn } 的前 n 项的和为 S n ,且 S n ? 1 ? (1) 求数列 {an } , {bn } 的通项公式;

1 bn . 2
(2) 记 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

·3 ·

20. (本小题满分 12 分)已知直线 l1 : 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 ,圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 . (1)求直线 l1 被圆 O 所截得的弦长 (2)如果过点 ( ?1,2) 的直线 l2 与直线 l1 垂直,l2 与圆心在直线 x ? 2 y ? 0 上的圆 M 相切,圆 M 被直线 l1 分成两段圆弧,且弧长之比为 2 : 1 ,求圆 M 的方程.

21. (本小题满分 12 分)已知圆 C 过点 A(1,3) , B ( 2,2) ,并且直线 m : 3 x ? 2 y ? 0 平分圆的面积. (1)求圆 C 的方程; (2)若过点 D (0,1) ,且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的公共点 M , N . ① 求实数 k 的取值范围; ② 若 OM ? ON ? 12 ,求 k 的值.

22. (本小题满分 12 分)各项均不为零的数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a n ? 3S n S n ?1 ? 0(n ? 2) , a1 ? (1)求数列 {a n } 的通项公式 a n ;

1 . 3

?1, (n ? 1) 1 1 1 ? ? ??? (2)若 bn ? ? ,设 Tn ? ,若 Tn ? m 对 n ? 2 恒成立,求 1 , ( n ? 2 ) b1 ? n b2 ? n bn ? n ? 3(1 ? n)a n ?
实数 m 的取值范围.

·4 ·

高一数学试题答案
17. (1) 2 sin B cos A ? sin A cos C 以 cos A ?

? cos A sin C 即 2 sin B cos A ? sin( A ? C ) ,即 2 sin B cos A ? sin B ,所

1 ? ,所以 A ? ……………5 分 2 3 3 7 (2)由(1)知 a ? 3 ,所以 BD ? ,所以 AD ? ……………5 分 2 2 18. (1)当 k 不存在时, l : x ? 3 不满足题意;……………2 分 (2)当 k 存在时,设直线 l : y ? k ( x ? 3) ,……………1 分 2 ? 3k ? 4k 3k ? 3 ? 6k , ) , B( , ) ,……………6 分 可得 A( 2?k 2?k k ?1 k ?1 由中点坐标公式得 k ? 8 ……………2 分 所以直线方程为 y ? 8 x ? 24 ……………1 分

20.(1) 2 (2 ) l 2 : y

3 ……………3 分
?

[]

4 10 8 4 100 2 2 x ? ……………3 分,圆 M : ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 或 x ? y ? 4 ……………6 分 3 3 3 3 9 2 2 21.(1)圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 ……………4 分 (2) 1 ? 7 ? k ? 1 ? 7 ……………4 分; k ? 1 ……………4 分
4 4

22.当 n ? 2 时,由 a n

? 3S n S n ?1 ? 0 可得 S n ? S n ?1 ? 3S n S n ?1 ? 0 ,即

1 1 …2 分 ? ? 3(n ? 2) S n S n ?1

·5 ·

所以 (Tn ) min

? T2 ?

1 1 7 7 ? ? ,所以 m ? ……………12 分 1 ? 2 2 ? 2 12 12

·6 ·


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