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久期及凸度


债券价格波动性

久期分析与凸度

1、债券价格与利率之间的关系:Malkiel定理

债券的基本属性是其价格与到期收益率(利率)之间呈 负相关关系(如下图所示)。

价格 实际线

估计线 收益率

1、债券价格与利率之间的关系:Malkiel定理
为了清楚地说明问题,我们假设了6只债券。这6只假 想的债券面值均为100元,且每半年付息一次。6只债 券的具体细节如下。我们计算了不同收益率下的债券 理论价格或内在价值(表1-1): √ 5年期票面利率为9%的债券; √ 25年期票面利率为9%的债券; √ 5年期票面利率为6%的债券; √ 25年期票面利率为6%的债券; √ 5年期的零息债券; √ 25年期的零息债券;
?

表1-1

6只假想债券的(价格——收益率)关系

表1-2

6只假想债券价格变动百分比

单位:%

Maklkiel定理
?

?

由表1-1,我们计算得到表1-2(假定收益率9% 是基准水平)。 从该表中可以发现债券价格波动和收益率或利 率之间关系的5个特征。这是Maklkiel(1962) 提出的,称为Maklkiel债券定价关系。

Maklkiel定理
?

债券价格与债券的到期收益率或利率呈按关系;

随着到期收 益的增大, 债券价格逐 渐下降。

Maklkiel定理
?

利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相 同;但收益率波动较大时,债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同;给定 某一基点,在利率大幅度变动条件下,债券价格上升 的百分比大于价格下降的百分比;

Maklkiel定理
?

长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感;

Maklkiel定理
?

随着期限的增加,债券价格对收益率或利率的 变动的敏感程度以一个下降的速率增加。换言 之,利率风险和债券的期限不成比例,而是滞 后于这个比例的变化(如,尽管债券“9%/25” 是”9%/5”到期时间的5倍,但是前者的利率敏 感性与后者的比值小于5)。

Maklkiel定理
?

利率风险与债券的息票率呈负相关关系。高息 票利率债券的价格与低息票利率债券的价格相 比,后者对利率更为敏感(如,比较“9%/5” 和“6%/5”两种债券即可看出这一关系);

2、久期分析
?

久期,又称持续期。该指标揭示了债券的市场 价值(或均衡时的价格)对利率变动的敏感性, 或利率波动对债券价格所产生的影响。 久期也衡量了债券的平均到期时间。具体而言, 久期衡量了债券承诺支付的现金流的加权平均 寿命或加权平均有效期。

?

A、久期公式及其推导
CFt t T 1 (1 ? y )t D?? ? P P t ?1 0 0 CFt ? t (1 ? y )t t ?1
T

t:债券产生现金流的各个时期; T:债券到期期限; y:债券的到期收益率,也即利率; CFt:债券在第t期产生的现金流; P0:债券的理论价格(均衡时等于市场价格),其中

CFt P0 ? V ? ? t t ?1 (1 ? y )

T

A、久期公式及其推导
?

久期的基本作用在于近似地衡量债券到期收益率或 利率水平变化多导致的债券价格的波动,是衡量债 券或债券组合利率风险的一个基本指标。我们简要 推导如下: T CF

(1 ? y )t t ?1 ?P0 ?1CF1 ?2CF3 ?TCFT ? ? ? ? ??? ? 2 3 ?y (1 ? y ) (1 ? y) (1 ? y)T ?1
2CF3 TCFT ? 1 ? 1CF1 ?? ? (1 ? y) ? (1 ? y)2 ? ??? ? (1 ? y)T ? 1? y ? ?

P0 ? V ? ?

t

A、久期公式及其推导
上式右边方括号内的部分表示了截止到期日时 债券现金流量的加权平均时间,权重是各期现 金流的现值占债券价格的比重。 该式也同样给了债券到期收益率变动所引起的 债券价格变化的近似值。将该式两边除以债券 价格,我们能够得到因到期收益率所引起的债 券价格变化的百分比的近似值。

A、久期公式及其推导
?P0 1 2CF3 TCFT ? 1 1 ? 1CF1 ?? ? (1 ? y) ? (1 ? y)2 ? ???? (1 ? y)T ? P ?y P0 1? y ? ? 0
? 1CF1 2CF3 TCFT ? 1 1 T CFt 令 D?? ? ? ??? ? ? ? 2 T ? (1 ? y) (1 ? y) (1 ? y) ? P0 P0 t ?1 (1 ? y)t ? 我们称之为Macualay久期。从而我们有, ?P0 1 1 ?? D ?y P0 1? y
进一步地,我们令 MD ?

?P0 1 ? ?MD ?y P0

1 D 表示修正久期,那么有 1? y

A、久期公式及其推导
由此,我们可以得到债券价格变动的近似百分 比为:

?P0 ? ? MD?y P0

债券价格变动的近似额为:

?P ? ?MD?yP0 0
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B、是什么决定了久期?——久期定理
①贴现债券或零息债券的Macaulay久期等于其到 期时间; 证明:
显然,对贴现债券而言,其持续期就等于其到期 期限。因为贴现债券只有到期时才会发生现金流。 即,

CF1 ? CF2 ? ??? ? CFT ?1 ? 0

B、是什么决定了久期?——久期定理
T CFt CFT P0 ? PV ? ? ?? t (1 ? y) (1 ? y)T t ?1 t ?1 T

CFT ? 1 ? T ?1 0 D? ?? t (1 ? y )t ? T (1 ? y)T ? ? T P ? t ?1 ? 0
证毕。

B、是什么决定了久期?——久期定理

②直接债券的Macaulay久期小于其到期时间。
◆只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的

Macaulay久期等于其到期时间,并等于1;

B、是什么决定了久期?——久期定理
③统一公债的Macaulay久期等于(1+y/y); 证明:由统一公债定义知,其每期现金流相同,
且无限存续,故有,

1 D? P0

CFt y ? tc 1? y ? t (1 ? y)t ? c ? (1 ? y)t ? y t ?1 c
T
?

tc 1? y ? 2 c 注意其中, ? t y t ?1 (1 ? y )

统一公债的市场价值
? ?

统一公债的现金流:C,C,C,? ? 则统一公债的市场价值为:
P ? ? c c c ? ? ? .... 2 3 1? y (1 ? y ) (1 ? y )

? c ? 1 1 1 1? ? ? ? ....? 1? y ? 1? y (1 ? y ) 2 (1 ? y ) 3 ? ? ? a1 (1 ? q n ) c 1 c ? ? lim ? 1 ? y n ? 0 (1 ? y ) n 1? y 1? q
n ??

?

c lim 1? y

1?

1 c 1? y c (1 ? y ) n ? * ? 1 1? y y y 1? 1? y

B、是什么决定了久期?——久期定理
◆到期收益率既定时,息票率与久期负相关,如 (图1-3)。 注意:这里息票率不是到期收益率或预期收益
率。这个定理的证明很简单,只要考虑债 券每期(最后一期除外)的现金流等于息 票率与面值之积后,求久期对息票率的偏 导数即可证明。

图1-3债券久期与息票率之间的负相关关系

B、是什么决定了久期?——久期定理
◆在债券息票率不变的条件下,债券的到期时间 与久期正相关:到期时间越长,久期也越大; 反之则反是。债券无论是以面值出售还是以高 于面值的溢价出售,久期总是随到期时间的增 长而增加(图1-4); 证明:利用久期公式求久期对到期时间T的偏导
数,易证明该片导数为正。

图1-4债券久期与到期时间的正相关关系

B、是什么决定了久期?——久期定理
◆在其他条件既定时,债券的到期收益率与其久 期负相关:即到期收益率越低,久期越长;反 之成立(图1-5)。 证明思路同上。只需证明久期对债券到期收益 率的偏导数为负即可,请大家自己证明。

图1-5债券久期与到期收益率的负相关关系

3、久期的内涵
?

对于久期,我们可以从时间角度和久期的作用于 功能两个方面来理解: 预期的收益现金流的加权平均时间长度,权数为:

◆从时间角度考察,债券的久期是债权在未来时间

CFt P0 (1 ? y )t
它是债权承诺的各期收益现金流的现值在债券理 论价格中所占的权重;

3、久期的内涵
?

从久期的功能考察,久期本质上反映了债券价 格对利率的敏感程度。它既衡量了债券未来收 益的平均时间,也反映了投资于该债券或债券 组合而使资产或资产自合暴露于风险中的时间 长短。因此,久期越长,风险就越大。

3、久期的内涵
?

久期也可以解释为债券价格对利率变化的弹性, 这也是久期的本质(功能)所在。在数学上这种 本质借助于一阶偏导数关系体现。 根据债券定价模型:

CFt P0 ? V ? ? (1 ? y )t t ?1
该式两边对利率y求偏导数得到:
T ?P0 CFt DP0 ? ?? t ?? t ?1 ?y 1? y t ?1 (1 ? y )

T

3、久期的内涵
?

因此,

?P0 ?P0 P0 P0 D?? ?? ?y ? (1 ? y ) 1? y 1? y

?

于是久期是债券价格对利率的弹性得证。在实际 运用中,经常对上述久期值进行修正,即得到所 谓的修正久期,定义为:

1 MD ? D 1? y

4、久期的计算 收益率所变化所引致的债券价格波动 A、久期的计算程序
步骤一:计算各期现金流的现值
步骤二:计算债券的内在价值或价值

步骤三:计算各期现金流现值占内在价值的比重;
步骤四:以比重为权重,以时间为乘数,计算全部 付款作为现值收回的加权平均时间。

例2-8
?

银行有一期限为两年的贷款,每年产生100元的 现金流量,贴现率为10%,求该贷款的持续期。

先求贷款的内在价值或现值:

100 100 P? ? ? 173.55 2 (1 ? 10%) (1 ? 10%)
?

计算加权平均期限,即持续期:

100 100 D ? 1? ? P ? 2? ? P ? 1.476 2 (1 ? 10%) (1 ? 10%)

例2-9

考虑某面值为100,附息票利率为10%的3年期债券。 假定该债券复利的年收益率为12%。息票每6个月付 息一次,利息为5.试计算该债券的持续期。

表1-6 6只假想债券的持续期和修正的持续期

B、债券价格波动的估算:久期方法的运用
? ?

我们已经看到,久期实际上近似的表示了由于收 益率的微笑变化所引起的债券价格的变化。 举例如下:我们考虑前面6只假想债券中的“票面 利率6%的25年期”债券在9%收益率水平上以 70.3570价格出售时的情况。由前面的计算知道, 该债券修正久期为10.62.如果收益率从9%上升到 9.10%,即收益率变动了10个基点。那么我们可以 用公式计算得到债券价格变动百分比的近似值,

?P0 ? ?MD?y ? ?10.62*0.10% ? ?1.06% P0

B、债券价格波动的估算:久期方法的运用

显然,收益率微小变动时,修正久期可以比 较好地给出债券价格变动百分比的近似值。但 是,当收益率波动比较大时,这种方法就难以 与实际情况相吻合了。

B、债券价格波动的估算:久期方法的运用
?

如下例:假定收益率上升了200个基点,譬如 从9%上升到11%,那么利用公式我们得到债 券价格变动百分比近似值为:

?P0 ? ?MD?y ? ?10.62*2% ? ?21.24% P0
这显然与表1-2所列出的的结果-18.03相差甚 远。这样,我们就不得不寻找更为精确的刻画 债券价格波动的方法——凸度了。

B、债券价格波动的估算:久期方法的运用
y ? f ( x) ?y ? f ' ( x) * ?x ? ?(?x) ?y ? f ( x ) * ?x
'

?P ? f ( y ) * ?P ? ?(?P ) D ' ?P ? f ( y ) * ?P ? ? P * ?P 1? y 债券价格变动百分比和变动额 ?P ? ? MDP * ?P
'


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